2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测45含答案

课时跟踪检测（四十五）
1．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( ）A.错误! B.错误!
C.错误!
D.错误!
答案：C
解析:以D为坐标原点，建立空间直角坐标系,如图，
设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0），C（0，1,0），B(1,1,0），E（1，0，1）,D1（0,0，2)．
所以错误!＝(0，－1，1)，错误!＝（0，－1,2），
所以cos〈错误!，错误!〉＝错误!＝错误!＝错误!.
2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且错误!＝错误!错误!1，N为B1B的中点,则|错误!｜＝( ）A.错误!a B。

错误!a
C.错误!a D。

错误!a
答案：A
解析：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
则A（a，0，0），C1(0，a，a),N错误!。

设M（x，y，z)，∵点M在AC1上且错误!＝错误!错误!，
∴（x－a，y,z）＝错误!（－x，a－y，a－z)，
∴x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!，则M错误!,
∴|MN →
|＝错误! ＝错误! a 。

3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为（ ) A 。

12 B 。

错误!
C 。

33
D 。

错误!
答案：B
解析：以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，
设棱长为1，则A 1（0,0,1），E 错误!，D （0,1,0）， ∴错误!＝（0,1，－1），错误!＝错误!. 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1,y ，z )， 所以有错误!即错误! 解得错误!∴n 1＝(1,2，2）．
∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝（0，0,1), ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝错误!。

故所成的锐二面角的余弦值为错误!.
4．在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱SD 的中点，且 SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是（ )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
答案:A
解析:
如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O－xyz。

设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A（a，0,0)，B（0，a，0)，
C(－a,0，0)，P错误!.
则错误!＝（2a，0,0)，错误!＝错误!，错误!＝（a,a,0），
设平面PAC的一个法向量为n，设n＝（x，y,z），
则错误!解得错误!可取n＝(0，1,1），
则cos〈错误!，n〉＝错误!＝错误!＝错误!,
∴〈错误!，n〉＝60°，
∴直线BC与平面PAC所成的角是90°－60°＝30°。

5．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是（）
A。

错误!B。

错误!
C.错误!D。

错误!
答案：D
解析：如图，建立空间直角坐标系．
则D1（0,0，2），A1（2，0,2），B（2，2，0)，错误!＝（2，0，0),错误!＝（2，2，0)．设平面A1BD的法向量为n＝（x,y，z）,
则错误!∴错误!
令z＝1，得n＝（－1,1，1)．
∴D1到平面A1BD的距离d＝错误!＝错误!＝错误!.
6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝2，BC ＝AA 1＝1,则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________． 答案：错误!
解析：以D 为原点,DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
设n ＝（x ，y ，z ）为平面A 1BC 1的法向量． 则错误!即错误! 令z ＝2，则y ＝1，x ＝2,
于是n ＝(2,1,2），错误!＝(0,2，0），
设所求线面角为α，则sin α＝｜cos<n ,错误!〉|＝错误!.
7．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A －BD －C 的正弦值为________． 答案：错误!
解析：取BC 中点O ，连接AO ,DO ,建立如图所示坐标系,
设BC ＝1，则A 错误!，B 错误!,D 错误!.
∴错误!＝错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!。

设平面ABD 的法向量为n ＝（x 0，y 0，z 0）， 则BA →
·n ＝0，且错误!·n ＝0，
∴错误!＋错误!z 0＝0，且错误!x 0＋错误!＝0， 因此错误!取x 0＝1，
得平面ABD 的一个法向量n ＝（1,－错误!，1)． 由于错误!＝错误!为平面BCD 的一个法向量，
∴cos 〈n ，错误!>＝错误!,∴sin<n ，错误!〉＝错误!.
8．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ,F 分别是棱AB ，BB 1
的中点,则直线EF 和BC 1所成的角是________．
答案：60°
解析：以BC 为x 轴，BA 为y 轴,BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．
设AB ＝BC ＝AA 1＝2，
则C 1(2，0,2),E (0,1,0），F （0，0,1），
则EF →
＝（0，－1，1）,错误!＝(2,0，2)，∴错误!·错误!＝2， ∴cos<错误!,错误!〉＝错误!＝错误!， ∴EF 和BC 1所成的角为60°。

