中考题型二：应用题与证明

中考重点题型二：证明与应用题
第一部分：应用题
1. 某公司由330台机器要运送到外地，计划租用甲、乙两种货车。

已知甲种火车每辆租金400元，
乙种货车每辆租金280元。

若租用3辆甲种火车和2辆乙种货车，可运送195台机器；若租用4辆甲种货车和1辆乙种货车，可运送210台机器。

（1） 求每辆甲种货车和乙种货车能运送的机器数量； （2） 若计划租用甲、乙梁总货车共8辆，请给出一次性将机器运送到目的地的最节省费用的租车方
案，并说明理由。

2. 某市一条道路需要翻修，甲队单独完成这项工作需要90天，为尽快完成任务，甲队单独干了15
天后邀请乙队加入，两队又共同干了10天，共完成道路总长的3
1。

（1） 求乙队单独完成这项工作需要多少天？
（2） 为方便市民出行，政府决定缩短工期，签约双方商谈后，甲、乙两队分别增加人工、机械投入
量使工程进度加快，加快工程进度后乙队的工作效率是
n
1
，甲队的工作效率是乙队的m 倍（1≤m ≤2），若两队合作30天可完成剩余的工程，请写出n 关于m 的函数关系式，并求出乙队的最高工作效率是原来的几倍？
3. 母亲节前夕，某工艺品店从厂家购进A ，B 两种礼盒，已知A ，B 两种礼盒的单价之和为200元，
购进2个A 种礼盒和3个B 种礼盒共花费520元。

（1） 求A ，B 两种礼盒的单价；
（2） 若该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A 种礼盒最多36个，B 种礼盒的数量不超
过A 种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？
（3） 已知销售一个A 种礼盒可获利10元，销售一个B 种礼盒可获利18元。

该店主决定每售出一
个B 种礼盒，为爱心基金捐款m 元，每个A 种礼盒的利润不变，在（2）的条件下，要使A ，B 两种礼盒全部售出后所有方案获利均相同，m 的值应是多少？此时店主获利多少元？
4.某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单
价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示。

当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元。

（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；
（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；
（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？
5.某服装店老板用4500元购进进一批某款式T恤衫，由于身受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950
元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元。

（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出4
5
时，出现了滞销，于是决
定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价-进价）
6.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销量x（万升）之间的函数关系的图像如
图中折线所示，该加油站截至到13日调价时的销售利润为4万元，截至15日进油时的销售利润为5.5万元【销售利润=（售价-成本价）×销售量】。

请你根据图像及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；
（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）
某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
第二部分：证明
1.如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD，AC
与BD交于点O。

（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长。

2.如图，在矩形ABCD中，AB=13cm，AD=4cm，点E，F同时分别从D，B两点出发，以1cm/s的速
度沿DC，BA向终点C，A运动，点G，H分别为AE，CF的中点，设运动时间为t s。

（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）填空：
①当t= s时，四边形EGFH是菱形；
②当t= s时，四边形EGFH是矩形。

3.如图，已知矩形ABCD中，AB=2cm，BC=5cm，两动点P，Q分别同时从顶点D，B出发，以1cm/s
的速度沿边DA，BC方向向点A，C运动（端点不计），设运动时间为t s，连接AQ，DQ，过点P 分别作PE∥DQ交AQ于点E作PF∥AQ交DQ于点F。

（1）求证：△APE∽△PDF；
（2）填空：
①当t= s时，四边形PEQF为菱形；
②当t= s时，四边形PEQF为矩形。

4.如图所示，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD、等边三角形
ACE、等边三角形BCF。

（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当△ABC满足条件时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足条件时，以点D，A，E，F为顶点的四边形不存在。

5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是BC，BA的中点，连接DE并延长至F，使AF=AE。

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的度数为时，四边形ACEF是菱形。

6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连接
DE。

（1）求证：DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形。

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF的长。

（提示：连接BD）
7.如图，已知ED为圆O的直径且ED=4，点A（不与点E，D重合）为圆O上一个动点，线段AB
经过点E，且EA=EB，点F为圆O上一个动点，∠FEB=90°，BF的延长线交AD的延长线于点C。

（1）求证：△EFB≌△ADE；
（2）当点A在圆O上移动时，直接回答四边形FCDE的最大面积为多少？
8.如图，AB是圆O的直径，且AB=6，C是圆O上一点，D是弧BC的中点，过点D作圆O的切线，
与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连接AD。

（1）求证：AF⊥EF；
（2）填空：①当BE= 时，点C是AF的中点；
②当BE= 时，四边形OBDC是菱形。