线性代数重要知识点及典型例题问题详解

线性代数重要知识点及典型例题问题详解
线性代数知识点总结
第⼀章⾏列式
⼆三阶⾏列式
N 阶⾏列式：⾏列式中所有不同⾏、不同列的n 个元素的乘积的和
n n
n nj j j j j j j j j n
ij a a a a ...)1(21212121)
..(∑-=
τ
（奇偶）排列、逆序数、对换
⾏列式的性质：①⾏列式⾏列互换，其值不变。

（转置⾏列式T D D =）②⾏列式中某两⾏（列）互换，⾏列式变号。

推论：若⾏列式中某两⾏（列）对应元素相等，则⾏列式等于零。

③常数k 乘以⾏列式的某⼀⾏（列），等于k 乘以此⾏列式。

推论：若⾏列式中两⾏（列）成⽐例，则⾏列式值为零；推论：⾏列式中某⼀⾏（列）元素全为零，⾏列式为零。

④⾏列式具有分⾏（列）可加性
⑤将⾏列式某⼀⾏（列）的k 倍加到另⼀⾏（列）上，值不变⾏列式依⾏（列）展开：余⼦式ij M 、代数余⼦式ij j i ij M A +-=)1(
定理：⾏列式中某⼀⾏的元素与另⼀⾏元素对应余⼦式乘积之和为零。

克莱姆法则：
⾮齐次线性⽅程组：当系数⾏列式0≠D 时，有唯⼀解：)21(n j D
D x j j ??==、
齐次线性⽅程组：当系数⾏列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若⽅程组存在⾮零解，则D 等于零特殊⾏列式：
①转置⾏列式：33
23133222123121
11333231232221
131211
a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称⾏列式:ji ij a a =
③反对称⾏列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称⾏列式值为零
④三线性⾏列式:33
31
2221
13
1211
0a a a a a a a ⽅法：⽤221a k 把21a 化为零，。

化为三⾓形⾏列式⑤上（下）三⾓形⾏列式:
⾏列式运算常⽤⽅法（主要）
⾏列式定义法（⼆三阶或零元素多的）化零法（⽐例）
化三⾓形⾏列式法、降阶法、升阶法、归纳法、
第⼆章矩阵
n *（零矩阵、负矩阵、⾏矩阵、列矩阵、n 阶⽅阵、相等矩阵) ---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法
n
m l
kj ik n l kj l m ik b a b a B A *1
**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义
⼀般AB=BA ，不满⾜消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( T
T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T
T T A B AB =)((反序定理) ⽅幂：212
1k k k k
A A
A +=
212
1)
(k k k k A A +=
对⾓矩阵：若AB 都是N 阶对⾓阵，k 是数，则kA 、A+B 、数量矩阵：相当于⼀个数（若……）
单位矩阵、上（下）三⾓形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵
阶梯型矩阵：每⼀⾮零⾏左数第⼀个⾮零元素所在列的下⽅注：把分出来的⼩块矩阵看成是元素
N 阶⽅阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，
|A|=0、伴随矩阵)
2.、⾮零k 乘某⼀⾏（列）3、将某⾏（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆
倍乘阵倍加阵）
=O O
O I D r
r
矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是⾮奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ）初等变换不改变矩阵的秩
求法：1定义2转化为标准式或阶梯形
矩阵与⾏列式的联系与区别：
都是数表；⾏列式⾏数列数⼀样，矩阵不⼀样；⾏列式最终是⼀个数，只要值相等，就相等，矩阵是⼀个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，⾏列式
n
ij n n ij a k ka =
逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B ⼀定是⽅阵②BA=AB=I 则A 与B ⼀定互逆；③不是所有的⽅阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯⼀的。

