离散型随机变量的期望与方差的相关公式的证明

离散型随机变量的期望与方差的相关公式的证明
凭祥高中 谢松兴
地址：凭祥市新华路95号 邮编：532600
关键词：二项分布 几何分布 期望 方差 公式 证明
摘 要：本文主要介绍离散型随机变量的期望和方差的定义，着重用多种方法介绍高中数学课本中没有具体给出的二项分布、几何分布的期望和方差相关公式的证明推导过程，并能指导读者通过相关公式的应用解决一些高考题目和解决一些实际问题．
前言
人教版高中数学第三册（选修II ）中离散型随机变量的期望与方差的相关公式的给出比较直接突然，很多学生想知道其中的具体原因。

作为高考已经不要求推导公式，本着为学生答疑解惑的原则，本文作者结合大学和高中相关知识，给出以下证明方法，以便学有余力的学生自由阅读。

-、数学期望的来由
早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。

当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？
用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。

因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞
=1
<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞
=1
i i i p a ，
如果i i i p a ∑∞
=1
=∞，则数学期望不存在。

[]1
定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.
期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.
二、数学期望的性质
（1）设C 是常数，则E(C )=C 。

（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。

（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。

三、 方差的定义
前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。

但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。

定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2
p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.
ξ
D 叫标准差，反映了ξ的离散程度.
定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称
]))([(2X E X E -
为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。

方差的算术平方根)(X D 称为随机变量X 的标准差，记作)(X σ，即
)()(X D X =σ
由于)(X σ与X 具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。

D ξ表示ξ对
E ξ的平均偏离程度，D ξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X 的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X 的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。

若方差)(X D =0，则随机变量X 以概率1取常数值。

由定义4知，方差是随机变量X 的函数2)]([)(X E X X g -=的数学期望，故
⎪⎩⎪
⎨⎧--=⎰∑∞
∞
-∞=连续时当离散时当X dx x f X E x p X E x X D k k k k ,)()]([X ,)]([)(212
当X 离散时, X 的概率函数为 ,2 ,1 ,)()(====k P x X P x P K K k ； 当X 连续时，X 的密度函数为)(x f 。

求证方差的一个简单公式：
公式1：22)]([)()(X E X E X D -=
证明一：
2
2222)]([)(])]([)(2[]
))([()(X E X E x E X XE X E X E X E X D -=+-=-= 证明二：21
()n
i i i D x E p ξξ==-⋅∑
2212
2
1
1
1
22222[2()]2()2()()()n
i i i
i n
n n
i i i i i i i i x x E E p x p E x p E p E E E E E ξξξξξξξξξ=====-+⋅=-⋅+⋅=-+=-∑∑∑∑
22()D E E ξξξ∴=-
可以用此公式计算常见分布的方差
四、方差的性质
（1）设C 是常数,则D (C )=0。

（2）若C 是常数,则)()(2X D C CX D =。

（3）若X 与Y 独立，则
公式2： )()()(Y D X D Y X D +=+。

证 由数学期望的性质及求方差的公式得
{}{}
)
()()]([)()]([)()()(2)]([)]([)()(2)()()]()([]2[)]([])[()(22222
2222222
2Y D X D Y E Y E X E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E x E XY Y X E Y X E Y X E Y X D +=-+-=---++=+-++=+-+=+
可推广为：若1X ,2X ，…，n X 相互独立，则
∑∑===n
i i n
i i X D X D 1
1
)(][
∑∑===n
i i i n i i i X D C X C D 1
21
)(][
（4） D (X )=0 ⇔P (X = C )=1， 这里C =E (X )。

五、常见的期望和方差公式的推导过程
（一）离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明
1．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）p i ≥0，i ＝1，2，...； （2）p 1＋p 2＋ (1)
2．离散型随机变量期望和方差的性质： E (a ξ＋b)＝a E ξ＋b ，D (a ξ＋b)＝a 2 D ξ。

