重庆市巴蜀中学2018届高三上学期第六次月考(一模)数学

巴蜀中学2018届高考适应性月考卷（六）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则的共轭复数对应的点在（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】由题意可得：，
则，据此可得：对应的点在第四象限.
本题选择D选项.
2. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】求解一元二次方程可得：，求解指数不等式可得：，
结合交集的定义可得：.
本题选择C选项.
3. 在双曲线：中，，分别为的左、右焦点，为双曲线上一点且满足
，则（）
A. 108
B. 112
C. 116
D. 120
【答案】C
【解析】由双曲线的定义可得：，
结合题意有：，
两式平方相加可得：116 .
本题选择C选项.
4. 由数字0，1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2018大的有（）个
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
【答案】B
【解析】千位数字为3时满足题意的数字个数为：，
千位数字为2时，只有2013不满足题意，则满足题意的数字的个数为，
综上可得：2018大的有6+5=11个.
本题选择B选项.
5. 已知正实数，满足（），则下列一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】利用排除法：
由指数函数的单调性可得：，
由反比例函数的单调性可得：，选项A错误；
，选项B错误；
当时，，选项C错误；
本题选择D选项.
6. 执行如图所示的程序框图，若输入的为，为，输出的数为3，则有可能为（）
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
【答案】B
【解析】结合流程图，若输出的数字为，则经过循环结构之后的，
由于，
结合循环结构的特点可得：输入的数字除以5的余数为2，
结合选项可得：有可能为12.
本题选择B选项.
7. 设实数，满足则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数边上坐标原点与可行域内点距离的平方，
据此可得，目标函数在点处取得最小值：.
本题选择C选项.
点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
8. 已知，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得：，
，据此可得：，
结合两角和差正余弦公式有：
.
本题选择C选项.
9. 若的内角满足，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意结合正弦定理有：，结合余弦定理可得：
当且仅当时等号成立.
综上可得：的最小值是.
本题选择B选项.
10. 已知平面上有3个点，，，在处放置一个小球，每次操作时将小球随机移动到另一个点处，则4次操作之后，小球仍在点的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于可知，所有可能的放置方法为：
共有种可能的放置方法，其中满足题意的方法有种，
由古典概型计算公式可得：小球仍在点的概率为.
本题选择D选项.
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
11. 已知，在的图象上存在一点，使得在处作图象的切线，满足的斜率为
，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】结合函数的解析式有：，
当且仅当时等号成立，据此可得：恒成立，
即：，整理可得：，
求解分式不等式可得的取值范围为.
本题选择A选项.
12. 已知抛物线：的焦点为，，两点在抛物线上，且，过点，分别引抛物线的切线，，，相交于点，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由焦点弦的性质有：，结合可得：，
设两点的坐标为：，结合有直线方程：
，
联立直线方程可得交点坐标为，
则，
结合焦点弦的性质可知：直线的斜率：，即，
结合射影定理有：，
据此可得：.
本题选择A选项.
点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. ，，，则__________．
【答案】
【解析】由题意可得：.
14. 在的展开式中的系数为__________．
【答案】
【解析】由题意结合二项式展开式的通项公式有：，
满足题意时：，其系数为：.
15. 已知函数，则函数在时的最大值为
__________．
【答案】
【解析】由题意结合三角函数的性质有：
，
，
据此可得，当时，函数取得最大值：.
16. 已知数列中，，，则__________．【答案】
【解析】由递推关系可得：，
则：，
即列的通项公式为：，
则：.
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再
归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列是公差不为0的等差数列，，．
（1）求的通项公式及的前项和的通项公式；
（2），求数列的通项公式，并判断与的大小．
【答案】(1)，．(2),.
