2021高考数学大一轮复习考点规范练66不等式选讲理新人教A版

考点规范练66 不等式选讲
考点规范练B册第50页
基础巩固
1.(2019宁夏石嘴山三中高三一模)已知函数f(x)=|x-a|+2|x-1|.
(1)当a=2时,求关于x的不等式f(x)>5的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)-|x-1|≤|a-2|有解,求a的取值范围.
解:(1)当a=2时,不等式为|x-2|+2|x-1|>5,
若x≤1,则-3x+4>5,即x<-1
3
;
若1<x<2,则x>5,舍去;
若x≥2,则3x-4>5,即x>3.
综上,不等式的解集为-∞,-1
3
∪(3,+∞).
(2)∵f(x)-|x-1|=|x-a|+|x-1|≥|1-a|当且仅当(x-a)(x-1)≤0时等号成立,
∴题意等价于|1-a|≤|a-2|,∴a≤3
2
,
∴a的取值范围为(-∞,3
2
].
2.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)={-2,x≤-1,
2x,-1<x<1, 2,x≥1.
故不等式f(x)>1的解集为{x|x>1
2
}.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>0,则|ax-1|<1的解集为{x|0<x<2
x },所以2
x
≥1,故0<a≤2.
综上,a的取值范围为(0,2].
3.已知函数f(x)=|x-1|-|x+2|.
(1)若不等式f(x)≥|m-1|有解,求实数m的最大值M;
(2)在(1)的条件下,若正实数a,b满足3a2+b2=M,
求证:3a+b≤4.
(1)解若不等式f(x)≥|m-1|有解,只需f(x)的最大值f(x)max≥|m-1|即可.因为|x-1|-|x+2|≤|(x-1)-(x+2)|=3,
所以|m-1|≤3,
解得-2≤m≤4,所以实数m的最大值M=4.
(2)证明根据(1)知正实数a,b满足3a2+b2=4.
由柯西不等式可知(3a2+b2)(3+1)≥(3a+b)2,
所以(3a+b)2≤16.
因为a,b均为正实数,所以3a+b≤4(当且仅当a=b=1时取“=”).
4.设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)={2x+4,x≤-1, 2,-1<x≤2, -2x+6,x>2.
可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.
由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.
所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
5.(2019广西桂林高三一模)已知函数f(x)=|x-1
2|+|x+1
2
|,M是不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:当a ,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.
(1)解f (x )={ -2x ,x ≤-12,
1,-12<x <12,2x ,x ≥12.
当x ≤-12时,由f (x )<2得-1<x ≤-12;
当-12<x<12时,f (x )<2成立;
当x ≥12时,由f (x )<2得12≤x<1.
所以f (x )<2的解集M={x|-1<x<1}.
(2)证明由(1)知,当a ,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1.
从而(a+b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0,所以|a+b|<|1+ab|.
能力提升
6.(2019河北唐山高三二模)已知f (x )=|ax+1|+|ax-1|-2a-4.
(1)若f (x )≥0,求a 的取值范围;
(2)若a>0,y=f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形面积为S ,求S 的最小值.
解:(1)因为|ax+1|+|ax-1|≥|(ax+1)-(ax-1)|=2,
等号当且仅当(ax+1)(ax-1)≤0时成立,
所以f (x )的最小值为2-2a-4=-2a-2.
依题意可得-2a-2≥0,所以a ≤-1.
(2)因为a>0,f (x )=|ax+1|+|ax-1|-2a-4,
f (x )={ -2xx -2x -4,x ≤-1x ,
-2x -2,-1x <x <1x ,2xx -2x -4,x ≥1x .
所以y=f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形为等腰梯形ABCD ,
且顶点为A (-1-2x ,0),B 1+2x ,0,C (1
x ,-2x -2),D (-1
x ,-2x -2).
从而S=2(1+3x )(a+1)=2(x +3x )+8,因为a+3
x ≥2√3,等号当且仅当a=√3时成立,
所以当a=√3时,S 取得最小值4√3+8.
7.已知函数f (x )=|x+2|-2|x-1|.
(1)解不等式f (x )≥-2;
(2)对任意x ∈[a ,+∞),都有f (x )≤x-a 成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)f (x )=|x+2|-2|x-1|≥-2.
当x ≤-2时,x-4≥-2,即x ≥2,故x ∈⌀;
当-2<x<1时,3x ≥-2,即x ≥-23,故-2
3≤x<1;
当x ≥1时,-x+4≥-2,即x ≤6,故1≤x ≤6;
综上,不等式f (x )≥-2的解集为{x |-2
3≤x ≤6}.
(2)f (x )={x -4,x ≤-2,
3x ,-2<x <1,-x +4,x ≥1,
函数f (x )的图象如图所示.
令y=x-a ,当直线y=x-a 过点(1,3)时,-a=2.
故当-a ≥2,即a ≤-2时,即往上平移直线y=x-a ,都有f (x )≤x-a. 往下平移直线y=x-a 时,
联立{x =-x +4,
x =x -x ,
解得x=2+x 2,当a ≥2+x 2,即a ≥4时,对任意x ∈[a ,+∞),-x+4≤x-a.
综上可知,a 的取值范围为a ≤-2或a ≥4.
高考预测
8.已知函数f (x )=|x+1|-a|x-1|.
(1)当a=-2时,解不等式f (x )>5;
(2)若f (x )≤a|x+3|,求a 的最小值.
解:(1)当a=-2时,f (x )={1-3x ,x <-1,
3-x ,-1≤x ≤1,3x -1,x >1.
由f (x )的单调性及f (-43)=f (2)=5,
得f (x )>5的解集为{x |x <-43,或x >2}.
(2)由f (x )≤a|x+3|得a ≥|x +1|
|x -1|+|x +3|.
由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得|x +1|
|x -1|+|x +3|≤12,
即a ≥12(当且仅当x ≥1或x ≤-3时等号成立).
故a 的最小值为12.。