UG曲面设计

面造型(Surface Modeling)是运算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design,CAGD)和运算机图形学(Computer Graphics)的一项重要内容，要紧研究在运算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。

它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。

现在通过三十连年的进展，曲面造型此刻已形成了以有理B样条曲面(Rational B-spline Surface)参数化特点设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方式为主体，以插值(Interpolation)、拟合(Fitting)、逼近(Approximation)这三种手腕为骨架的几何理论体系。

1. 对曲面造型的简要回忆
形状信息的核心问题是运算机表示，即要解决既适合运算机处置，且有效地知足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据互换的形状描述的数学方式。

1963年美国波音飞机公司的Ferguson第一提出将曲线曲面表示为参数的矢函数方式，并引入参数三次曲线。

从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。

1964年美国麻省理工学院的Coons发表一种具有一样性的曲面描述方式，给定围成封锁曲线的四条边界就可概念一块曲面。

但这种方式存在形状操纵与连接问题。

1971年法国雷诺汽车公司的Bezier提出一种由操纵多边形设计曲线的新方式。

这种方式不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状操纵问题，把曲线曲面的设计向前推动了一大步，为曲面造型的进一步进展奠定了坚实的基础。

但Bezier方式仍存在连接问题和局部修改问题。

到1972年，de-Boor总结、给出了关于B样条的一套标准算法，1974年Gordon和Riesenfeld又把B样层次论应用于形状描述，最终提出了B样条方式。

这种方式继承了Bezier方式的一切优势，克服了Bezier方式存在的缺点，较成功地解决了局部操纵问题，又轻而易举地在参数持续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题取得较好解决。

但随着生产的进展，B样条方式显示出明显不足棗不能精准表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何概念的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产治理混乱。

为了知足工业界进一步的要求，1975年美国Syracuse大学的Versprille 第一次提出有理B样条方式。

后来由于Piegl和Tiller等人的功绩，终于使非均匀有理B样条(NURBS)方式成为现代曲面造型中最为普遍流行的技术。

NURBS方式的提出和普遍流行是生产进展的必然结果。

NURBS方式的突出优势是：能够精准地表示二次规那么曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规那么曲面与自由曲面，而其它非有理方式无法做到这一点；具有可阻碍曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于操纵和实现；NURBS方式是非有理B样条方式在四维空间的直接推行，多数非有理B样条曲线曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS曲线曲面，便于继承和进展。

由于NURBS方式的这些突出优势，国际标准化组织(ISO)于1991年公布了关于工业产品数据互换的STEP国际标准，将NURBS方式作为概念工业产品几何形状的唯一数学描述方式，从而使NURBS方式成为曲面
造型技术进展趋势中最重要的基础。

2. 曲面造型的现状与进展趋势
随着运算机图形显示关于真实性、实时性和交互性要求的日趋增强，随着几何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这一趋势的日趋明显，随着图形工业和制造工业迈向一体化、集成化和网络化步伐的日趋加速，随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日趋完善，曲面造型近几年取得了长足的进展，这要紧表此刻研究领域的急剧扩展和表示方式的开拓创新。

(1) 从研究领域来看，曲面造型技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面等距性。

曲面变形(Deformation or Shape Blending) 传统的NURBS曲面模型仅许诺调整操纵极点或权因子来局部改变曲面形状，最多利用层次细化模型在曲面特定点进行直接操作；一些简单的基于参数曲线的曲面设计方式，如扫掠法(Sweeping)、蒙皮法(Skinning)、旋转法和拉伸法也仅许诺调整生成曲线来改变曲面形状。

运算机动画业和实体造型业迫切需要进展与曲面表示方式无关的变形方式或形状调配方式，于是产生了自由变形(FFD )法、基于弹性变形或热弹性力学等物理模型的变形法、基于求解约束的变形法、基于几何约束的变形法等曲面变形技术，和基于多面体对应关系或基于图象形态学中Minkowski和操作的曲面形状调配技术。