（1） 公式3：E （a ξ+b ）=aE ξ+b ，
证明：令a b ηξ=+ ,a b 为常数 η也为随机变量 ()()i i P ax b P x ξ+== 1,2,3...i = 所以 η的分布列为
1122()()...()n n E ax b p ax b p ax b p η=++++++
=112212(......)(......)n n n a x p x p x p b p p p ++++++++
E η=aE b ξ+
()E a b aE b ξξ+=+说明随机变量ξ的线性函数a b ηξ=+的期望等于随机变量ξ
期望的线性函数
（2） 公式4：D （a ξ+b ）=a 2D ξ（a 、b 为常数）.
证法一： 因为 21()n
i i i D x E p ξξ==-⋅∑
2212
2
1
1
1
22222[2()]2()2()()()n
i i i
i n
n n
i i i i i i i i x x E E p x p E x p E p E E E E E ξξξξξξξξξ=====-+⋅=-⋅+⋅=-+=-∑∑∑∑
22()D E E ξξξ∴=-
所以有：2
2
2
21
1
()[()]()
n
n
i i i
i i i D a b ax b aE b p a
x E p a D ξξξξ==+=+-+⋅=-⋅=∑∑ 证毕
证法二：D ξ=2
2
2221
1
1
1
()2()
()n
n
n
n
i i i i i i i
i i i i x E p x p E x p E p
E E ξξξξξ====-⋅=-+=-∑∑∑∑.
E(aξ＋b)＝aEξ＋b ， D(aξ+b)=a 2D ξ．
2
2
2
211
()[()]()
n
n
i i i
i i i D a b ax b aE b p a
x E p a D ξξξξ==+=+-+⋅=-⋅=∑∑
（二）二项分布公式列举及证明
1．二项分布定义：若随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝C n k p k q n-k 。

（k ＝0，1，2，…，n ，0＜p ＜1，q ＝1－p ，则称ξ服从二项分布，记作ξ~B (n ，p )，其中n 、 p 为参数，并记C n k p k q n-k =b(k ；n ，p )。

2．对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。

即：
（1）P (ξ＝k )＝C n k p k q n-k ＞0，k ＝0，1，2，…，n ； （2）∑=n
k 0
P (ξ＝k )＝∑=n
k 0
C n k p k q n-k ＝(p ＋q) n ＝1。

二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。

3．服从二项分布的随机变量ξ的期望与方差公式： 若ξ～B （n ，p ），则E ξ=np ，D ξ=npq （q =1－p ）.
（3） 公式5：求证：E ξ=np
方法一：
在独立重复实验中，某结果发生的概率均为p （不发生的概率为q ，有1p q +=），那么在n 次实验中该结果发生的次数ξ的概率分布为
服从二项分布的随机变量ξ的期望E np ξ=.证明如下：
预备公式 1
1k k n n kc nc --=
100110220211(1)()11011111()(......)n n n n k k n n k n n n n n n n p q c p q c p q c p q c p q c p q ----------------+=++++++ 因为()(1),k k n k k k n k
n n
p k c p p c p q ξ--==-= 所以 001112220012......n n n k k n k n n
n n n n n E c p q c p q c p q k c p q nc p q ξ---=⨯+⨯++⨯++⨯++ =00110220211(1)()110
11111(......)n n n k k n n k n n n n n n n np c p q c p q c p q c p q c p
q ---------------++++++ =1()n np p q np -+= 所以 E ξ= np 得证
方法二： 证明：若 ),(~p n B X ，则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X 的数学期望。

若设⎩
⎨⎧=次试验失败如第次试验成功
如第i i X i 01 i =1,2，…，n
则12...n X X X X =+++，因为 P X P i ==)1(，q P X P i =-==1)0( 所以p p q X E i =*+*=10)(，则
=)(X E np X E X E n
i i n
i i ==∑∑==1
1
)(][
可见，服从参数为n 和p 的二项分布的随机变量X 的数学期望是np 。

