2024学年西宁市十四中高二数学11月期中考试卷及答案解析

2024学年西宁市十四中高二数学11月期中考试卷
第I 卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知直线
310l y -+=，则直线l 的倾斜角为（）
A ．π6
B ．π
3C ．π2D ．
2π32．已知()2,3,1a = ，()1,2,2b =-- ，则a 在b 上的投影向量为（）
A ．2b
B ．2b
- C ．23b
D ．23
b
- 3．已知直线1l ：360ax y +-=，直线2l ：()2140x a y +--=，则“2a =-”是“12l l ∥”的（）A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知空间向量()1,,2a n = ，()2,1,2b =- ，若2a b - 与b
垂直，则a 等于（
）
A B C D ．
2
5．已知圆224x y +=与圆2284160x y x y +-++=关于直线l 对称，则直线l 的方程为（）
A ．230
x y +-=B ．280
x y --=C ．250
x y --=D ．20
x y +=
6．已知点()
()2,4,0,,P Q m O -为坐标原点，且0OP OQ ⋅=
，则PQ = （）
A ．36B
C ．6
D ．
7．已知直线:20+-=l x y 与圆22:440M x y x y a +--+=交于,A B 两点，且AB =，则a =（）
A ．4
B ．4
-C ．2
D ．2
-8．如图，在三棱锥P -ABC 中，90APB ∠=︒，60CPA CPB ∠=∠=︒，2PA PB PC ===，点D ，E ，F 满
足PD DB = ，2PE EA = ，AF FC =
，则直线CE 与DF 所成的角为（）A ．30°
B ．45︒
C ．60°
D ．90°
二、多选题（每小题6分，共18分.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．向量()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- ，若a b ∥
，则（
）
A ．15x =
B ．3
2
y =-
C ．13
a b
= D ．12
a b
= 10．已知圆222
1:2100C x y mx y m ++-+=，圆222:450C x y y ++-=，则下列说法正确的是（
）
A ．若点()1,1在圆1C 的内部，则24
m -<<B ．若2m =，则圆12,C C 的公共弦所在的直线方程是41490x y -+=C ．若圆
12,C C 外切，则m =D ．过点()3,2作圆2C 的切线l ，则l 的方程是3x =或724270
x y -+=11．设a ，b
分别是直线l ，m 的方向向量，1n ，2n 分别是平面α，β的一个法向量，则（）
A ．若αβ⊥，则12
n n ⊥
B ．若1a n ⊥ ，2b n ⊥ ，且π
,3a b = ，则α与β的夹角为
π3
C ．若1π,3
a n = ，则直线l 与平面α所成的角为
π
6D ．若12π,,3
a n
b n ==
，且//αβ，则//l m 第II 卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知()()2,1,31,2,1a b =-=- ，，则a
与b 夹角的余弦值为
.
13．已知圆C ：221x y +=，过圆C 外一点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若120APB ∠=︒，则
AB =
．
14．已知平面α的一个法向量为()2,3,5n =
，点()1,2,4A 是平面α上的一点，则点()1,1,5P -到平面α的距离为
.
四、解答题(共5小题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.（13分）
（1）已知空间向量()()2,1,2,1,1,4a b =--=-
，求23a b
- （2）已知()()2,1,3,1,2,1a b =-=-
，若
()
a a
b λ⊥- ，求实数λ的值.16.（15分）
已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N
(1)求圆A 的方程.(2)当MN =l 的方程．
17.（15分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，AB DC ，1
22AB AD CD ===，2PD =，
M 为棱PC 的中点
(1)证明：//BM 平面PAD .
(2)求平面PDM 和平面DMB 夹角的余弦值.
18.（17分）
已知一组动直线方程为()()11530k x k y k ++---=.(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P 的坐标.
(2)若直线与x 轴正半轴，y 轴正半分别交于点,A B 两点，求AOB ∆面积的最小值.
19.（17分）
在四棱锥P ABCD -中，PAB 是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，
2AB =，AD =PB AD ⊥，E 是棱PD 的中点．(1)求证：PA BE ⊥.
(2)求二面角P AE B --的正切
2024学年西宁市十四中高二数学11月期中考试卷
一、单选题
1
．已知直线310l y -+=，则直线l 的倾斜角为（）A ．
π
6
B ．
π3
C ．
π2
D ．
2π3
2．已知()2,3,1a =，()1,2,2b =--，则a 在b 上的投影向量为（）
A ．2b
B ．2b
- C ．2
3b
D ．23
b - 3．已知直线1l ：360ax y +-=，直线2l ：()2140x a y +--=，则“2a =-”是“12l l ∥”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用两直线平行求解a 的值，结合充要关系的定义判断即可.