曲面重建(Reconstruction) 在精致的轿车车身设计或人脸类雕塑曲面的动画制作中，常先用油泥制模，再作三维型值点采样。

在医学图象可视化中，也经常使用CT切片来取得人体脏器表面的三维数据点。

从曲面上的部份采样信息来恢恢复始曲面的几何模型，称为曲面重建。

采样工具为激光测距扫描器、医学成像仪、接触探测数字转换器、雷达或地震勘探仪器等。

依照重建曲面的形式，它可分为函数型曲面重建和离散型曲面重建。

前者的代表工作有Eck于1996年成立的任意拓扑B样条曲面自动重建法和Sapidis于1995年制造的离散点集拟和法。

后者的经常使用方式是成立离散点集的平面片逼近模型，如Hoppe 于1992年和1994年前后制造的分片线性或分片滑腻的曲面模型。

关于离散型重建，要求输出曲面具有正确的拓扑结构而且随着采样密度的增加而收敛到原始曲面。

当重建曲面为闭曲面时，Miller等人进展出一种基于可变形模型的曲面重建方式。

1998年Amenta等人又提出了基于计算几何中Voronoi图和Delaunay三角化的全新的曲面重建算法，称为外壳(Crust)算法。

这种算法的优势在于输出的离散曲面在细节区域具有密集点，而在无特点的区域具有稀疏点。

最近几年，曲面重建的研究形成了热潮，这几年的SIGGRAPH会议上有多篇文章对此进行了专门报告。

曲面简化(Simplification) 与曲面重建一样，这一研究领域目前也是国际热点之一。

其大体思想在于从三维重建后的离散曲面或造型软件的输出结果(主若是三角网络)中去除冗余信息而又保证模型的准确度，以利于图形显示的实时性、数据存储的经济性和数据传输的快速性。

关于多分辨率曲面模型而言，这一技术还有利于成立曲面的层次逼近模型，进行曲面的分层显示、传输和编辑。

具体的曲面简化方式有网格极点剔除法、网格边界删除法、网格优化法、最大平面逼近多边形法
和参数化从头采样法。

曲面转换(Conversion) 同一张曲面能够表示为不同的数学形式，这一思想不仅具有理论意义，而且具有工业应用的现实意义。

例如，NURBS这种参数有理多项式曲面尽管包括了参数多项式曲面的一切优势，但也存在着微分运算繁琐费时、积分运算无法操纵误差的局限性。

而在曲面拼接及物性计算中，这两种运算是不可幸免的。

这就提出了将一张NURBS曲面转化成近似的多项式曲面的问题。

一样的要求更体此刻NURBS曲面设计系统与多项式曲面设计系统之间的数据传递和无纸化生产的工艺中。

再如，在两张参数曲面的求走运算中，若是把其中一张曲面的NURBS形式转化为隐式，就容易患到方程的数值解。

近几年来，国际图形界对曲面转换的研究要紧集中在以下几方面：NURBS曲面用多项式曲面来逼近的算法及收敛性；Bezier曲线曲面的隐式化及其反问题；CONSURF飞机设计系统的Ball曲线向高维推行的各类形式比较及互化；有理Bezier曲线曲面的降阶逼近算法及误差估量；NURBS曲面在三角域上与矩形域上的相互快速转换。

曲面等距性(Offset) 它在运算机图形及加工中有着普遍的应用，因此成为这几年的热点课题之一。

例如，数控机床的刀具途径设计就要研究曲线的等距性。

但从数学表达式中容易看出，一样而言，一条平面参数曲线的等距曲线再也不是有理曲线，这就超越了通用NURBS系统的利用范围，造成了软件设计的复杂性和数值计算的不稳固性。

为解决这一问题，十几年来国际图形界提出了用简单曲线来逼近等距曲线的各类算法，这又带来了收敛性考核、计算不稳固、误差难操纵等问题。

那么，是不是存在具有精准有理等距曲线的某种参数曲线(OR曲线)呢1990年美国学者Farouki第一次找到某一类特殊的平面参数多项式曲线具有这种性质，称之为PH曲线。