9．如图，在四棱锥 P －ABCD 中，PC ⊥底面 ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ,AB ∥CD ,AB ＝2AD ＝2CD ＝2,E 是PB 的中点．
（1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；
（2）若二面角 P －AC －E 的余弦值为错误!，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值． （1)证明：∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PC 。

∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∠ADC ＝90°， ∴AC ＝BC ＝错误!， ∴AC 2
＋BC 2
＝AB 2
,∴AC ⊥BC 。

又BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC 。

∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC 。

（2)解:如图,以C 为原点,错误!，错误!，错误!分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，
则C (0，0,0)，A （1,1，0），B （1，－1,0）． 设P (0,0，a )(a ＞0）,则E 错误!， CA →
＝（1，1,0)，错误!＝(0,0，a ),错误!＝错误!，
取m ＝（1，－1，0），则m ·错误!＝m ·错误!＝0，m 为平面PAC 的一个法向量． 设n ＝（x ，y ，z ）为平面EAC 的法向量， 则n ·错误!＝n ·错误!＝0,即错误!
取x ＝a ，y ＝－a ，z ＝－2,则n ＝(a ,－a ，－2)． 依题意，|cos 〈m ，n >|＝错误!＝错误!＝错误!， 则a ＝1。

于是n ＝(1,－1，－2)，错误!＝(1,1,－1)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ， 则sin θ＝|cos<错误!，n 〉｜＝错误!, 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为错误!.
10．如图，在四棱锥 P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ADC ＝60°，侧面PDC 是正三角形，平面PDC ⊥平面ABCD ，
CD ＝2，M 为PB 的中点．
（1）求证：PA⊥平面CDM；
（2)求二面角D－MC－B的余弦值．
(1）证明:证法一:取PA的中点N，连接MN，DN，
又M为PB的中点，
所以MN∥AB,
又菱形ABCD中,AB∥CD，所以MN∥CD,
所以C,D，M,N四点共面．
取DC的中点O，连接PO.
因为侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，
平面PDC∩平面ABCD＝DC，
又因为PO⊥DC，所以PO⊥底面ABCD。

因为底面ABCD为菱形且∠ADC＝60°，DC＝2，DO＝1, 故OA⊥DC.
因为PO∩AO＝O，
所以DC⊥平面POA,所以DC⊥PA.
在△PAD中,PD＝AD＝2，
N为PA的中点，所以DN⊥PA。

又DN∩DC＝D,DN⊂平面CDNM，DC⊂平面CDNM，
所以PA⊥平面CDNM，即PA⊥平面CDM。

证法二:取DC的中点O,连接PO，OA，
因为侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD.
所以PO⊥底面ABCD，
因为底面ABCD为菱形且∠ADC＝60°,
DC＝2，DO＝1，则OA⊥DC。

以O原点，分别以OA,OC,OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，
则A（3，0,0)，P（0，0，3)，B(错误!，2,0)，C(0，1,0)，D(0,－1，0），所以M错误!，
所以错误!＝错误!，错误!＝（错误!,0，－错误!），错误!＝(0，2，0)，
所以错误!·错误!＝错误!×错误!＋0×2＋(－错误!)×错误!＝0，
错误!·错误!＝错误!×0＋0×2＋（－错误!）×0＝0，
所以错误!⊥错误!,错误!⊥错误!，所以PA⊥平面DMC.
(2）解:错误!＝错误!，错误!＝（错误!，1,0)，
设平面BMC的法向量为n＝(x，y，z）,
由n·错误!＝0，得x＋z＝0,
由n·错误!＝0，得错误!x＋y＝0。