【解析】试题分析：
(1)由题意结合数列的通项公式可得关于公差的方程，解方程有，则数列的通项公式为
，前n项和．
(2)结合(1)的结论有，据此裂项求和可得，据此有
．
试题解析：
（1）设，公差为，则，解得，
所以，．
（2），
从而，
故．
18. 已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，若的面积为．（1）求证：，，成等比数列；
（2）求的最大值，并给出取得最大值时的条件．
【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：
(1)由题意结合面积公式有：，则，角化边可得，故，，成等比数列．
(2)由题意结合余弦定理和(1)的结论有：，则，由均值不等式的结论可得当为等边三角形时等号成立．
试题解析：
（1）证明：，即，
由正弦定理可得，故，，成等比数列．
（2）解：依题意得，
又为的一个内角，从而，
当且仅当为等边三角形时等号成立．
19. 赛季的欧洲冠军联赛八分之一决赛的首回合较量将于北京时间2018年2月15日3:45在伯纳乌球场打响．由罗领衔的卫冕冠军皇家马德里队（以下简称“皇马”）将主场迎战刚刚创下欧冠小组赛最多进球记录的法甲领头羊巴黎圣日曼队（以下简称“巴黎”），激烈对决，一触即发．比赛分上，下两个半场进行，现在有加泰罗尼亚每题测皇马，巴黎的每半场进球数及概率如表：
（1）按照预测，求巴黎在比赛中至少进两球的概率；
（2）按照预测，若设为皇马总进球数，为巴黎总进球数，求和的分布列，并判断和
的大小．
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：
(1) 设为巴黎总进球数，由题意可得．
(2)由题意首先求得A,H的分布列，然后结合分布列计算数学期望可得．
试题解析：
（1）设为巴黎总进球数，则
．
（2）和的分布列如下：
则．
20. 已知椭圆：的右焦点为，设过的直线的斜率存在且不为0，直线交椭圆于，
两点，若中点为，为原点，直线交于点．
（1）求证：；
（2）求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】试题分析：
(1)设直线的斜率为（），联立直线方程与椭圆方程可得．结合韦达定理可得线段中点的坐标为．据此计算可得直线的斜率为
，则.
(2)考查．换元令，则
．结合二次函数的性质可得时，取最大值3，此时取最大值．试题解析：
（1）证明：设直线的斜率为（），则直线的方程为，
联立方程组消去可得．
设，，则于是有，
所以线段中点的坐标为．
又直线的斜率，因此直线的方程为，它与直线的交点，故直线的斜率为，于是．
因此.
（2）解：记
．
令，则．
因为，所以．
故当时，即时，取最大值3．
从而当时，取最大值．
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21. 设函数，其中，，为常数．
（1）若，，试讨论函数的单调区间；
（2）若函数在上单调递增，且，证明：，并求的最小值（用，的代数式表示）．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：
(1)函数的定义域为，求导可得．据此分类讨论：
若，，在上单调递增；
若，，在上单调递减；
若，，在上单调递减，在上单调递增；
若，，在上单调递增，在上单调递减；
(2)函数在上单调递增，则对任意实数均成立，
取实数，，有，据此讨论可得．
证明问题来说明c的最小值为：
构造函数，，可证明，则恒成立，据此可得成立．
试题解析：
（1）解：依题意得的定义域为，当时，．
若，，则，从而在上单调递增；
若，，则，从而在上单调递减；
若，，令，得，列表如下：
若，，令得，列表如下：
（2）证明：函数在上单调递增，则对任意实数均成立，
取实数，，则两式相加得：，
令，则，从而．
又由，当时，，若，则不恒成立，又，从而，从而．
下证．
记，，，由于，
在点处的切线方程为：．
接下来，我们证明，
构造函数，．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
从而，故成立．
考虑到直线与直线斜率相等，即它们平行，
又由于恒成立，从而恒成立，
即，即．
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考
查数形结合思想的应用．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 在直角坐标系中，直线：（为参数，其中为直线的倾斜角）与曲线：
（为参数）相交于不同的两点，．
（1）当时，求直线与曲线的普通方程；
（2）若，其中，求直线的斜率．
【答案】(1)直线的普通方程为，曲线的普通方程为．(2).
【解析】试题分析：
(1)由题意结合参数方程可得直线的普通方程为，曲线的普通方程为．
(2) 联立直线的参数方程与椭圆方程可得，结合参数的几何意义可得，则直线的斜率．
试题解析：
（1）当时，直线的普通方程为，曲线的普通方程为．
（2）把代入，得，
，得，
∴，∴斜率．
23. 已知函数，若的解集为．
（1）求解集；
（2）已知非零实数，，满足，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：
(1)由题意零点分段求解不等式可得不等式的解集；
(2)由题意结合柯西不等式有
，当且仅当时取等号．则题中的不等式得证............................
试题解析：
（1）解：，即或或
即或或，即解集．
（2）证明：∵，
由柯西不等式得
，当且仅当
时取等号，即时取等号．。