七年级上册数学 期末试卷达标检测卷(Word版 含解析)

七年级上册数学期末试卷达标检测卷（Word版含解析）
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．探究题：如图①，已知线段AB=14cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC 和BC的中点．
（1）若点C恰好是AB中点，则DE=________cm；
（2）若AC=4cm，求DE的长；
（3）试利用“字母代替数”的方法，设AC=a cm请说明不论a取何值（a不超过14cm），DE的长不变；
（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE 分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关．
【答案】（1）7
（2）解：∵AC=4cm ∴BC=AB－AC=10cm 又∵D为AC中点，E为BC中点∴CD=2cm,CE=5cm ∴DE=CD+CE=7cm.
（3）解：∵AC=acm ∴BC=AB－AC=(14－a)cm 又∵D为AC中点，E为BC中点∴CD=
cm,CE= cm ∴DE=CD+CE= ＋∴无论a取何值（不超过14）DE的长不变。

（4）解：设∠AOC=α,∠BOC=120-α ∵OD平分∠AOC,OE平分∠BOC ∴∠COD= ，
∠COE= ∴∠DOE=∠COD+∠COE= ＋ = =60°∴∠DOE=60°与OC位置无关.
【解析】【解答】解：（1）∵AB=12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，C点为AB的中点，
∴AC=BC=7cm，
∴CD=CE=3.5cm，
∴DE=7cm，.
【分析】（1）根据中点的定义AC=BC=AB，DC=AC,CE=CB,然后根据DE=DC+CE即可算出答案；
（2）首先根据BC=AB－AC 算出BC，根据中点的定义DC=AC,CE=CB,然后根据DE=DC+CE 即可算出答案；
（3）首先根据BC=AB－AC 表示出BC，根据中点的定义DC=AC,CE=CB,然后根据
DE=DC+CE=AC+CB=(AC+CB)=AB即可算出答案；
（4）根据角平分线的定义∠COD =∠AOC ，∠COE =∠BOC ，然后根据∠DOE=∠COD+∠COE =∠COD+∠COE=（∠COD+∠COE）=∠AOB即可得出答案。

2．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON=90 ）.
（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC?请说明理由；
（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC=60 ，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】（1）解：ON平分∠AOC．理由如下：∵OM平分∠BOC，∴∠BOM=∠MOC．∵∠MON=90°，∴∠BOM+∠AON=90°．又∵∠MOC+∠NOC=90°∴∠AON=∠NOC，即ON平分∠AOC
（2）解：∠BOM=∠NOC+30°．理由如下：∵∠BOC=60°，即：∠NOC+∠NOB=60°，又因为∠BOM+∠NOB=90°，所以：∠BOM=90°﹣∠NOB=90°﹣（60°﹣∠NOC）=∠NOC+30°，∴∠BOM与∠NOC之间存在的数量关系是：∠BOM=∠NOC+30°．
【解析】【分析】（1）ON平分∠AOC．理由如下：根据角平分线的定义得出∠BOM=∠MOC ，根据平角的定义得出∠BOM+∠AON=90°．又∠MOC+∠NOC=90°，根据等角的余角相等即可得出∠AON=∠NOC，即ON平分∠AOC ；
（2）∠BOM=∠NOC+30°．理由如下：根据角的和差得出∠NOC+∠NOB=60°，又因为∠BOM+∠NOB=90°，利用整体替换得出∠BOM=90°﹣∠NOB=90°﹣（60°﹣∠NOC）=∠NOC+30°。