取x＝－1,则y＝错误!，z＝1，
所以一个法向量n＝(－1,错误!，1)．
由(1)知，平面CDM的一个法向量可取错误!＝（错误!，0，－错误!)．
所以cos〈n,错误!〉＝错误!＝错误!＝－错误!.
观察可知二面角D－MC－B为钝角，
所以所求二面角的余弦值是－错误!.
1．如图，△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB,BC上，且AF＝2FB,CG＝2GB.
(1）求证:PE⊥FG；
(2)求二面角P－AD－C的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
解：在△PCD中，∵E为CD的中点，且PC＝PD，
∴PE⊥CD.
又∵平面PCD⊥平面ABCD,且平面PCD∩平面ABCD＝CD，PE⊂平面PCD，
∴PE⊥平面ABCD，取AB的中点H,连接EH，
∵四边形ABCD是长方形，则EH⊥CD，
如图所示，以E为原点，EH，EC，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∵PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，AF＝2FB，CG＝2GB,
∴E(0，0,0），P（0，0，错误!)，F（3,1,0)，G（2,3，0），A(3，－3，0),D（0,－3,0)，C（0，3,0）．
(1)证明：∵错误!＝(0,0，错误!),错误!＝(－1,2，0），
且错误!·错误!＝(0,0，错误!)·（－1,2，0）＝0，
∴错误!⊥错误!，即EP⊥FG.
(2）解：∵PE⊥平面ABCD,
∴平面ABCD的法向量为错误!＝（0，0,错误!)．
设平面ADP的一个法向量为n＝（x1，y1，z1），
错误!＝（－3，3，错误!），错误!＝(0，3，错误!)，
由于错误!即错误!
令z1＝3，则x1＝0，y1＝－7,
∴n＝(0，－错误!，3)．
由图可知二面角P－AD－C是锐角，设为α，
则cos α＝错误!＝错误!＝错误!，
∴sin α＝错误!,tan α＝错误!。

（3)解：∵错误!＝(－3，3,错误!），错误!＝(－1，2，0）,设直线PA与直线FG所成角为θ,
则cos θ＝错误!＝错误!＝错误!,
∴直线PA与FG所成角的余弦值为错误!。

2．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝错误!BC，∠ABC＝60°，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′（如图）．
（1)求证：AC⊥平面ABC′；
（2)求证：C′N∥平面ADD′；
(3)求二面角A－C′N－C的余弦值．
(1）证明：∵AD＝错误!BC，N是BC的中点，
∴AD＝NC，
又AD∥BC,∴四边形ANCD是平行四边形,
∴AN＝DC。

又∠ABC＝60°,∴AB＝BN＝AD，
∴四边形ANCD是菱形，
∴∠ACB＝错误!∠DCB＝30°，
∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB。

又平面C′BA⊥平面ABC，
平面C′BA∩平面ABC＝AB，∴AC⊥平面ABC′.
（2）证明:∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，
∴平面ADD′∥平面BCC′，又C′N⊂平面BCC′，
∴C′N∥平面ADD′.
(3）解：∵AC⊥平面ABC′，AC′⊥平面ABC,如图建立空间直角坐标系，
设AB＝1，则B(1，0，0），C（0，错误!，0），C′(0,0，错误!）,
N错误!，
∴错误!＝(－1,0，错误!)，错误!＝(0，－错误!，错误!）．
设平面C′NC的法向量为n＝（x，y，z)，
则错误!即错误!
取z＝1，则x＝3，y＝1,∴n＝(错误!，1,1）．
学必求其心得，业必贵于专精
∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC，又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC＝AN，
∴BD⊥平面C′AN.
设BD与AN交于点O，则O为AN的中点，
故O错误!,
∴平面C′AN的法向量错误!＝错误!.
∴cos〈n，错误!>＝错误!＝错误!。

由图形可知二面角A－C′N－C为钝角,
∴二面角A－C′N－C的余弦值为－错误!。