瞬时变化率---曲线上一点处的切线教学设计

1.1.
2.瞬时变化率---曲线上一点处的切线教学设计
一、引入问题背景：
本节课是高等代数微积分知识的基础，是导数概念产生过程。

微积分是十七世纪由英国数学家牛顿、德国数学家莱布尼茨提出的，体现了变化过程中的极限思想，为学生以后微积分学习奠定基础。

二、教材分析：
本节课是在学习了平均变化率后的一节课，让学生体会由区间上的变化过渡到一点处的变化---瞬时变化率，渗透微分思想。

让学生体会“局部以直代曲”的思想，以及亲身感受用“割线逼近切线”的方法研究曲线在一点处的瞬时变化情况。

为下节课引入导数概念做好铺垫。

三、教学目标：
1. 理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的概念。

2. 掌握“局部以直代曲”和“用割线逼近切线”的思想方法。

3. 培养学生直观想象、数学抽象的核心素养，以及转化化归数学思想。

重点：理解曲线在一点处的切线的斜率的定义，掌握用割线逼近切线的方法求曲线在
一点处切线斜率；
难点：对“无限逼近”、“局部以直代曲”的理解
四、教学过程设计：
（一）问题情景：
师：问题1.根据已学的知识，我们怎样表示两个变量间之间的关系呢？
生：函数表示。

师：很好，又怎样表示一个变量在区间上的变化趋势呢？
生：平均变化率。

师：能写出平均变化率公式吗？ 学生一起回答，教师板书2
121)()(x x x f x f --. 师：问题2.那又如何刻画出在一点处的变化呢？引出课题，瞬时变化率—曲线上一点处切线的斜率。

（二）引入新知：
如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点P 附近的曲线的研究）
师：问题3.（1）观察“点P 附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？
（2
）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了 ？
(教师引导学生观察图片（可以幻灯放大、手机照片放大、图形拉大）让学生体会去线上一点P 处的变化情况，培养学生直观想象素养。

)
生：几乎变成了一条直线。

师：介绍局部以直代曲的思想。

（三）自主探究：
直线l 1, l 2为经过曲线上一点P 的两条直线。

（1）试判断哪一条直线在点P 附近更加逼近曲线
（2）在点P 附近能作出比l 1, l 2更加逼近曲线的直线l 3吗？
（3）在点P 附近能作出一条比l 1, l 2，l 3更加逼近曲线的直线l 4吗？
活动：怎样找到经过曲线上一点P 最逼近曲线的直线l
师：请大家根据图像自主探究问题（1）.
师：追问：你能画出比l 1, l 2更加逼近曲线的直线l 3吗？
目的：让学生亲身体会逼近的过程。

师：追问：在点P 附近能作出一条比l 1, l 2，l 3更加逼近曲线的直线l 4吗？
目的：进一步体会逼近过程，实际上是Q 向P 移动过程作出的直线l 4
给学生时间自己动手感受逼近过程，学生板书。

师：怎样找到经过曲线上一点P 最逼近曲线的直线l
放大 P 放大 P P
生：当Q 与P 无限接近时候。

师：很好，总结学生画图过程，提炼出割线逼近切线的方法。

即Q 与P 无限接近时割线逼近曲线在这一点处的切线。

（四）建构数学：
师：我们已经体会到了割线逼近切线的方法，请大家用割线逼近切线的方法作出下列曲线在P 点处的切线。

生：再次体会割线逼近切线的方法。

师：问题4. 初中平面几何中圆的切线定义是什么？
生：与圆只有一个公共点的直线，叫圆的切线。

师：问题5：两图中切线与曲线公共点个数分别是几个？公共点个数是否适用于一般曲线切线定义？
目的：这是学生最初感受切线的定义，教师通过上面学生练习打破学生原有认知，上升到任意曲线的切线问题，形成新的认知。

师：问题6：怎样用数学模型来刻画来曲线上P 点处变化趋势？ 割线逼近切线，割线
逼近切线
学生填空，体会斜率来刻画这疑点处的变化。

师：P （x 0,f(x 0))，Q (x 0+△x,f(x 0+ △x))
△x>0时,点Q 位于点P 的右侧，△x<0时,点Q 位于点P 的左侧
学生用割线斜率逼近切线斜率的方法独立完成数学模型的构建，抽象出数学概念。

师：请学生板书，观察学生新知掌握知识情况。

学生总结用割线逼近切线的方法求切线斜率步骤： 1.设曲线上另一点Q(x 0 +Δx,f(x 0 + Δx))
P P
2.求出割线PQ 的斜率 x
)(x )x x (k 00PQ ∆-∆+=f f 并化简. 3. 令Δx 趋向于0,若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率
（五）例题评析：
例1．已知2
()f x x =，求曲线()y f x =在2x =处的切线斜率。

教师板书引导学生养成书写规 范习惯。

变式1.已知2()f x x =，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程。

变式2.已知1()f x x -=，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程。

目的：新知巩固，学生板演教师评析，让学生熟练掌握割线斜率逼近切线斜率的方法求曲线在某一点处的切线方程。

（六）反思小结：
1、曲线上一点P 处的切线是过点P 的所有直线中最接近P 点附近曲线的直线，则P 点处的变化趋势可以由该点处的切线反映。

(局部以直代曲)
2、根据定义,利用割线逼近切线的方法, 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。

3.学生总结用割线逼近切线的方法求切线斜率步骤：
（1）.设曲线上另一点Q(x 0 +Δx,f(x 0 + Δx))
（2）.求出割线PQ 的斜率 x
)(x )x x (k 00PQ ∆-∆+=f f 并化简. （3）. 令Δx 趋向于0,若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率
（七）课堂练习：
的斜率
则割线设解PQ ),)x 2(,x 2(Q ),4,2(P ：2∆+∆+x 4x x x 4x
4)x 2(k 2
2PQ ∆+=∆∆+∆=∆-∆+=.442x f(x)4k 0x 2
PQ ）处的切线斜率为，在点（从而曲线，
无限趋近于常数时，
无限趋近于当=∆
2. 分别求曲线2
()f x x =，在x = 0 ,x =- 2,处的切线斜率． 3. 函数2()f x x =的图像在点P (43，16
9)处切线的斜率是多少？并且写出该切线的方程。

4. 已知()f x =()y f x =在12x =处的切线斜率是多少？。