2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：3-1

[命题报告·教师用书独具］
考查知识点及
角度
题号及难度
基
础
中档稍难
象限角及三角
函数值
符号
1、29
三角函数定义3、74、5、
11
12
弧长、面积问题68、10
一、选择题
1．（2013年唐山模拟）已知cos θ·tan θ <0,那么角θ是( ) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角
解析：因为cos θ·tan θ＝cos θ·错误!＝sin θ〈0且cos θ≠0,所以角θ是第三或第四象限角．
答案：C
2．已知角θ是第二象限角，sin θ＝错误!，那么角2θ为( )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
解析：因为sin θ＝错误!且角θ为第二象限角，所以cos θ＝－错误!＝－错误!,则cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－错误!，sin 2θ＝2sin θcos θ＝－错误!.由于角2θ的正弦值与余弦值均为负,故角2θ为第三象限角．答案：C
3．(2013年洛阳模拟)已知锐角α的终边上一点P(sin 40°,1＋cos 40°）,则锐角α＝（）
A．80° B．70°
C．20° D．10°
解析:易知点P到坐标原点的距离为sin240°＋1＋cos 40°2＝错误!＝错误!＝2cos 20°，由三角函数的定义可知cos α＝错误!＝错误!＝sin 20°。

∵点P在第一象限，且角α为锐角，∴α＝70°。

答案：B
4．已知角α的终边上一点的坐标为错误!，则角α的最小正值为（）
A。

错误! B.错误!
C。

错误! D.错误!解析:∵错误!＝错误!，
∴角α为第四象限角，且sin α＝－1
2
,cos α＝错误!.
∴角α的最小正值为错误!.
答案：D
5．（2013年豫西五校联考)点P从(1,0）出发，沿单位圆逆时针方向运动错误!弧长到达Q点,则Q点的坐标为( ）
A.错误!
B.错误!
C.错误!
D.错误!
解析：由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y）满足x＝cos错误!＝－错误!，y＝sin错误!＝错误!，故选A.
答案：A
二、填空题
6．（2013年海口模拟)圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________．
解析：设圆半径为R，则其内接正三角形的边长为3R，于是圆心角的弧度数为错误!＝错误!.
答案：错误!
7．（2013年东莞调研）已知角α的终边与单位圆的交点P错误!，则tan α＝________.
解析：由|OP｜2＝x2＋错误!＝1得x＝±错误!，
∴tan α＝错误!＝±错误!。

答案：±错误!
8．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为________．
解析:设扇形的半径为R，则错误!R2α＝2，错误!R2×4＝2，
R2＝1，∴R＝1，
∴扇形的周长为2R＋α·R＝2＋4＝6.
答案：6
9．已知点P（sin α－cos α，tan α）在第一象限,且α∈[0，2π］,则α的取值范围是________．
解析：由已知得错误!
∴错误!＋2kπ〈α<错误!＋2kπ或π＋2kπ<α<错误!＋2kπ，k∈Z。

∵0≤α≤2π，
∴错误!<α<错误!或π<α<错误!。

答案：错误!∪错误!
三、解答题
10．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解析:设圆的半径为r cm，弧长为l cm，
则错误!解得错误!
∴圆心角α＝错误!＝2。

如图，过O作OH⊥AB于H.则∠AOH＝1弧度．
∴AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB＝2sin 1（cm）．
11．（2013年绍兴月考)角α终边上的点P与A（a,2a)关于x轴对称(a>0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．
解析：由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，
点Q的坐标为（2a,a)．
所以，sin α＝错误!＝－错误!,
cos α＝错误!＝错误!，
tan α＝－2a
a＝－2，
sin β＝错误!＝错误!，cos β＝错误!＝错误!，
tan β＝错误!＝错误!,
故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β
＝错误!×错误!＋错误!×错误!＋(－2)×错误!＝－1.
12．（能力提升)在直角坐标系xOy中,若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y＝2错误!x（x≥0)．
(1)求sin 错误!的值;
（2）若点P，Q分别是角α的始边、终边上的动点，且PQ＝4，求△POQ面积最大时，点P，Q的坐标．
解析：（1）由射线l的方程为y＝2错误!x，
可得sin α＝错误!,cos α＝错误!，
故sin错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.
（2）设P(a，0),Q(b,22b）（a>0,b>0)．
在△POQ中，因为PQ2＝(a－b）2＋8b2＝16，
即16＝a2＋9b2－2ab≥6ab－2ab＝4ab，
所以ab≤4.所以S△POQ＝2ab≤4错误!.
当且仅当a＝3b,即a＝23,b＝错误!时取等号．
所以△POQ面积最大时，点P,Q的坐标分别为P(2错误!,0)，Q错误!.
［因材施教·学生备选练习]
1．在直角坐标平面内，已知函数f(x）＝log a（x＋2)＋3（a〉0
且a≠1）的图象恒过定点P，若角θ的终边过点P，则cos2θ＋sin 2θ的值等于( ）
A．－错误! B.错误!
C。

错误!D．－错误!
解析：因为函数y＝log a x的图象恒过定点（1,0），所以f（x）的图象恒过定点P(－1，3)，由三角函数的定义知sin θ＝错误!＝错误!，cos θ＝错误!＝－错误!，
则cos2θ＋sin 2θ＝cos2θ＋2sin θcos θ＝错误!＋2×错误!×错误!＝错误!－
错误!＝－错误!，故选A.
答案:A
2．(2013年绵阳模拟）记a＝sin (cos 210°),b＝sin （sin 210°），c＝cos (sin 210°），d＝cos （cos 210°),则a，b，c，d中最大的是（）A．a B．b
C．c D．d
解析:注意到210°＝180°＋30°，因此s in 210°＝－sin 30°＝
－错误!，cos 210°＝－cos 30°＝－错误!，－错误!<－错误!〈0，－错误!〈－错误!〈0,0〈错误!<错误!〈错误!，cos 错误!〉cos 错误!〉0，a＝sin 错误!＝－sin
错误!<0，b＝sin 错误!＝－sin 错误!<0，c＝cos 错误!＝cos 错误!〉d＝cos 错误!＝cos 错误!〉0，因此选C.
答案：C
3．（2013年长安质检）如图，已知点A（3，4)，C（2,0），点O 为坐标原点,点B在第二象限，且｜OB｜＝3，记∠AOC＝θ.
(1）求sin 2θ的值;
（2）若｜AB｜＝7，求∠COB的正弦值．
解析：（1)由条件可知｜OA|＝5，根据三角函数定义可知sin θ＝错误!,cos θ＝错误!,
∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝错误!。

(2)在△AOB中，令∠AOB＝α，
则cos α＝｜OA|2＋|OB|2－|AB｜2
2｜OA|｜OB｜＝
52＋32－72
2×5×3
＝－错误!，
又α∈（0，π)，∴α＝错误!，sin α＝sin 错误!＝错误!，cos α＝cos错误!＝－错误!。

∴sin∠COB＝sin（α＋θ)＝sin αcos θ＋cos αsin θ
＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.
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