人教b版选择性必修第一册113空间向量的坐标与空间直角坐标系课件

在空间直角坐标系中,若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则线段 AB 的中点坐标是
(
+ + +
,
,
).



拓展总结
对称点的坐标:
点P(x0,y0,z0)关于原点的对称点P1的坐标为(-x0,-y0,-z0);
点P(x0,y0,z0)关于xOy平面的对称点P2的坐标为(x0,y0,-z0);
= .


当 a 的每一个坐标分量都不为 0 时,a∥b⇔ = = .
(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.
4.空间直角坐标系
(1)在空间直角坐标系Oxyz中,x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的,它们都称
为坐标轴;通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面,分别记为 xOy 平面、
②充分利用几何图形的对称性.
(2)求某点M的坐标的方法:
作MM′垂直平面xOy,垂足为M′,求M′的横坐标x,纵坐标y,即点M的横坐
标x,纵坐标y,再求M点在z轴上投影的竖坐标z,即为M点的竖坐标z,于是
得到M点的坐标(x,y,z).
角度2
空间中点的对称问题
[例3] 在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4).
对称点的变化规律,才能准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”
这个结论.
探究点三
角度1
空间向量坐标的应用
空间中两点间的距离
[例4] 已知点M(3,2,1),N(1,0,5),求:
(1)线段MN的长度;
解:(1)根据空间两点间的距离公式得线段 MN 的长度 MN=
yOz 平面、 zOx 平面.z轴的正方向一般按照如下的方式确定:在z轴的
正半轴看xOy平面,x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半
轴重合.
(2)空间一点M的位置可以用 有序实数组(x,y,z) 来表示, 有序实数组 .
(x,y,z) 称为点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M(x,y,z) ,其中 x 称
→
→

→
=+ -
→
→
=-



=(1,- ,0).
针对训练:(1)已知向量 a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且 a∥b,则 xy=(
A.-2
B.-


D.2
C.


解析:(1)因为向量 a=(1,2,-y),b=(x,1,2),

-


且 a∥b,所以 = = ,解得 x= ,y=-4,
长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出各顶点的坐标;
解:(1)设 x 轴、y 轴、z 轴的单位向量分别为 i,j,k.
→
→
→
因为正方体的棱长为 2,所以=2i,=2j, =2k.
因为 D(0,0,0),所以 A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2).
5.空间向量坐标的应用
(1)空间两点间的距离公式:
①在空间中,点 A(x,y,z)到坐标原点 O 的距离 |OA|= + + .
②在空间中,A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)的距离 |AB|=


( - ) + ( - ) + ( - )

.
(2)空间中的中点坐标公式:
→
→
→
又=+=2i+2j,所以 B(2,2,0).
同理可得,A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2).
针对训练:(2021·广东佛山高二阶段练习)已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱
长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
→
→
→
(2)写出向量 , , 的坐标.
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标;
解:(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴上的分量不变,在y轴,z轴上的分
量变为原来的相反数,所以对称点坐标为P1(-2,-1,-4).
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标;
解:(2)由点P关于xOy平面对称后,它在x轴,y轴上的分量不变,在z轴上的
分量变为原来的相反数,所以对称点坐标为P2(-2,1,-4).
(1)解析:4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).
故选D.
(2)已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A′B′C′D′ ,E,F,G 分别为棱 DD′,D′C′,
→
→
→
→
→
BC 的中点,以{,,′}为基底,求下列向量的坐标:
空间两个向量a,b满足a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
(1)a=b的充要条件是x1=x2,y1=y2,z1=z2.
(2)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2).
(3)ua+vb=(ux1+vx2,uy1+vy2,uz1+).
(4)a·b= x1x2+y1y2+z1z2 .
→


所以=+=-+ (+)=- a+ b+ c=(- , , ).



→
→
→


答案:(2)(- , , )
→
方法总结
(1) 注 意 向 量 的 坐 标 顺 序 必 须 与 基 底 中 的 基 向 量 对 应 , 即 若 基 底 为
(5)|a|= ·= + + .
+ +
·
(6)cos<a,b>=
=
||||
+ + · + +
.
3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
= ,
(1)a∥b,a≠0⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ = ,
→
→
→
BC 的中点,以{,,′}为基底,求下列向量的坐标:
→
→
→
②,,.
→
→
→
解:②=-




=( ,1,1)-(0,1, )




=( ,0, ),
→
→
→
=-




=(1, ,0)-(0,1, )