矩阵的逆矩阵满⾜的运算律：
1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--1
1)
(
2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且11
1)(--=
A k
kA 3、可逆矩阵A 的转置T
A 也是可逆的，且T T A A )()
(11
--=
4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111
)
(---=A B AB
但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不⼀定可逆，即使可逆，但1
1
)(--+≠+B A B A A 为N 阶⽅阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为⾮奇异矩阵。

5、若A 可逆，则1 1
--=A A
伴随矩阵：A 为N 阶⽅阵，伴随矩阵：
=22211211
*
A A
A A A （代数余⼦式）特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个矩阵都可逆）
1、分块矩阵???? ??=C O B A D 则
-=-----11111
C O BC A A
D 2、准对⾓矩阵??
=43
2
1
A A A A A ，则
=-----141
3
1
2
111
A A A A A 3、 I A A A AA ==*
*
4、1
*
-=A A A （A 可逆）
5、1
*
-=n A
A 6、()()A A
A A 1
*
11
*
=
=--（A 可逆） 7、()()*
*
T T
A A = 8、()
***
A B AB =
判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ，此时*
11A A
A =- 求逆矩阵的⽅法：
定义法I AA =-1
伴随矩阵法A
A A *
1
=-
初等变换法()()
1||-=A I
I A n
n
只能是⾏变换
初等矩阵与矩阵乘法的关系：设()
n m ij a
A *=是
m*n 阶矩阵，则对A 的⾏实⾏⼀次初等变换得到的矩阵，等于
⽤同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实⾏⼀次初等变换得到的矩阵，等于⽤同种n 阶初等矩阵右乘以A （⾏变左乘，列变右乘）
第三章线性⽅程组
消元法⾮齐次线性⽅程组：增⼴矩阵→简化阶梯型矩阵
r(AB)=r(B)=r 当r=n 时，有唯⼀解；当n r ≠时，有⽆穷多解 r(AB)≠r(B)，⽆解
齐次线性⽅程组：仅有零解充要r(A)=n 有⾮零解充要r(A)
当齐次线性⽅程组⽅程个数=未知量个数，有⾮零解充要|A|=0 齐次线性⽅程组若有零解，⼀定是⽆穷多个
N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组。

希腊字母表⽰（加法数乘）
特殊的向量：⾏（列）向量，零向量θ，负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系: 线性组合或线性表⽰
向量组间的线性相关（⽆）：定义179P 向量组的秩：极⼤⽆关组（定义P188）
定理：如果r j j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性⽆关的部分组，则它是极⼤⽆关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每⼀个向量都可由r j j j ααα,.....,21线性表出。

秩:极⼤⽆关组中所含的向量个数。

定理：设A 为m*n 矩阵，则r A r =)(的充要条件是：A 的列（⾏）秩为r 。

现性⽅程组解的结构：齐次⾮齐次、基础解系
线性组合或线性表⽰注：两个向量αβ，若βαk =则α是β线性组合单位向量组
任意向量都是单位向量组的线性组合零向量是任意向量组的线性组合
任意向量组中的⼀个都是他本⾝的线性组合向量组间的线性相关（⽆）注： n 个n 维单位向量组⼀定是线性⽆关⼀个⾮零向量是线性⽆关，零向量是线性相关含有零向量的向量组⼀定是线性相关若两个向量成⽐例，则他们⼀定线性相关
向量β可由n ααα,..,21线性表⽰的充要条件是)...()...(2121
T T n T T T n T T
r r βαααααα=
判断是否为线性相关的⽅法：
1、定义法：设n k k k ....21，求n k k k ....21（适合维数低的）
2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关，整体⽆关则部分⽆关
3、分量法（n 个m 维向量组）180P ：线性相关（充要）n r T n T T
线性⽆关（充要）n r T n T T
=?)....(21
ααα
推论①当m=n 时，相关，则0321=T
T
T
ααα；⽆关，则0321≠T
T
T
ααα②当m
推⼴：若向量s ααα,...,21组线性⽆关，则当s 为奇数时，向量组13221,...,αααααα+++s 也线性⽆关；当s 为偶数时，向量组也线性相关。

