关于测度扩张定理的应用

关于测度扩张定理的应用
作者：罗林
来源：《旅游纵览·行业版》2013年第07期
本文首先通过在半环上构造外测度，并利用拓展定理将其拓展到波雷尔域上去，从而证明了一个分布函数在一维波雷尔域上确定一个概率测度。

从钟开莱的《概率论教程》中，我们知道在分布函数与概率测度是一一对应的；对于每个概率测度确定一分布函数书中已给出；本文将证明每一分布函数通过给定关系确定上一概率测度。

通过证明过程帮助对第二章测度论的学习。

一、正文
定义：令表示的所有自己（包括空集）所构成的集类，设为上的一非负集函数（约定）.如果有单调性并满足如下的次可加性：
则称为上的一外测度。

命题：设为上一集类，且。

又设为上的一半可加非负函数，且），令
（1）
则为的外测度，且限于与一致，我们称为由引出的外测度。

命题：设为半环上的一非负集函数（约定）。

则为要是可加的，必须且只需为有限可加且半可加的。

证必要性设为可加的，显然为有限可加。

令且要证令
则由半环的定义知，且有，从而由于，故存在，使得
由得可加性推知
但由于，故由得有限可加性易知
因此有，此即的半可加性。

充分性现设有限且半可加。

设，我们要证。

由于对一切，故由得有限可加性知。

但是任意的，故。

证毕
定理3：设为可测空间上一测度，则从上连续且从下连续（从而也在处连续）。

此外，有单调性及如下的可减性：，且。

证单调性及可减性是显然的。

有可减性及从下连续立即推得从上连续性，只须证的从从下连续性。

设。

为证，不妨设，有，则有
由于，故由
定理4：设为上的一类，及为上的两个有限测度。

若，且与限于一致，则与在上一致。

证令，则有定理4知为类。

但以假定，有，故由单调类定理知，从而。

证毕
定理5：每一个分布函数通过（3）中任一个关系式或（4）在上确定一个概率测度。

其中，（3）：对任意的：
（4）：。

证明：不失一般性，不妨以（3）中的第一个关系式来证明此结论。

令
，
已知它是半环，在定义集函数
其中
若能证明是上的概率测度，则它显然是有限测度，则由拓展定理知可唯一的拓展到上去，且保持.
我们首先证明由式定义的集函数是单值的，即与其表现形式无关. 事实上，设
令则
下证是上概率测度. 显然由于的不减性知是非负的. 而
由
故知是概率测度. 剩下的只需证明在上满足加性了.
设
而可以表示为如下的形式
某中是某一个。

现设这些区间在内无子区间之左端点的极限点，则
显然
令，由的右连续性知，从而得到
一般来说，对每个固定的，区间内可能有可数个子区间的左端点的极限点，设这些极限点为，即
其中
在每个区间内再无子区间之左端点的极限点了，由前证可知有
从而亦有
其中是某个。

由于正项级数的收敛问题与排列顺序无关，所以上面的级数各项顺序的排列不影响其结果。

同理下面的关系亦成立：
即加性成立. 故中的其他式子依照同样的方法可以证明，而式也可以由极限给出，事实上
二、结语
通过证明知分布函数与一维实数波雷尔空间上的概率测度存在一一对应关系.
（作者单位：华中师范大学）。