=(1,- ,- ),
→
→
→
=-
分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限.
(4)在空间直角坐标系中,如果指定空间中的单位向量 e1,e2,e3 的始点都在原点 O,
且它们的方向分别与 x 轴、y 轴、z 轴的正方向相同,则{e1,e2,e3}是单位正交基底,
→
→
向量的坐标与点 P 的坐标相同,即=xe1+ye2+ze3=(x,y,z)⇔P(x,y,z).
解析:由图形及已知可得点B1 的坐标为(4,5,3),点C1(0,5,3)关于点B对
称的点为(8,5,-3),点A关于直线BD1 对称的点为C1(0,5,3),点C(0,5,0)
关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0).因此A,C,D正确.故选ACD.
方法总结
(1)空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握
{e1,e2,e3},a=λe1+μe2+ke3,则a的坐标为(λ,μ,k).
→
(2)的坐标等于终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标.
探究点二
空间直角坐标系
角度1 求空间中点的坐标
[例2] 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,试建立适当的空
间直角坐标系,写出各顶点的坐标.
解:因为正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10,所以正四棱锥的高为






(-) + (-) + (-) = (-) + (-) + (-) ,
化简得 x+y-2z+3=0,
因此,到 M,N 两点的距离相等的点 P(x,y,z)的坐标满足的条件是 x+y-2z+3=0.
解析:设点 P 的坐标为(x,0,0),






依题意得 ( + ) + (-) + (-) = ( + ) + (-) + (-) ,
解得 x=-4,
所以点 P 的坐标为(-4,0,0).
[例3] 在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4).
(3)求点P关于点M(2,-1,-4)对称的点的坐标.
解:(3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点,
由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,
y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,
所以P3的坐标为(6,-3,-12).
点P(x0,y0,z0)关于z轴的对称点P7的坐标为(-x0,-y0,z0).
师生互动·合作探究
探究点一
空间向量的坐标运算及应用
[例 1] (1)已知向量 a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则 4a+2b 等于(
)
A.(16,0,4) B.(8,-16,4)
C.(8,16,4) D.(8,0,4)
解:(2)因为 E,F 分别为棱 BB1,DC 的中点,
由中点坐标公式,得 E(2,2,1),F(0,1,0),
→
→
→
所以=(-2,-1,-1), =(-2,-1,-2), =(0,2,-1).
方法总结
(1)建立空间直角坐标系时,应遵循以下两个原则:
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上.
2 .
以正四棱锥的底面中心为原点,平行于 BC,AB 所在的直线分别为 x 轴、y 轴,垂直
于平面 ABCD 的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则正四棱锥各顶点
的坐标分别为 A(2,-2,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),D(-2,-2,0),P(0,0,2 ).
针对训练:(2021·广东佛山高二阶段练习)已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱
单位 向量,而且这三个向量两两 垂直 ,就称这组基底为单位正交基底.
(2)在单位正交基底下向量的分解称为向量的 单位正交分解 ,而且,如果
p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组 (x,y,z) 为向量p的坐标,记作p=(x,y,z),
其中x,y,z都称为p的坐标分量.
2.空间向量的运算与坐标的关系



(-) + (-) + (-) =2 ,
所以线段 MN 的长度为 2 .
[例4] 已知点M(3,2,1),N(1,0,5),求:
(2)到M,N两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.
解:(2)因为点 P(x,y,z)到 M,N 两点的距离相等,所以有下面等式成立:
空间向量的坐标与空间直角坐标系
学习目标
1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
知识梳理·自主探究
知识探究
1.空间中向量的坐标
(1)单位正交基底:一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是
所以 xy=-2.故选 A.
答案:(1)A
)
→
→
→
(2)在空间四边形 OABC 中,=a,=b,=c,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 的中
→
点,在基底{a,b,c}下的坐标为
.
解析:(2)因为 OM=2MA,点 M 在 OA 上,
→
→
所以= ,

→
为点M的横坐标(或x坐标), y 称为点M的纵坐标(或y坐标), z 称为点M的竖坐
标(或z坐标).
(3)在空间直角坐标系中,三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成八个部
分,习惯上,每一部分都称为一个卦限,按逆时针方向,在坐标平面xOy的上方,
分别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限;在坐标平面xOy的下方,
点P(x0,y0,z0)关于yOz平面的对称点P3的坐标为(-x0,y0,z0);
点P(x0,y0,z0)关于zOx平面的对称点P4的坐标为(x0,-y0,z0);
点P(x0,y0,z0)关于x轴的对称点P5的坐标为(x0,-y0,-z0);
点P(x0,y0,z0)关于y轴的对称点P6的坐标为(-x0,y0,-z0);
→
→
→
①,,;
→
(2)解:①=+
→
→
→
→

=+ ′



=+ ′


=(0,1, ),
→
→
→
→
→

=+=+ =(1, ,0),


→
→
→
→
=′+′′+′
→
→
→
=′++



=( ,1,1).
(2)已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A′B′C′D′ ,E,F,G 分别为棱 DD′,D′C′,