定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关，则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出，且表⽰法唯⼀的充分必要条件是s
ααα,...,21线性⽆关。

极⼤⽆关组注：向量组的极⼤⽆关组不是唯⼀的，但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极⼤⽆关组⼀定存在；⽆关的向量组的极⼤⽆关组是其本⾝；向量组与其极⼤⽆关组是等价的。

齐次线性⽅程组（I ）解的结构：解为...,21αα
（I ）的两个解的和21αα+仍是它的解；（I ）解的任意倍数αk 还是它的解；
（I ）解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解，s c c c ,...,21是任意常数。

⾮齐次线性⽅程组（II ）解的结构：解为...,21µµ （II ）的两个解的差21µµ-仍是它的解；
若µ是⾮齐次线性⽅程组AX=B 的⼀个解，v 是其导出组AX=O 的⼀个解，则u+v 是（II ）的⼀个解。

定理：
如果齐次线性⽅程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则该⽅程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r 个解。

若µ是⾮齐次线性⽅程组AX=B 的⼀个解，v 是其导出组AX=O 的全部解，则u+v 是（II ）的全部解。

第四章向量空间
向量的内积实向量
定义：（α，β）=n n T
b a b a b a +++=....2211αβ
性质：⾮负性、对称性、线性性 (α,k β)=k(α,β); (k α,k β)=2
k (α,β);
(α+β,δγ+)=(α,γ)+(α,δ)+(β,γ)+(β,δ); ),(),(
1
1
1
1
j i s
j j r i i j s
j j
r i i
i l k l
k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,
向量的长度),(ααα=
0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是（α，α）=1 单位化向量的夹⾓
正交向量：αβ是正交向量的充要条件是（α，β）=0 正交的向量组必定线性⽆关正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T
T
==
性质：1、若A 为正交矩阵，则Ａ可逆，且T A A =-1
，且1-A 也是正交矩阵；
２、若A 为正交矩阵，则1±=A ；
３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵，则ＡＢ也是正交矩阵；
４、ｎ阶矩阵Ａ＝（ij a ）是正交矩阵的充要条件是Ａ的列（⾏）向量组是标准正交向量；
第五章矩阵的特征值和特征向量
特征值、特征向量
A 是N 阶⽅阵，若数λ使AX=λX ，即（λI-A ）=0有⾮零解，则称λ为A 的⼀个特征值，此时，⾮零解称为A 的属于特征值λ的特征向量。

|A|=n λλλ...**21
注： 1、AX=λX
2、求特征值、特征向量的⽅法
0=-A I λ求i λ将i λ代⼊（λI-A ）X=0求出所有⾮零解 3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的）
特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶⾮零向量或)(21不全为零i n c c c c
4、特征值：若)0(≠λλ是A 的特征值则1
-A --------λ
1 则m A --------m
λ则kA --------λk
若2
A =A 则-----------λ=0或1 若2A =I 则-----------λ=-1或1 若k A =O 则----------λ=0 迹tr(A )：迹（A ）=nn a a a +??++2211
性质：
1、N 阶⽅阵可逆的充要条件是A 的特征值全是⾮零的
2、A 与1
-A 有相同的特征值
3、N 阶⽅阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性⽆关
4、
5、P281 相似矩阵
定义P283：A 、B 是N 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，满⾜B AP P =-1，则矩阵A 与B 相似，记作A~B
性质1、⾃⾝性：A~A,P=I
2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP
P =---1
11)(
3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-11
1 C BP P =-21
2- --C P P A P P =-)()(211
21
4、若AB ，则A 与B 同（不）可逆
5、若A~B ，则11~--B A B AP P =-1两边同取逆，1
11---=B P A P 6、若A~B ，则它们有相同的特征值。

