高中总复习第一轮数学 (新人教A)第四章 4.2 两角和与差、二倍角的公式(一)

4.2 两角和与差、二倍角的公式(一)
巩固·夯实基础
一、自主梳理
1.如图,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆的交点分别为A 、B,则OA =(cos α,sin α),OB =(cos β,sin β).
由数量积的定义有OA ·OB =(cos α,sin α)·(cos β,sin β)=cos αcos β+sin αsin β. 由向量数量积的坐标表示,有·=cos(α-β).
于是cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
2.由诱导公式可得cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
3.由tan α=α
αcos sin 可得tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+; tan(α-β)=
βαβαtan tan 1tan tan •+-. 二、点击双基
1.对任意的锐角α、β,下列不等关系中正确的是（ ）
A.sin(α+β)>sin α+sin β
B.sin(α+β)>cos α+cos β
C.cos(α+β)<sin α+sin β
D.cos(α+β)<cos α+cos β
解析：取α=30°,β=60°,可知A 、B 不正确.取α=β且均趋近于0°,cos(α+β)→1,sin α→0,sin β→0,显然C 不正确,故选D.
答案：D
2.在△ABC 中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC 一定是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.正三角形 解析:由2sinAcosB=sinC,知2sinAcosB=sin(A+B),
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.
∴cosAsinB-sinAcosB=0.
∴sin(B-A)=0.
∴B=A.
答案:B
3.︒
︒-︒70sin 20sin 10cos 2的值是( )
A.2
1 B.23 C.3 D.
2 解析: 原式=
︒
︒-︒-︒70sin 20sin )2030cos(2 =︒︒-︒•︒+︒•︒70sin 20sin )20sin 30sin 20cos 30(cos 2 =︒
︒20cos 20cos 3=3. 答案:C
4.已知函数f(x)=cos 2(4π+x)-cos 2(4
π-x),则f(12π)等于( ) A.21 B.-2
1 C.23 D.-23 解析:f(x)= 2)22cos(1x ++π-2
)22cos(1x -+π=22sin 1x --22sin 1x +=-sin2x, ∴f(12π)=-sin2×12π=-sin 6π=-2
1.故选择B. 答案:B
5.△ABC 中,若b=2a,B=A+60°,则A=_____________.
解析:利用正弦定理，由b=2a ⇒sinB=2sinA
⇒sin(A+60°)-2sinA=0⇒3cosA-3sinA=0
⇒sin(30°-A)=0⇒30°-A=0°⇒A=30°.
答案:30°
诱思·实例点拨
【例1】 已知cos α=-1312,cos(α+β)=26217,且α∈(π,23π),α+β∈(2
3π,2π),求β. 解:∵α+β∈(23π,2π),α∈(π,2
3π), ∴β∈(0,π),
∴只需求cos β的值即可.
由已知得sin α=-13
5,sin(α+β)=-2627, ∴cos β=cos ［(α+β)-α］
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α
=-2
2.
∴β=4
3π. 讲评:要求角则先求一个函数值,而函数的选择是非常重要的.如本例若求sin β,则因为β∈(0,π),而sin β>0的β值有两个,故产生增根.
链接·聚焦
已知三角函数值求角的步骤:
1.求角的某一个三角函数值.
2.求角的范围.
【例2】 求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·80sin 22的值.
解:原式=(2sin50°+sin10°︒
︒+︒10cos 10sin 310cos )·2sin80° =(2sin50°+2sin10°︒
︒+︒10cos 10sin 2310cos 21)2cos10° =22［sin50°·cos10°+sin10°·cos(60°-10°)］
=22sin(50°+10°)
=22×2
3=6. 讲评:对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有:
(1)化为特殊角的三角函数值.
(2)化为正负相消的项,消去求值.
(3)化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值.
(4)给值(或式)求值.
【例3】 (1)若cos α+cos β=21,sin α+sin β=3
1,求 cos(α-β)的值; (2)若sin(α+β)＝21,sin(α-β)=3
1,求βαtan tan . 剖析:本题主要考查两角和与差的正、余弦公式的熟练运用.
(1)因为cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,所以将已知两式平方后相加可得.
(2)因为βαtan tan =β
αβαsin cos cos sin ,所以将已知两式用两角和、差的正弦公式展开后,解方程组可得sin αcos β与cos αsin β,再排除. 解:(1)∵cos α+cos β=
21, ① sin α+sin β=3
1, ②
①2+②2,得
2+2(cos αcos β+sin α·sin β)=
41+91, 即2+2cos(α-β)=
3613. ∴cos(α-β)=-72
59. (2)∵sin(α+β)=21,sin(α-β)=3
1, ∴sin αcos β+cos αsin β=2
1, sin αcos β-cos αsin β=3
1. ∴sin αcos β=125,cos αsin β=12
1. ∴βαtan tan =β
αβαsin cos cos sin =5. 讲评:本题属“给值求值”问题,通常是认真观察所给函数值中的角与所求函数式中的角之间的联系,通过“变角”“拼角”等手段来求解.。