3．已知直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F．
（1）如图1，若∠1=60°，求∠2，∠3的度数．
（2）若点P是平面内的一个动点，连结PE，PF，探索∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系．
①当点P在图（2）的位置时，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD请阅读下面的解答过程并填空（理由或数学式）
解：如图2，过点P作MN∥AB
则∠EPM=∠PEB（________）
∵AB∥CD（已知）MN∥AB（作图）
∴MN∥CD（________）
∴∠MPF=∠PFD （________）
∴________=∠PEB+∠PFD（等式的性质）
即：∠EPF=∠PEB+∠PFD
②拓展应用，当点P在图3的位置时，此时∠EPF=80°，∠PEB=156°，则∠PFD=________度．
③当点P在图4的位置时，请直接写出∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间关系________．【答案】（1）解：∵∠2=∠1，∠1=60°
∴∠2=60°，
∵AB∥CD
∴∠3=∠1=60°
（2）两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；∠EPM+∠MPF；124；∠EPF+∠PFD=∠PEB
【解析】【解答】（2）①如图2，过点P作MN∥AB，则∠EPM=∠PEB（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），MN∥AB，
∴MN∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠MPF=∠PFD（两直线平行，内错角相等）
∴∠EPM+∠MPF=∠PEB+∠PFD（等式的性质）
即∠EPF=∠PEB+∠PFD；
故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；∠EPM+∠MPF；
②过点P作PM∥AB，如图3所示：
则∠PEB+∠EPM=180°，∠MPF+∠PFD=180°，
∴∠PEB+∠EPM+∠MPF+∠PFD=180°+180°=360°，
即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°，
∴∠PFD=360°﹣80°﹣156°=124°；
故答案为：124；
③∠EPF+∠PFD=∠PEB．
故答案为：∠EPF+∠PFD=∠PEB．
【分析】（1）利用对顶角相等，可证∠1=∠2，可求出∠2的度数，再根据两直线平行，同位角相等，就可求出∠3的度数。

（2）① 利用两直线平行，内错角相等，可证∠EPM=∠PEB，再根据同平行于一条直线的两直线平行，可证得MN∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，可证得结论；②利用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可证∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°，代入计算可求出∩PFD的度数；③利用平行线的性质可证∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间关系。