（特征值相同的矩阵不⼀定相似） 7、若A~B ，则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例⼦：B AP P =-1则1100100
-=P PB A
O AP P =-1
A=O I AP P =-1
A=I I AP P λ=-1
A=I λ
矩阵对⾓化
定理：N 阶矩阵A 与N 阶对⾓形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性⽆关的特征向量
注：1、P 与^中的i i x λ与顺序⼀致
2、A~^,则^与P 不是唯⼀的
推论：若n 阶⽅阵A 有n 个互异的特征值，则~^A （P281）
定理：n 阶⽅阵~^A 的充要条件是对于每⼀个i K 重特征根i λ，都有i i K n A I r -=-)(λ注：三⾓形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对⾓线。

约当形矩阵
约当块：形如
=λλ
λλ11
1
J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块；约当形矩阵：由若⼲个约当块组成的对⾓分块矩阵
=n J J J J 2
1
（i J 是约当块）称为约当形矩阵。

定理：任何矩阵A 都相似于⼀个约当形矩阵，即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1。

第六章⼆次型
⼆次型与对称矩阵
只含有⼆次项的n 元多项式f()称为⼀个n 元⼆次型，简称⼆次型。

标准型：形如的⼆次型，称为标准型。

规范型：形如的⼆次型，称为规范型。

线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶⽅阵，若存在⼀个n 阶可逆矩阵C ，使得则称A 与B 是合同的，记作A B 。

合同的性质：反⾝性、对称性、传递性、秩、
化⼆次型为标准型：配⽅法、做变换（⼆次型中不含有平⽅项）
第⼀章⾏列式
⼀．⾏列式的定义和性质
1. 余⼦式ij M 和代数余⼦式ij A 的定义
例1⾏列式
111101111011
1
1
------第⼆⾏第⼀列元素的代数余⼦式21A =（）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
测试点余⼦式和代数余⼦式的概念
解析
111101111011
1
1
------,21
21211
11111(1)
1
0101
211
10
1
A M +--=-=--=--=--- 答案 B
2．⾏列式按⼀⾏或⼀列展开的公式 1）1
1
,1,2,
;(,1,2,
)n
n
ij
ij ij ij
ij ij n
n
i j A a a A j n A a a A i n ========∑∑
2）11 ;
00
n
n ij ik ij kj i j k j k i A A
a A a A k j k i ====??==??≠≠??∑∑ 例2 设某3阶⾏列式的第⼆⾏元素分别为1,2,3,-对应的余⼦式分别为3,2,1--则此⾏列式的值为 .
测试点⾏列式按⾏(列)展开的定理
解 212223
212223212223(1)23(1)(1)2(1)3(1)D A A A M M M +++=-?++=--+-+-
34310=---=-
例3 已知⾏列式的第⼀列的元素为1,4,3,2-，第⼆列元素的代数余⼦式为2,3,4,x 问x = . 测试点⾏列式的任意⼀⾏(列)与另⼀⾏(列)元素的代数余⼦式的乘积之和为零.
解因第⼀列的元素为1,4,3,2-，第⼆列元素的代数余⼦式为2,3,4,x ,故1243(3)420x ?+?+-?+= 所以1x =-
3．⾏列式的性质 1）.T A A =
2）⽤数k 乘⾏列式的某⼀⾏（列）所得新⾏列式＝原⾏列式的k 倍.推论 3）互换⾏列式的任意两⾏（列）所得新⾏列式等于原⾏列式的相反数. 推论 4）如果⾏列式中两⾏（列）对应元素成⽐例，则⾏列式值为0. 5）⾏列式可以按任⼀⾏（列）拆开. 6）⾏列式的某⼀⾏（列）的k 倍加到另⼀⾏（列）上，所得新⾏列式与原⾏列式的值相等.
例4 已知11
121321
222331
32
33
3a a a a a a a a a =，那么111213
21
222331
32
33
222222a a a a a a a a a =---（） A.24- B.12- C.6-
D. 12
测试点⾏列式的性质
解析 11
1213111213
21
22232122
2331
32
33
31
32
33
2222(2)12.222a a a a a a a a a a a a a a a a a a =?-=---- 答案 B 例5设⾏列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则2
22
111c b a c b a
++=（）
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
测试点⾏列式的性质解
11111112
22
2
2
2
2
3a b c a b a c a b c a b a c +=
+
=+
故应选 D 答案 D
⼆．⾏列式的计算
1．⼆阶⾏列式和三⾓形⾏列式的计算.
2.对⼀般数字⾏列式，利⽤⾏列式的性质将其降阶以化成⼆阶⾏列式或三⾓形⾏列式的计算. 3．对⾏列式中有⼀⾏或⼀列中只有⼀个或两个⾮零元的情况，⽤这⼀⾏或⼀列展开. 4．⾏列式中各⾏元素之和为⼀个常数的类型. 5.范德蒙⾏列式的计算公式
测试点⾏列式的计算
解
1114
1114
0231131002302103(3)61211010310
003
1111
0003
--=
=-=-=---
例7计算3阶⾏列式 .7
673679492493
23123
解 (1)(1)(2)
(2)(1)(3)
123233
100
233
100203249
4992004992004090.367677
300677
300607
+-+-==
= 例8 计算⾏列式：x a a a a x a a
a a x a a a a x
测试点各⾏元素之和为常数的⾏列式的计算技巧.解 333000300030
x a a a
x a a a a x a a a a a x a a x a
x a a x a D a a
x a x a a
x a x a a a a x
x a a a
x
x a
+++-=
==
=+-+-
3(3)().x a x a =+-
例9计算⾏列式000
000
00
0 00000
0n a b a b
a D a
b b a
=
测试点⾏列式中有⼀⾏只有两个元素不为零的⾏列式的计算和三⾓形⾏列式的计算
11000000 =00000
aA a b b a
+例10计算⾏列式6000100
20
050060
00
D =
解 3
6(1)(6)(2)(5)
(3)(4)
0001100000
20
02
00
(1)6!0500
00506000
00
06
D =
=-=- 例11设2311248
()139********
x x x D x =
问（1）()D x 中，3
x 项的系数＝？（2）⽅程()0D x =有⼏个根？试写出所有的根。