【详解】由12l l ∥可得()61a a =-，解得3a =或2a =-.当3a =时，1l ：3360x y +-=，2l ：22
40x y +-=，显然1l
，2l 重合，舍去，故12l l ∥时，
2a =-.因此“2a =-”是“12l l ∥”的充要条件.故选：C 4．已知空间向量()1,,2a n = ，()2,1,2b =- ，若2a b - 与b
垂直，则a 等于（）
A B C D ．
212
B.
5．已知圆224x y +=与圆2284160x y x y +-++=关于直线l 对称，则直线l 的方程为（）
A ．230x y +-=
B ．280x y --=
C ．250x y --=
D ．20
x y +=
6．已知点()2,4,0,,P Q m O -为坐标原点，且0OP OQ ⋅=，则PQ =（）
A ．36B
C ．6
D ．
7．已知直线:20+-=l x y 与圆22:440M x y x y a +--+=交于,A B 两点，且AB =，则a =（）
A ．4
B ．4-
C ．2
D ．2
-
8．如图，在三棱锥P -ABC 中，90APB ∠=︒，60CPA CPB ∠=∠=︒，2PA PB PC ===，点D ，E ，F 满
足PD DB = ，2PE EA = ，AF FC =
，则直线CE 与DF 所成的角为（
）
A ．30°
B ．45︒
C ．60°
D ．90°
二、多选题
9．向量()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- ，若a b ∥
，则（
）
A ．15
x =
B ．32
y =-
C ．13a b
= D ．12
a b
= 10．已知圆222
1:2100C x y mx y m ++-+=，圆222:450C x y y ++-=，则下列说法正确的是（
）
A ．若点()1,1在圆1C 的内部，则24
m -<<B ．若2m =，则圆12,C C 的公共弦所在的直线方程是41490
x y -+=
C ．若圆
12,C C 外切，则m =D ．过点()3,2作圆2C 的切线l ，则l 的方程是3x =或724270x y -+=
11．设a ，b 分别是直线l ，m 的方向向量，1n ，2n 分别是平面α，β的一个法向量，则（）
A ．若αβ⊥，则12
n n ⊥
B ．若1a n ⊥ ，2b n ⊥ ，且π
,3a b = ，则α与β的夹角为π3
C ．若1π,3
a n = ，则直线l 与平面α所成的角为
π
6D ．若12π
,,3
a n
b n == ，且//αβ，则//l m
【答案】AC
【分析】利用直线方向向量与平面法向量的位置关系，逐一分析各选项即可得解.
三、填空题
12．已知()()2,1,31,2,1a b =-=- ，，则a
与b 夹角的余弦值为
.
13．已知圆C ：221x y +=，过圆C 外一点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若120APB ∠=︒，则
AB =
．
【答案】1
【分析】结合切线长定理可得ABC V 为等边三角形，即可得A .
【详解】
由圆C ：221x y +=可得圆心坐标为0,0，半径1r =，由PA 、PB 为圆C 切线，故90OAP OBP ∠=∠=︒，
14．已知平面α的一个法向量为()2,3,5n =，点()1,2,4A 是平面α上的一点，则点()1,1,5P -到平面α的距离为.
四、解答题
15．（1）已知空间向量()()2,1,2,1,1,4a b =--=-
，求23a b - ；（2）已知()()2,1,3,1,2,1a b =-=-
，若()
a a
b λ⊥- ，求实数λ的值
16．已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N (1)求圆A 的方程；
(2)当MN =l 的方程．【答案】(1)()()2
2
1220x y ++-=(2)3460x y -+=或2
x =-【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A 半径r ，带入到圆的标准方程可求得圆的方程；(2)过A 做AQ MN ⊥，由垂径定理可知圆心到直线l ，设出直线l ，可分为斜率存在和斜率不存在两种情
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，AB DC ，1
22
AB AD CD ==
=，2PD =，M 为棱PC 的中点
(1)证明：//BM 平面PAD ；
(2)求平面PDM 和平面DMB 夹角的余弦值；
在PCD △中，M ，N 分别为因为//AB DC ，12
AB DC =可知四边形ABMN 为平行四边形，则取CD 的中点E ，连接BE ，
因为AB DC ，12
AB DC =，则AB 又因为AD DC ⊥，所以四边形ABED 且2AB AD ==，可知四边形ABED
18．已知一组动直线方程为()()11530k x k y k ++---=.
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P 的坐标;
(2)若直线与x 轴正半轴，y 轴正半分别交于点,A B 两点，求AOB ∆面积的最小值.
19．在四棱锥P ABCD -中，PAB 是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，2AB =，AD =PB AD ⊥，E 是棱PD 的中点．
(1)求证：PA BE ⊥；
(2)求二面角P AE B
--的正切值．。