而到1993年，浙江大学的吕伟利用复分析法、从头参数化和代数几何技术，完整地给出了OR多项式和有理参数曲线的一样形式，完全解决了平面曲线的等距线的有理化问题。

在曲面等距性问题上，吕伟于1996年证明了经常使用二次曲面的有理等距曲面都可用有理参数样条精准表示的结论；同年他与奥地利学者Pottmann等揭露出有理直纹面的等距面能够有理参数化，同时证明了脊线为有理样条曲线的管道曲面能够精准表示为有理样条曲面。

曲线曲面的等距性还与机械学中的形位公差理论及几何设计中的区间曲线曲面有着紧密的关系。

(2) 从表示方式来看，以网格细分(Subdivision)为特点的离散造型与传统的持续造型相较，大有后发先至的创新之势。

这种曲面造型方式在生动传神的特点动画和雕塑曲面的设计加工中如鱼得水，取得了高度的运用。

在1998年SIGGRAPH 会议的报告中，有十篇有关曲面造型的论文，除有一篇是介绍几何体的变形方式之外，其余九篇均是关于曲面离散造型的算法或在离散型曲面上精准求值及进行参数化的工作。

专门是，有三篇论文都与Catmull和Clark在1978年所创建的用网格细分产生离散曲面的方式(以下简称C-C法)紧密相关。

从那个地址咱们能够看出现今国际图形界在曲面造型理论研究和实际应用中的热点所在。

这三篇论文是的“C-C细分曲面在任意参数上的精准求值”、和浙江大学郑建民的“对C-C细分曲面作推行的非均匀递归细分曲面”及的“特点动画中的C-C细分曲面”。

下面咱们从介绍第三篇论文的写作背景和要紧思想入手，剖析网格细分的离散型曲面目前在国际上受到重视的缘故。

在1998年荣获奥斯卡大奖的电影作品中，有一个短篇赫然在列，这确实是美国闻名的Pixar动画电影制片厂选送的作品“Geri’s Game”。

动画片描述了一个名叫Geri的老头，在公园里自己对自己下国际象棋，想方设法想取胜的诙谐故事。

动画中人物和景色的造
型细致生动，与故情形节浑然一体，使观众取得真正的视觉美的享受。

而这部动画片制作中的曲面设计者确实是。

DeRose在SIGGRAPH’98大会上报告的论文中，讲到选用C-C细分曲面作为Geri老头特点造型模型的背景。

他指出，NURBS尽管早已被国际标准化组织作为概念工业产品数据互换的STEP标准，在工业造型和动画制作中取得了普遍的应用，但仍然存在着局限性。

单一的NURBS曲面与其他参数曲面一样，仅限于表示在拓扑上等价于一张纸、一张圆柱面或一张圆环面的曲面，不能表示任意拓扑结构的曲面。

为了表达特点动画中更复杂的形状，如人的头、手或衣饰，咱们面临着一场技术挑战。

固然，咱们能够用最一般的复杂滑腻曲面的造型方式，例如对NURBS的修剪来对付。

目前确实已经存在一些商用系统，诸如Alias-Wavefront和SoftImage等能够作到这一点，可是它们至少会碰到以下困难：修剪是昂贵的，而且有数值误差；要在曲面的接缝处维持滑腻，即便是近似的滑腻也是困难的，因为模型是活动的。

而细分曲面有潜力克服以上两个困难，它们不必修剪，活动模型的滑腻度被自动地保证。

DeRose成功地应用了C-C细分曲面造型法，同时发明了构造滑腻的变半径的轮廓线及合成物的实际技术，提出了在衣饰模型中碰撞检测新的有效算法，构造了关于细分曲面的滑腻因子场方式。

