精品教育新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明 检测B

第二章检测(B)
(时间:90分钟满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1下列说法正确的有()
①演绎推理是由一般到特殊的推理;
②演绎推理得到的结论一定是正确的;
③演绎推理的一般模式是“三段论”形式;
④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确,故②错误,其他都正确.故选C.
答案C
2有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平面α,a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,这显然是错误的,这是因为()
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
解析“直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选A.
答案A
3(1)已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.用反证法证明此命题时可假设p+q≥2;
(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证:关于x的方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明此命题时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1.
以下结论正确的是()
A.(1)与(2)的假设都错误
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确,(2)的假设错误
D.(1)的假设错误,(2)的假设正确
解析反证法证明问题的第一步是“假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立”,而命题(1)结论的反面应为“p+q>2”;对命题(2),其结论的反面为“方程x2+ax+b=0的两根的绝对值至少有一个大于或等于1”.故选D.
答案D
4如图,4个小动物换座位,开始时鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号座位,如果第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位,第4次左右列动物互换座位,……这样交替进行下去,那么第2 017次互换座位后,小兔所坐的座位号为()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析由题意得第4次互换座位后,4个小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,而2 017=4×504+1,所以第2 017次互换座位后结果与第1次互换座位结果相同,故小兔坐在1号座位上,故选A.
答案A
5若f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),…,f n+1(x)=f n'(x),n∈N*,则f2 017(x)等于()
A.sin x
B.-sin x
C.cos x
D.-cos x
解析由题意可知,函数f n(x)的表达式是呈周期性变化的,周期为4,而2 017=4×504+1, 故f2 017(x)=f1(x)=cos x,故选C.
答案C
6观察式子:1+,1+,1+,……,则可归纳出一般式子为()
A.1++…+(n≥2,n∈N)
B.1++…+(n≥2,n∈N)
C.1++…+(n≥2,n∈N)
D.1++…+(n≥2,n∈N)
答案C
7已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是()
A.若a,b与α所成的角相等,则a∥b
B.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b
C.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β
D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
解析对于选项A,直线a,b有可能相交或异面;对于选项B,直线a,b有可能相交或异面;对于选项C,平面α,β有可能相交;对于选项D,若a⊥α,b⊥β,当a⊂β时,有b⊥a,当a⊄β时,因为α⊥β,所以a∥β,所以b⊥a,故选D.
答案D
8对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,则每组内奇数之和S n与其所在组的编号数n的关系是()
A.S n=n2
B.S n=n3
C.S n=n4
D.S n=n(n+1)
解析当n=1时,S1=1;当n=2时,S2=8=23;当n=3时,S3=27=33;故归纳猜想S n=n3,故选B.
答案B
9古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:
①
②
他们研究过图①中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图②中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()
A.289
B.1 024
C.1 225
D.1 378
解析根据图形的规律可知,第n个三角形数为a n=,第n个正方形数为b n=n2,由此可排除选项D(1 378不是平方数),将选项A,B,C中的数代入到三角形数与正方形数表达式中检验可知,符合题意的是选项C,故选C.
答案C
10六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图①所示,在平行四边形ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),在如图②所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A+B+C+D等于()
A.2(AB2+AD2+A)
B.3(AB2+AD2+A)
C.4(AB2+AD2+A)
D.4(AB2+AD2)
解析如图,连接A1C1,AC,则四边形AA1C1C是平行四边形,故A1C2+A=2(A+AC2).
连接BD,B1D1,则四边形BB1D1D是平行四边形,
∴B+D=2(B+BD2).
又在▱ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2).
∵A=B,∴
A+B+C+D=2(A+AC2)+2(B+BD2)=2(AC2+BD2+B+A)=2[2(AB2+AD2)+2A]=4(A B2+AD2+A).
故选C.
答案C
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11用三段论证明f(x)=x3+sin x(x∈R)为奇函数的步骤为
.答案对定义域内的任意x,若满足f(-x)=-f(x),则函数f(x)为奇函数, 大前提因为x∈R,则-x∈R,f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sin x=-f(x), 小前提
所以函数f(x)=x3+sin x(x∈R)为奇函数.结论
12观察分析下表中的数据:
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.
解析因为5+6-9=2,6+6-10=2,
6+8-12=2,故可猜想F+V-E=2.
答案F+V-E=2
13为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密的原理如下:
明文密文密文明文
已知加密为y=a x-2(x为明文,y为密文),明文“3”通过加密后得到的密文为“6”,再发送,接收方通过解密得到明文“3”,若接收方收到的密文为“14”,则原发送的明文为.
解析由题意知,当x=3时,函数y=a x-2的函数值为6,即6=a3-2,∴a3=8,∴a=2.∴y=2x-2.
则当y=14时,有14=2x-2,
∴2x=16.∴x=4,故原发送的明文为4.
答案4
14观察图象,
第行的各数之和等于2 0172.