4．
（1）感知：如图①，若AB∥CD，点P在A
B、CD内部，则∠P、∠A、∠C满足的数量关系是________．
（2）探究：如图②，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则∠APC、∠A、∠C满足的数量关系是________．
请补全以下证明过程：
证明：如图③，过点P作PQ∥AB
∴∠A＝________
∵AB∥CD，PQ∥AB
∴________∥CD
∴∠C＝∠________
∵∠APC＝∠________﹣∠________
∴∠APC＝________
（3）应用：
① 如图④，为北斗七星的位置图，如图⑤，将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，其中B、C、D三点在一条直线上，AB∥EF，则∠B、∠D、∠E满足的数量关系是________．
② 如图⑥，在（1）问的条件下，延长AB到点M，延长FE到点N，过点B和点E分别作射线BP和EP，交于点P，使得BD平分∠MBP，EN平分∠DEP，若∠MBD＝25°，则∠D﹣∠P＝________°．
【答案】（1）∠P＝∠A+∠C
（2）∠APC＝∠A﹣∠C；∠APQ；PQ；∠CPQ；∠APQ；∠CPQ；∠A﹣∠C
（3）解：∠D+∠B﹣∠E＝180°；75
（1）∠P＝∠A+∠C；∠APC＝∠A﹣∠C，∠APQ，PQ，∠CPQ，∠APQ，∠CPQ，∠A﹣∠C；∠D+∠B﹣∠E＝180°（2）75
【解析】【解答】解：（1）如图①，过点P作PQ∥AB
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，PQ∥AB
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠QPC，
∴∠APQ+∠QPC＝∠A+∠C，
∠APC＝∠A+∠C．
故答案为∠P＝∠A+∠C；（2）如图③，过点P作PQ∥AB
∴∠A＝∠APQ
∵AB∥CD，PQ∥AB
∴PQ∥CD
∴∠C＝∠CPQ
∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ
∴∠APC＝∠A﹣∠C．
故答案为：∠APC＝∠A﹣∠C，∠APQ，PQ，∠CPQ，∠APQ，∠CPQ，∠A﹣∠C．（3）①如图⑤，过点D作DH∥EF，
∴∠HDE＝∠E，
∵AB∥EF，DH∥EF
∴AB∥DH，
∴∠B+∠BDH＝180°，
即∠BDH＝180°﹣∠B，
∴∠HDE+∠BDH＝∠E+180°﹣∠B，
即∠BDE+∠B﹣∠E＝180°，
故答案为∠D+∠B﹣∠E＝180°，
②如图⑥，过点P作PH∥EF，
∴∠EPH＝∠NEP，
∵AB∥EF，PH∥EF，
∴AB∥PH，
∴∠MBP+∠BPH＝180°，
∵BD平分∠MBP，∠MBD＝25°，
∠MBP＝2∠MBD＝2×25°＝50°，
∠BPH＝180°﹣50°＝130°，
∵EN平分∠DEP，
∴∠NEP＝∠DEN
∴∠BPE＝∠BPH﹣∠EPH＝∠BPH﹣∠NEP＝∠BPH﹣∠DEN＝130°﹣（180°﹣∠DEF）＝∠DEF﹣50°
由①∠D+∠ABD﹣∠DEF＝180°，
∵∠MBD＝25°，
∴∠ABD＝155°，
∴∠D+∠155°﹣∠DEF＝180°，
∴∠DEF＝∠D﹣25°
∴∠BPE＝∠DEF﹣50°＝∠D﹣25°﹣50°＝∠D﹣75°
∠D﹣∠BPE＝75°
即∠D﹣∠P＝75°，
故答案75．
【分析】作平行线利用平行线的性质与角平分线的性质通过角等量关系转化解题即可．5．已知，，OB、OM、ON是内的射线.
（1）如图，若OM平分，ON平分，，则 ________ ；
（2）如图，若OM平分，ON平分，求的度数；
（3）如图，OC是内的射线，若，OM平分，ON平分，当射线OB在内时，求的度数.
【答案】（1）60
（2）解：，，
，
平分，OM平分，
，，
；
（3）解：设，则，
平分，ON平分，
，，
【解析】【解答】，，
，
平分，
，
故答案为：60；
【分析】（1）由题意和角的构成知∠BOD=∠AOD-∠AOB，再根据角平分线的定义得∠BON=∠BOD可求解；
（2）由角的构成可求得∠BOD的度数，再根据角平分线的定义得∠BOM=∠AOB，
∠BON=∠BOD，则∠MON=∠BOM+∠BON可求解；
（3）设∠AOB=x，由角的构成得∠BOD=∠AOD-∠AOB=160°-x，由角平分线的定义得∠COM=∠AOC，∠BON=∠BOD，由角的构成得∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC可求解.
6．已知一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，，
（1）图1中 ________
（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O按顺时针方向旋转一个角度，在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方：
①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度的
值；
②是否存在？若存在，求此时的的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）75
（2）解：①当OB平分∠AOD时，
∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°−∠AOE−∠COD＝120°−α，
∴∠AOB＝∠AOD＝60°− α＝45°，