需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。

公式621212(1)k k k n n n k C nC n n C ----=+-
211k k n n k C knC --=
1111111212
[(1)1](1)(1)k n k k n n k k n n n k C nC n k C nC n n C ----------=-+=+-=+- 212
12(1)k k k n n n k C nC n n C ----∴=+-
求证：服从二项分布的随机变量ξ的方差公式7：D ξ=npq （q =1－p ）. 方法一：
证明： 2
20n
i i n i
n i E i C p q ξ-==∑
1
1
121
222
1
1101
2
221
1
2
1
2
111221122(1)(1)()(1)()(1)n
n
n i i n i
i i n i
n
n n i i n
n
n i i n i
n i i n i
n n n i i n n n n n n C pq nC
p q
n n C p q npq
np C
p q
npC q n n p
C
p q npq np p q npq n n p p q npq np npq n n p np n p -------==-----------==------=++-=+-+-=++-+-+=+-+-=+∑∑∑∑222222
(1)np np p n p npq n p -=-+=+
由公式1知22
()D E E ξξξ=-
222()npq n p np npq
=+-=
方法二： 设~(,)B n p ξ, 则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数。

若设⎩⎨
⎧=次试验失败
如第次试验成功
如第i i X i 01 i =1,2，…，n
则1
n
i i ξξ==∑是n 次试验中“成功”的次数，()01i E q p p ξ=*+*=，故
222()()[()](1)i i i D E E p p p p ξξξ=-=-=-， 1,2,,i n =
由于12,,...,n ξξξ相互独立，于是1()()n
i i D D ξξ==∑= np (1- p )。

（三） 几何分布的期望与方差的公式列举及证明
1． 定义5：几何分布（Geometric distribution ）是离散型概率分布。

定义6：在第n 次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。

n 次伯努利试验，前n -1次皆失败，第n 次才成功的概率。

1()(1)k P X k p p -==- 若P k q p k ()ξ==-1，则（1）E p
ξ=
1
，（2）D p p ξ=-12。

求证：（1）几何分布的期望 公式8：E p
ξ=
1
， 若某射击手击中目标的概率为P ，求证：从射击开始到击中目标所需次数ξ的期望
E p
ξ=
1 证明：依题意分布列为
由P k q p k ()ξ==-1，知
2112(1)3(1)...(1)...K E P P P P P KP P ξ-=⋅+-+-++-+
212123......(123......)k k E p pq q p kq p q q kq p ξ--=+++++=+++++
下面用错位相减法求上式括号内的值。

记21123...k k S q q kq -=++++
212...(1)k k k qS q q k q kq -=+++-+
两式相减，得21(1)1...k k k q S q q q kq --=++++-
S q q kq q k k k
=----1112
()
由01<<p ，知01<<q ，则0lim
=∞→k k q 及0lim =∞
→k k kq （可用L'Hospital 法则证明） 故2122
11
123......lim (1)k k k p q kq S q p -→∞
+++++===-， 所以E p
ξ=
1 求证：（2）()(,)p k g k p ξ== 几何分布的方差 公式9：D p
p
ξ=-12
2q
p
= 证明：利用导数公式()'x nx n n =-1，推导如下：
21123......k x x kx -+++++
'2'3''23'
()()...()...(......)k k x x x x x x x x =+++++=+++++
=-=----=
-(
)'()()()()x x x x x x 111112
2
上式中令x q =，则得 21
22
11
123......(1)k q q kq q p -+++++=
=-
（2）为简化运算，利用性质D E E ξξξ=-22()来推导。

22222123......k E p qp q p k q p ξ-=+++++
22221(123......)k p q q k q -=+++++
对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：k q kq k k 21-=()'，并用倍差法
求和，有22221
123......k q q k q -+++++
23'(23......)k q q q kq =+++++
=-=-+--=--=+-=-[()]'()()()()()q q q q q q q q q q p p 11211111122
242433
则
E p p p p
p ξ232
22=-=-()， 因此D E E p p p p
p
ξξξ=-=
--=-22222211()() 证明二: 2
2
1
1
11
1
1
()[(1)]k k k K k k E k pq
p k k q
kq ξ∞
∞
∞
---=====-+∑∑∑
=1
()k n k qp q E ξ∞
=+∑
=322121(1)p qp
p p p p +=+- D E E p p p p
p
ξξξ=-=
--=-222
22211()() 参考文献：
[1] 魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].2版.北京：高等教育出版社,2008:95,160.
[2] 全日制普通高级中学教科书《数学》 第三册（选修II ） 人民教育出版社2009.6。