凭借这些数学和软件基础，他形象传神地表现了Geri老头的头壳、手指和衣服，包括茄克衫、裤子、领带和鞋。

这些都是传统的NURBS持续曲面造型所不易做到的。

那么，C-C细分曲面是如何构造的呢它与传统的Doo-Sabin(1978年) 细分曲面异曲同工，都是从一个被称之为操纵网格(网格多半可用激光从手工模型上输入)的多面体开始，递归地计算新网格上的每一个极点，这些极点都是原网格上某几个极点的加权平均。

若是多面体的一个面有n条边，细分一次后，那个面就会变成n个四边形。

随着细分的不断进行，操纵网格就被慢慢磨光，其极限状态确实是一张自由曲面。

它是无缝的，因此是滑腻的，即便模型是活动的。

这种方式显著地紧缩了设计和成立一个原始模型的时刻。

更重要的是许诺原始模型局部地精制化。

这确实是它优于持续曲面造型方式的地方。

C-C 细分是基于四边形的，而Loop曲面(1987年)、蝶形曲面(1990年)都是基于三角形的。

它们都受到现今图形工作者的重用。

3. 几种新的曲面造型方式简介
(1) 基于物理模型的曲面造型方式现有的CAD/CAM系统中的曲面造型方式成立在传统的CAGD 纯数学理论的基础之上，借借助操纵极点和操纵曲线来概念曲面，具有调整曲面局部形状的功能。

但这种灵活性也给形状设计带来许多不便：典型的设计要求既是定量的又是定性的，如“逼近一组散乱点且插值于一条截面线的整体光顺又美光的曲面”。

这种要求对曲面的整体和局部都具有约束，现有曲面生成方式难以知足这种要求。

设计者在修改曲面时，往往要求面向形状的修改。

通过间接的调整极点、权因子和节点矢量进行形状修改既繁琐、耗时又不直观，难以既定性又定量地修改曲面的形状。

局部调整操纵极点难以维持曲面的整体特性，如凸性或光顺性。

基于物理模型的曲面造型方式为克服这些不足提供了一种手腕。

用基于物理模型的方式对变形曲面进行仿真或构造光顺曲面是CAGD和运算机图形学中一个重要研究领域。

1987年加拿大学者Terzoulos等率先将基于能量的弹性可变形自由曲面造型技术引用到运算机图形学领域，
受到了国际上众多学者的重视。

Willians 以虚拟弹性薄板总能量作为能量泛函用有限插分法构造光顺曲面。

Celniker 和Gossard 提出了基于有限元分析的自由曲面设计系统。

Moreton 和Seqin提出了设计光顺曲面的函数优化方式。

他们第一成立利用曲面插值给定点、法矢和曲率的几何约束方程，然后再利用非线性优化技术使反映曲面形状的光顺函数最小。

利用这种技术，能够较好地将形状约束和几何约束结合在一路，克服传统上的不足。

该方式能够产生高质量的曲面，但其计算花费较大。

Welch 和Witkin提出了变分曲面设计方式。

这种方式也是从设计的角度动身，将整张曲面看做是一张有弹性的曲面，能够用曲面上任意一些点或曲线操纵其形状，或要求曲面在一些关键点插值于给定的法矢或高斯曲率。

同时，要求曲面知足设计者的定性要求，如形状光顺而美光等。

依照这些要求成立优化的约束方程，然后用数值方式求解取得所要求的曲面。

所采纳的能量泛函与Celniker 和Gossard 的工作类似，但在曲面表达上作了改变：采纳了Forsey和Bartels的分层B样条曲面表达形式以提高局部操纵能力，但利用起来仍不方便。

1994年，Terzopoulos 等在NURBS曲面的概念中增加了一个时刻变量，又提出了基于能量模型的动态NURBS（D_NURBS）曲面。

Terzopoulos 的大体思想是依照Lagrange 动力方程成立一个偏微分方程，依照曲面的变形要求施加一个外力，以给定偏微分方程的边界条件成立曲面的几何边界约束，通过方程中表示形状转变的能量函数的内部参数来反映曲面的物理属性，最后由数值计算方式取得这张曲面离散或精准形式的解。