∴α＝30°，
当OB平分∠AOC时，
∵∠AOC＝180°−α，
∴∠AOB═90°− α＝45°，
∴α＝90°；
当OB平分∠DOC时，
∵∠DOC＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∴α＝180°−45°−30°＝105°，
综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°；
②当OA在OD的左侧时，则∠AOD＝120°−α，∠BOC＝135°−α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°−α＝2（120°−α），
∴α＝105°；
当OA在OD的右侧时，则∠AOD＝α−120°，∠BOC＝135°−α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°−α＝2（α−120），
∴α＝125°，
综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD.
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOD＝180°−∠AOB−∠COD＝75°，
故答案为：75；
【分析】（1）根据平平角的定义即可得到结论；（2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论.
7．如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内（如图1）.
（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，则∠BEC＝________°；
（2）在（1）的条件下，若∠CEG比∠AEG小25度，求∠AEG的大小；
（3）若射线EF平分∠AED，∠FEG＝m°（m＞90°）（如图2），则∠AEG﹣∠CEG＝________°（用m的代表式表示）.
【答案】（1）45°
（2）解：∵∠CEG＝∠AEG﹣25°，
∴∠AEG＝180°﹣∠BEC﹣∠CEG
＝180°﹣45°﹣（∠AEG﹣25°）＝160°﹣∠AEG，
∴∠AEG＝80°；
（3）2m﹣180.
【解析】【解答】解：（1）设∠BEC＝x°，
根据题意，可列方程：180﹣x＝3（90﹣x），
解得x＝45°，
故∠BEC＝45°，
故答案为：45°；
（ 3 ）∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF，
设∠AEF＝∠DEF＝α，∠AEG＝∠FEG﹣∠AEF＝m﹣α，
∠CEG＝180°﹣∠GEF﹣DEF＝180﹣m﹣α，
∴∠AEG﹣∠CEG＝m﹣α﹣（180﹣m﹣α）＝2m﹣180.
故答案为：2m﹣180.
【分析】（1）设∠BEC＝x°，根据题意，可列方程：180﹣x＝3（90﹣x），解出∠BEC；（2）由∠CEG＝∠AEG﹣25°，得∠AEG＝180°﹣∠BEC﹣∠CEG＝180°﹣45°﹣（∠AEG﹣25°），解出∠AEG；（3）计算出∠AEG和∠CEG，然后相减，即可得到结果.
8．如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，
（1）如图2中A′落在ED′上，求∠FEG的度数；
（2）如图3中∠A′ED′＝50°，求∠FEG的度数；
（3）如图4中∠FEG＝85°，请直接写出∠A′ED′的度数；
（4）若∠A′ED'＝n°，直接写出∠FEG的度数（用含n的代数式表示）.
【答案】（1）解：由翻折知△EAF≌△EA′F，△EDG≌△ED′G，
∴∠A′EF＝∠AEA′，∠D′EG＝∠DED′，
∵∠AEA′+∠DED′＝180°，
∴∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG＝（∠AEA′+∠DED′）＝90°；
（2）解：由（1）知∠A′E F＝∠AEA′，∠D′EG＝∠DED′，
∵∠A′ED′＝50°，
∴∠AEA′+∠DED′＝130°，
∴∠A′EF+∠D′EG＝ ×（∠AEA′+∠DED′）＝65°，
∴∠FEG＝∠A′ED′+∠A′EF+∠D′EG＝115°；
（3）解：∵∠FEG＝85°，
∴∠AEF+∠DEG＝95°，
∴∠A′EF+∠D′EG＝95°，
则∠A′ED′＝∠A′EF+∠D′EG﹣∠FEG＝95°﹣85°＝10°；
（4）解：如图3，∵∠A′ED′＝n°，
∴∠AEA′+∠DE D′＝180°﹣∠A′ED′＝（180﹣n）°，
∵2∠A′EF＝∠AEA′，2∠D′EG＝∠DED′，
∴∠A′EF+∠D′EG＝，
∴∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG+∠A′ED′＝ +n°＝；
见图4，∵∠AEA′+∠DED′﹣∠A′ED′＝180°，∠A′ED′＝n°，
∴∠AEA′+∠DED′＝180°+n°，
∵2∠A′EF＝∠AEA′，2∠D′EG＝∠DED′，
∴∠A′EF+∠D′EG＝，
∴∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG﹣∠A′ED′＝﹣n°＝；
综上，∠FEG的度数为或 .
【解析】【分析】（1）由翻折性质知△EAF≌△EA′F，△EDG≌△ED′G，据此得∠A′EF＝∠AEA′，∠D′EG＝∠DED′，结合∠AEA′+∠DED′＝180°可得答案；（2）由∠A′ED′＝50°知
