解题研究心得体会小论文

解题研究课考查小论文
关于一道数学题的解题心得
数科院 09（1）班 周丽娇 09211111
题目：求方程022-3-224=++y x y x 的整数解。

分析：该方程含有两个未知数，属于不定方程范畴，解决该类问题的思想是将不定方程划归成定方程，也就是设法减少不定方程中的未知数的个数，使方程个数与未知数个数相同，减少未知数的个数就是本问题的化归目标。

解法1： 方程化为：1)(y 22334+=++x x
当2>x 时，)1(2x
2222334+<++<x x x ）（不是平方数，所以2≤x ； 当1-<x 时，(2x)12222334<++<+x x x ）（不是平方数，
所以1-≥x ，
综上，21-≤≤x ，
当1-=x 时，原方程化为
()1,3-,412==+y y ； 当0=x 时，原方程化为
()312=+y ，不可能； 当1=x 时，原方程化为()1012=+y ，不可能；
当2=x 时，原方程化为()
6,-4,2512==+y y . 因此，方程的解是（-1，-3），（-1,1），（2,4），（2，-6） 解法2：方程化为：02-2-3422=⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x
. 判别式=∆()39-16
2-21691y 22+=++）（y y 应为平方数， 经简单尝试可得
()412=+y ，25，解得1=y ，-3,4，-6. 当
()412=+y ，即1=y ，-3时，1-=x ； 当(),2512=+y 即y=4，-6时，x =2.
所以方程的解是（-1，-3），（-1,1），（2,4），（2，-6）
评析：在上述两种解法中，解法1通过平方数的性质估计得到了x 的范围，再在x
的取值范围内利用枚举法使原来的不定方程划归为定方程，一一求出即可。

解法2把不定方程看成是x 的一元二次方程，把y 看做参数，从而将不定方程问题划归为定方程问题，利用一元二次方程的判别式的性质求出y 值，尽管判别式仍然是关于y 的方程，但比原方程简单很多。

这两种化归都遵循了简单化原则。

心得：化归法是一种应用较为广泛的思想方法，它在处理数学问题的过程中经常将待解决的陌生问题通过转化,归结为一个比较熟悉的问题来解决, 这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法来解决问题，这种方法也常将一个复杂的问题转化归结为一个或几个简单的问题来解决,等等.
穷则思变—化归方法：所谓化归方法是通过数学内部的联系和运动变化,在转变中实现问题的规范化,即将待解问题转化为规范问题,从而使原问题得到解决的方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题.
化归的基本思想：“化归”是转化和归结的简称.化归方法是数学解决问题的基本方法,其基本思想是:人们在解决数学问题时,常常是将待解决的问题A ,通过某种转化手段,归结为另一个问题B ,而问题B 是相对较容易解决或已有固定解决程式的问题,且通过对问题B 的解决可得原问题的解答.用框图可直观表示为:
其中,问题B 常被称作化归目标或方向,转化的手段被称为化归策略.
通过寻找恰当的映射实现化归：中学中我们常用到的两种映射包括欧氏平面到有序实数对集合上的映射和平面直角坐标系到复数集上的映射.
通过语义转换实现化归：形式化是数学的显著特点.代数学起始于以字母形象的表示 B ( 转化 ) ( 化归 目标 )
( 化归 对象 )
( 还原 ) 问题B 的解答
问题A 的解答 待解决问题A 容易解决的问题
数,随后,代数关系、运算律、运算法则等都被形式化地表示.因此从某种意义上说,学习数学就是学习一种有特定涵义的形式化语言,以及用这种形式语言去描述、解释、解决各种问题.
数学符号化、形式化以后,每一种数学语义,或者每一个数学概念、关系等,一般都有一种确定的数学符号表示.但是,数学的符号表示与数学的语义解释不是“一一对应”的,一种数学符号可能有多于一个的数学语义解释.
发挥这三种语言的功能以及注重它们的相互转换,将有助于学生对数学的理解和掌握.在立体几何的教学中,三种语言缺一不可,尤其要做好三种语言的转换.否则,就会违背几何概念的形成规律,影响空间想象力的形成和发展.一般来说,可以从图像语言入手,建立三种语言的联系,做好模型到图形的过渡,并注意两方面的转化: 从图形---文字---符号,即“有形”转化为“无形”;
从符号---文字---图形,即“无形”转化为“有形”;
由上可知,语义转换能力的培养是十分重要的.
分解与组合策略：在许多情况下，为实现化归过程，不仅要有分解，而且还要有“组合”，要在“分解”与“组合”的有机结合下去实现化归.因为两者的有机结合将导致问题关系结构的重新搭配，这种新的搭配有利于问题的解决.
总结：作为中学数学解题思想方法,它涉及的范围广,内容多,其核心内容就是“转化”的思想方法.我们对于数学问题的探索都是沿着“化难为易”,“化繁为简”,“化未知为已知”这样的途径进行的。

在中学阶段学生们应该,而且能够掌握的,且对将来具有使用价值的、常用的数学思想方法—化归法.纵观数学的发展历史可以看出,化归方法是被人们广泛使用着的一种用来研究数学问题,解决各种各样问题的重要方法.。