这些方式具有如下特点：
① 曲面形状的改变服从物理准那么，通过计算仿真能够动态地显示模型在某个外力作用下的变形；
② 在给定的约束条件下，这种动态模型的平稳状态具有势能最小的特点，能够成立知足局部或整体设计要求的势能函数和规定与形状设计有关的几何约束；
③ 能量模型成立在传统的标准纯几何模型的基础上。

这意味着尽管交互或自动的形状设计能够在基于能量模型的物理层进行，但在几何层上仍然能够挪用此刻的几何操作库。

基于物理模型的曲面造型方式在具体实施上有以下三种不同的方式：力学原理的选择：在不考虑时刻因素时，可用梁或板的平稳方程或相应能量泛函的变分原理来成立曲线、曲面的操纵方程。

当考虑时刻因素时，那么用Langrange 方程成立运动方程作为曲线、曲面的操纵方程。

能量泛函的选择：i）由曲线、曲面的第一和第二大体形式构造；ii）由曲面主曲率平方和或主曲率转变率的平方和的积分构造；iii）由曲面的一阶和二阶偏导数的加权平方和构造。

前两种方式完全从几何概念动身，他们是曲面物理坐标的非线性函数，计算花费较大。

曲线、曲面的表达方式：可采纳各类不同的曲面表达形式。

因NURBS曲面符合STEP标准，是各类CAD/CAM系统普遍采纳的曲线、曲面的几何表达形式，故具有重要的意义。

但由于权因子的存在，其操纵方程是非线性的，降低了计算效率。

对权因子取值范围的约束也存在必然的问题。

尽管Terzopoulos提出并研究了NURBS表达式的变形曲面，但在实际应用中，一样仍取权因子为1，即从NURBS简化为非有理B样条。

基于物理模型的变形曲线、曲面造型研究已经取得了庞大的成绩，但还有许多问题需要解决，其中包括：计算效率问题，采纳有限元方式限制了交
互速度的提高；交互操纵问题，如何交互地选择物理参数仍有待研究；能量泛函的选择，如安在提高计算效率和保证曲面质量之间的平稳。

(2) 基于偏微分方程（PDE）的曲面造型方式PDE 曲面利用一组椭圆偏微分方程产生曲面，由Leeds 大学的Bloor 等人于80 年代末将之引入CAGD领域。

其思想起源于将过渡面的构造问题看做一偏微分方程的边值问题，而后发觉利用该方式能够方便地构造大量实际问题中的曲面形体。

他们探讨了PDE方式在构造过渡面、自由曲面及N边域中的应用。

同时也探讨了这种方式在功能曲面设计中的应用。

船体、飞机外形、螺旋浆叶片等外形都可由PDE方式构造。

PDE曲面的形状由边界条件和所选择的片微分方程确信。

该方式具有以下特点：
① 构造过渡面简单易行，只需给出过渡线并计算过渡线处的跨界导矢；
② 所得曲面自然光顺。

曲面由曲面参数的超越函数，而不是简单的多项式；
③ 确信一张曲面只需少量的参数，而且对设计者的数学背景要求较少：用户只需给出边界曲线和跨界导矢即可产生一张光顺的曲面。