∠AEA′+∠DED′＝130°，据此得∠A′EF+∠D′EG＝ ×（∠AEA′+∠DED′）＝65°，根据∠FEG＝∠A′ED′+∠A′EF+∠D′EG可得答案；（3）由∠FEG＝85°知∠A′EF+∠D′EG＝95°，根据∠A′ED′＝∠A′EF+∠D′EG﹣∠FEG可得答案；（4）分别结合图3和图4两种情况，先表示出∠A′EF+∠D′EG的度数，再分别根据∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG+∠A′ED′和∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG﹣∠A′ED′求解可得.
9．以直线上点为端点作射线，使，将直角的直角顶点放在点处.
（1）若直角的边在射线上（图①），求的度数；
（2）将直角绕点按逆时针方向转动，使得所在射线平分（图②），说明所在射线是的平分线；
（3）将直角绕点按逆时针方向转动到某个位置时，恰好使得
（图③），求的度数.
【答案】（1）解：∵，
又∵，
∴ .
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴所在直线是的平分线.
（3）解：设，则，
∵，，
①若∠COD在∠BOC的外部，
∴，解得x=10，
∴∠COD=10°，
∴∠BOD=60°+10°=70°；
②若∠COD在∠BOC的内部，
，解得x=30，
∴∠COD=30°，
∴∠BOD=60°-30°=30°；
即或，
∴或 .
【解析】【分析】（1）代入∠BOE=∠COE+∠COB求出即可；（2）求出∠AOE=∠COE，根据∠DOE=90°求出∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，推出∠COD=∠DOB，即可得出答案；（3）要分情况讨论，一种是∠COD在∠BOC的内部，另一种是∠COD在∠BOC的外
部，再根据平角等于180°可通过列方程求出即可．
10．综合题
（1）如图1，若CO⊥AB，垂足为O，OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC．求∠EOF的度数；
（2）如图2，若∠AOC=∠BOD=80°，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．求∠EOF的度数；
（3）若∠AOC=∠BOD=α，将∠BOD绕点O旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．若α+β≤180°，α＞β，则∠EOC=________．（用含α与β的代数式表示）
【答案】（1）解：∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC= ∠AOC= ×90°=45°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF= ∠BOC= ×90°=45°，
∠EOF=∠EOC+∠COF=45°+45°=90°；
（2）解：∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD= ∠AOD= ×（80+β）=40+ β，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF= ∠BOC= ×（80+β）=40+ β，
∠COE=∠EOD﹣∠COD=40+ β﹣β=40﹣β；
∠EOF=∠COE+∠COF=40﹣β+40+ β=80°；
（3）
【解析】【解答】（3）如图2，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，
∴∠AOD=α+β，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE= （α+β），
∴∠COE=∠DOE﹣∠COD= ，
如图3，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，
∴∠AOD=α+β，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE= （α﹣β），
∴∠COE=∠DOE+∠COD= ．
综上所述：，
故答案为：．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠AOC=∠BOC=90°，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠EOD=40+ β，∠COF=40+ β，根据角的和差即可得到结
论；
（3）如图2由已知条件得到∠AOD=α+β，根据角平分线的定义得到∠DOE=（α+β），即可得到结论．
11．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，另一边ON仍在直线AB的下方．
（1）若OM恰好平分∠BOC，求∠BON的度数；
（2）若∠BOM等于∠COM余角的3倍，求∠BOM的度数；
（3）若设∠BON＝α（0°<α<90°），试用含α的代数式表示∠COM．
【答案】（1）解：∵∠BOC=120°，OM恰好平分∠BOC
∴∠BOM=∠BOC=60°
又∵∠MON=90°
∴∠BON=∠MON−∠BOM
=90°−60°=30°
（2）解：设的余角为x°，
则
由题意得：，
x=15,
3x=45，
所以的度数为45°
（3）解：（0°< <90°）．
．
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠BOM的度数，再根据∠BON=∠MON−∠BOM，即可求出结果。