测试点 1.范德蒙⾏列式的判别和计算公式;2.⾏列式按⾏(列)展开的定理.
解（1）3
x 项的系数5
1412
4
(1)13
9(32)(42)(43)21416
A ==-=----=-
(2)因为()(2)(3)(4)(32)(42)(43)D x x x x =------ 所以⽅程()0D x =有三个根:1232,3, 4.x x x ===
第⼆章矩阵
⼀、矩阵的概念
1.要弄清矩阵与⾏列式的区别
2.两个矩阵相等的概念
3.⼏种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三⾓阵，对⾓阵，数量阵）⼆、矩阵的运算
1．矩阵,A B 的加、减、乘有意义的充分必要条件
例1设矩阵(1,2)A =,1234B ??= ， 123456C ??
=
，则下列矩阵运算中有意义的是（）
A ．AC
B B ．AB
C C ．BAC
D ．CAB
测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件答案: B
例2设矩阵120210001A ?? ?= ? ， 100021013B ??
= ? ???
，则2A B + =_____________.
测试点: 矩阵运算的定义
解 1202003202210042252001026027A B ?????? ? ? ?
+=+= ? ? ? ? ? ???????
.
例3设矩阵12A ??= ， 23B ??=
，则T
A B =____________. 测试点: 矩阵运算的定义解 2(1,2)8.3T A B ??==
2．矩阵运算的性质
⽐较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律；）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产⽣了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点.
(+ ;+;A B A AB BA B A B A B A BA AB B ±=+++=2
2
2
2
2
()()(-)--
22(); ()2k k k AB ABAB AB A B A E A A E =≠±=±+
如果AB O =，可能,.A O B O ≠≠例如1122,1122A B
==----
都不为零，但AB O =.
3．转置对称阵和反对称阵 1）转置的性质
(); () ;()T T T T T T T T T A B A B A A ABC C B A λλ±=±== 2）若()T
T
A A A A ==-，则称A 为对称（反对称）阵例4矩阵,,A
B
C 为同阶⽅阵，则()T
ABC =（） A ．T
T
T
A B C
B ．T T T
C B A
C ．T T T
C A B
D ．T T T
A C B
答案: B
例5设(1,2,3),(1,1,1),αβ==-令T
A αβ=,试求5A . 测试点矩阵乘法的⼀个常⽤技巧
解因为111222333T
A αβ?-??? ? ?==- ? ? ? ?
-?
,所以
5()()()()T T T T T T T T T T A αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ==
55511111111()[(1,1,1)2]2(1,1,1)222232222.33333333T T βααβ--???????? ? ?????==--=-=- ? ????? ? ?????--???????? 答案 11132222.333-??
--
例6A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（） A ．T
A A +
B ．T
A A - C ．T
AA
D ．T A A
解析 ()()T T
T
T T
T
T
A A A A A A A A +=+=+=+.故T
A A +为对称阵. ()()T T
T
T
A A A A A A -=-=--.故T
A A -为反对称阵. ().T T
T
AA AA =故T AA 为对称阵.同理T
A A 也为对称阵.
答案 B
例7已知矩阵1123A -??=?
,E 为2阶单位矩阵,令2
32,B A A E =-+求B 测试点⽅阵多项式的概念;
2
11111110323223232301B A A E ---
=-+=-+
1433202187690220-----
=-+=
4. ⽅阵的⾏列式的性质
; ; ; T n A A A A AB A B λλ===
1
11 ; ;.k
n k A A A A A A
--*==
=
例7设A 为n 阶⽅阵，λ为实数，则A λ=（）
A ．A λ
B ．A λ
C ．n A λ
D ．
n
A λ
答案: C 例8矩阵1212,3445A B == ? ?
，则⾏列式1
T A B -=___________.
解析 1
1112
(2).(3)3
T
T A B
A B A
B --===-?=- 答案 2
.3
5.逆矩阵
1）⽅阵A 可逆(也称⾮异，A 满秩)的充分必要条件是0A ≠.当A 可逆时，11A A A
-*
=
. 其中⽅阵A 的伴随阵A *的定义112111222212n n n
n
nn A A A A A A A A A A *
=。