解析观察知,题图中的第n行的各数构成一个首项为n,公差为1,共(2n-1)项的等差数列,其各项和为:
S n=(2n-1)n+=(2n-1)n+(2n-1)(n-1)=(2n-1)2.
令(2n-1)2=2 0172,得2n-1=2 017,
∴n=1 009.
答案1 009
15蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看做是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数,则用n表示的f(n)=.
解析由于f(2)-f(1)=7-1=6,f(3)-f(2)=19-7=2×6,推测当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),∴f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+[f(n-2)-f(n-3)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.又
f(1)=1=3×12-3×1+1,∴f(n)=3n2-3n+1.
答案3n2-3n+1
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)实数的乘法与向量的数量积有以下类似的性质:
a·b=b·a,a·b=b·a,
(a+b)·c=a·c+b·c,(a+b)·c=a·c+b·c.
则由①(a·b)·c=a·(b·c),
②若a≠0,a·c=a·b,则b=c,
猜想对于向量的数量积有什么样的结论,猜想是否正确?
解猜想:①(a·b)·c=a·(b·c),
②若a≠0,a·c=a·b,则b=c.
这两个结论都不正确.
①式左边表示与c共线的向量,右边表示与a共线的向量,c与a不一定共线,故等式不一定成立.
②设a与c的夹角为α,a与b的夹角为β,由a·c=a·b,得|a||c|cos α=|a||b|cos β,
可得|c|cos α=|b|cos β,则c,b在a方向上的投影相等,b,c不一定相等.故等式不一定成立.
17(8分)已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,证明角B为锐角.
分析在△ABC中,要证角B为锐角,只要证cos B>0,结合余弦定理可解决问题.
证明要证明角B为锐角,只需证cos B>0.
又因为cos B=,
所以只需证明a2+c2-b2>0,即a2+c2>b2.
因为a2+c2≥2ac,所以只需证明2ac>b2.
由已知,得,即2ac=b(a+c).
所以只需证明b(a+c)>b2,即只需证明a+c>b.
而已知a,b,c为△ABC的三边,即a+c>b成立,
所以角B为锐角.
18(9分)设{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,c n=a n+b n,证明数列{c n}不是等比数列.
分析假设数列{c n}是等比数列,利用{a n},{b n}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立.
证明假设数列{c n}是等比数列,则当n≥2时,
(a n+b n)2=(a n-1+b n-1)(a n+1+b n+1).①
因为{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以=a n-1a n+1,=b n-1b n+1.
代入①并整理,得
2a n b n=a n+1b n-1+a n-1b n+1=a n b n,
即2=.②
当p,q异号时,<0,与②相矛盾;
当p,q同号时,因为p≠q,
所以>2,与②相矛盾.
故数列{c n}不是等比数列.
19(10分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点为M(0,1),直线l:y=kx-与椭圆相交于不同的两点A,B.
(1)若|AB|=,求k的值;
(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.
(1)解由题意知,b=1.
由a2=b2+c2可得c=b=1,a=,
所以椭圆的方程为+y2=1.
由消去y得(2k2+1)x2-kx-=0.
Δ=k2-4(2k2+1)×=16k2+>0恒成立.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=-.
所以|AB|=·|x1-x2|=,
化简得23k4-13k2-10=0,
即(k2-1)(23k2+10)=0,
解得k=±1.
(2)证明因为=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),
所以=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+
=-=0.
所以不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.
20(10分)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n a n(n∈N*),e为自然对数的底数.
(1)求函数f(x)=1+x-e x的单调区间,并比较与e的大小;
(2)计算,由此推测计算的公式,并给出证明;
(3)令c n=(a1a2…a n,数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<e S n.
解(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=1-e x.
当f'(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;
当f'(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减.
故f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).
当x>0时,f(x)<f(0)=0,即1+x<e x.
令x=,得1+,即<e.①
(2)=1·=1+1=2;
=2·2=(2+1)2=32;
=32·3=(3+1)3=43.
由此推测:=(n+1)n.②
下面用数学归纳法证明②.
(ⅰ)当n=1时,左边=右边=2,②成立.
(ⅱ)假设当n=k时,②成立,
即=(k+1)k.
当n=k+1时,b k+1=(k+1)a k+1,
由归纳假设可得=(k+1)k(k+1)=(k+2)k+1.所以当n=k+1时,②也成立.
根据(ⅰ)(ⅱ),可知②对一切正整数n都成立.
(3)由c n的定义、②、算术-几何平均值不等式、b n的定义及①得
T n=c1+c2+c3+…+c n=(a1+(a1a2+(a1a2a3+…+(a1a2…a n
=+…+
≤+…+
=b1+b2+…++…+b n·=b1
+b2+…+b n+…+a1+a2+…+
a n<e a1+e a2+…+e a n=e S n,即T n<e S n.。