（2）设∠ C O M 的余角为x°，表示出∠COM的度数，再根据∠BOM=∠COM余角的3
倍，建立方程求解即可。

（3）根据角的和与差计算即可。

12．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角尺（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方.
（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2.
①求t值；
②试说明此时ON平分∠AOC；
（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON=α，∠COM=β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；
（3）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC第一次平分∠MON?请说明理由.
【答案】（1）解：①∵∠AOC=30°，OM平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°，∴∠COM=∠BOM=75°.
∵∠MON=90°，∴∠CON=15°，∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，∴∠AON=∠CON，∴t=15°÷3°=5秒；
②∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC
（2）解：∵∠AOC=30°，∴∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC，∴30°－α=90°－β，∴β=α+60°
（3）解：设旋转时间为t秒，∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，∠CON=45°，∴30°+8t=5t+45°，∴t=5.
即t=5时，射线OC第一次平分∠MON.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质以及余角补角的性质即可得出结论；（2）根据∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC即可得到结论；（3）分别根据转动速度关系和OC 平分∠MON列方程求解即可.
13．如图，已知，，，点E在线段AB上，，点F在直线AD上，．
（1）若，求的度数；
（2）找出图中与相等的角，并说明理由；
（3）在的条件下，点不与点B、H重合从点B出发，沿射线BG的方向移动，其他条件不变，请直接写出的度数不必说明理由．
【答案】（1）解：，，
，
，
，
，
（2）解：与相等的角有：，，．
理由：，
两直线平行，内错角相等，
，，
，
，
同角的余角相等，
，
，
两直线平行，同位角相等，
（3）解：35°或145°
【解析】【解答】解：或
当点C在线段BH上时，点F在点A的左侧，
如图1：
，
两直线平行，内错角相等，
当点C在射线HG上时，点F在点A的右侧，
如图2：
，
两直线平行，同旁内角互补，
，
．
【分析】根据，，可得，再根据，即可得到；根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与相等的角；分两种情况讨论：当点C在线段BH上；点C 在BH延长线上，根据平行线的性质，即可得到的度数为或．
14．如图，在△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的平分线交于点O．
（1）若∠ABC=40°，∠ ACB=50°，则∠BOC=________
（2）若∠ABC+∠ ACB=lO0°，则∠BOC="________"
（3）若∠A=70°，则∠BOC=________
（4）若∠BOC=140°，则∠A=________
（5）你能发现∠ BOC与∠ A之间有什么数量关系吗?写出并说明理由．
【答案】（1）135°
（2）130°
（3）125°
（4）100°
（5）解：BO平分∠ABC, CO平分∠ABC ∴∠OBC=0.5∠ABC ∠OCB=0.5∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=0.5∠ABC+0.5∠ACB= 0.5（180-∠A）=90-0.5∠A ∴∠O=180-（∠OBC+∠OCB）=180-（90-0.5∠A）=90°+0.5∠A
【解析】【解答】解：（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=50°，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．
∴∠OBC= ∠ABC=20°，∠OCB= ∠ACB=25°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-20°-25°=135°，
故答案是：135°；
（ 2 ）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=50°，
∴∠BOC=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°-50°=130°，
故答案是130°．
（ 3 ）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=55°，
∴∠BOC=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°-55°=125°，
故答案是125°；
（ 4 ）∵∠BOC=140°，
∴∠OBC+OCB=40°，
∵∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+OCB）=80°，
∴∠A=100°，
故答案是：100°；
【分析】根据角平分线的性质以及三角形内角和定理得出∠OBC和∠OCB与∠A之间的关系，然后根据△BOC的内角和定理得出∠BOC与∠A的关系.
15．我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离。

而|5|=|5-0|，即|5-0|表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离。

类似的，有：|5-3|表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5和-3在数轴上对应的两点之间的距离。

一般地，点A、B在数轴上分别表示数a和b，那么点A和B之间的距离可表示为|a-b|。

利用以上知识：
（1）求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|的最小值=________。

（2）求代数式|x-1|+| x-1|+| x-3|+| x-4|的最小值。

【答案】（1）2500
（2）解：1、1……2、2……9、9……16、16，
则最中间的一个数是2，
∴当x=2,
|x-1|+|x-1|+|x-3|+|x-4|
=|x-1|+|x-2|+|x-9|+|x-16|
=(12|2-1|+6|2-2|+4|2-9|+3|2-16)|
=
=.
【解析】【解答】解：(1) 由题意得：|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|的最小值为：
|50.5-1|+|50.5-2|+|50.5-3|+…+|50.5-100|=2500.
【分析】（1）由于|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|表示数轴上某点到1、2、3……100的距离之和，因此当x所对应的点在点1和点100最中间时取最小值，这时把x=50.5代入原式求值即可.
(2)先提取将每个绝对值的系数变为整数，然后将12个1，6个2，4个9和3个16排成一组数，则最中间的一个数是2，则把2代入原式求值即是最小值.。