因此，用户的输入工作量较小；
④ 可通过修改边界曲线和跨界导矢即方程中的一个物理参数来调整曲面形状；
⑤ 便于功能曲面的设计。

功能曲面设计最终归结为一些泛函的极值问题，这些泛函的自变量是形状参数，形状参数的多少直接关系到求泛函极值问题时计算量的大小。

PDE 曲面形状完全由边界条件确信，所需形状参量较少，从而能够降低计算花费。

PDE方式是一种新型的曲面造型技术，该方式仅是一种曲面设计技术，而不是一种曲面的表达方式。

(3) 流曲线曲面造型在CAD领域，许多曲线曲面的设计涉及到运动物体的外型设计，如汽车、飞机、船舶等。

这些物体在空气、水流等流体中相对运动。

由于流体对运动物体产生阻力，运动物体的外型设计将变得十分重要。

运动物体外型的滑腻与否将直接阻碍其运动性能。

人们常常希望所设计的运动物体的外型具有“流线型”，因为具有“流线型”外型的运动物体不仅外观漂亮宜人，而且能极大地减少前进进程中流体对物体的阻力。

针对这些运动物体的外型设计，一种以流体力学为背景的流曲线曲面的造型方式被提出。

由流体力学理论可知，流曲线曲面上任一点的切线与该点的水流或气流的流动矢量方向吻合，因此，用流曲线曲面设计的外型具有良好的物理性能，同时外型也十分美观。

该方式的思想以流体力学中的平面定常理想不可紧缩无旋动为力学背景，将流体力学中流函数的概念引人到CAD中，从而成立流曲线曲面的数学模型。

该方式的研究方才起步，造型方式的理论和流函数的成立尚不完善，故目前也处于探讨时期，
其大体理论、数学模型和一些相关算法还有待进一步研。

另外，其他方式还有：散乱点的曲线曲面的造型方式、小波曲线曲面的造型方式等。

4.现今几种CAD/CAM系统的曲面功能评述
美、法等国的CAD技术一直走活着界的前沿，它们拥有许多世界闻名的CAD/CAM系统，这些系统具有十分壮大的功能。

美国SDRC公司的I-DEAS Master Series软件采纳VGX(超变量化)技术，用户能够直观、实时地进行三维产品的设计和修改。

VGX有如下益处：没必要象参数化造型系统那样要求模型“全约束”，在全约束及非全约束的情形下都可顺利地完成造型；模型修改没必要拘泥于造型历史树，修改可基于造型历史树，亦可超越造型历史树；可直接编辑任意3D 实体特点，不必回到生成此特点的2D线框初始状态；可当场以拖动方式随意修改3D实体模型，而不必仅以“尺寸驱动”一种方式来修改模型；模型修改许可形状及拓扑关系发生转变，而并非象参数技术那样仅仅是尺寸的数据发生转变；所有操作均为“一拖一放”方式，操作简便。

该软件的Master Surface模块是成立复杂雕塑曲面的快捷工具，它基于双精度NURBS，与实体模型完全集成。

它支持各类曲线曲面造型方式，如拉伸、旋转、放样、扫掠、网格、点云等，壮大的变量扫掠支持变截面、多轨迹线和尺寸驱动。

其结果是一个曲面集合或具有拓扑关系的曲面实体模型。

该模型可参与全数几何造型操作、干与检查、物性计算等。

I-DEAS提供了独特的变量成形工具，它基于最小能量法，利用先进的高层次操作，例如对直观的几何形状进行推挤。

弯扭，相斥、吸引等，使底层的曲面曲线成型。

也能够对真实的几何体直接进行交互修改，从而取得光顺的形状，而不象传统的那样对操纵点、权及节点进行交互操作。

该软件较完整地解决了要紧的曲面造型问题。

美国Unigraphics Solutions公司的源于航空业、汽车业，以Parasolid几何造型核心为基础，采纳基于约束的特点建模和传统的几何建模为一体的复合建模技术。

其曲面功能包括于Freeform Modeling模块当中，采纳了NURBS、B样条、Bezier数学基础，同时保留解析几何实体造型方式，造型能力较强。

其曲面建模完全集成在实体建模当中，并可独立生成自由形状形体以备实体设计时利用。

而许多曲面建模操作可直接产生或修改实体模型，曲面壳体、实体与概念它们的几何体完全相关。

UG软件实现了面与体的完美集成可将无厚度曲面壳缝合到实体上，整体上，UG的实体化曲面处置能力是其要紧特点和优势。

美国公司的Pro/Engineer以其参数化、基于特点、全相关等新概念闻名于CAD界，其曲面造型集中在Pro/SURFACE 模块。

其曲面的生成、编辑能力覆盖了曲面造型中的要紧问题，要紧用于构造表面模型，实体模型，而且能够在实体上。