特别当0ad bc -≠时，1
1a b d b c d c a ad bc --
=--??
重要公式
AA A A A E **==；1
n A A
-*=； A *与1
A -的关系
2）重要结论：若n 阶⽅阵,A B 满⾜AB E =，则,A B 都可逆，且1
1,A B B A --==.
3）逆矩阵的性质：
11();A A --=;当0λ≠时，111111
();()A A AB B A λλ
-----=
=；11()()T T A A --=;11
A A
-=
. 4）消去律：设⽅阵A 可逆，且()AB AC BA CA ==，则必有B C =.（若不知A 可逆，仅知0A ≠结论不⼀定成⽴。

） 6．分快矩阵
矩阵运算时，分快的原则：保证运算能顺利进⾏（包括分块矩阵和⼦块的运算）如111
1213111122133221
22
23211
2222333,,B A A A A B A B A B A B B AB A A A A B A B A B B ??
++===++??
；
分快矩阵的运算规则；特别是分快矩阵的转置
11
12111
2112122212
22
21
2
12T
T
T
T
k m T
T T k m T T T m m mk k
k
mk A A A A A A A A A A A A A A A A A A =????
准对⾓阵的逆矩阵：如果 12,,,k A A A 都是可逆阵，则
1
1
1
11221k k A O O A O
O O A O O
A O O
O
A O
O
A ----
=
例9 ⼆阶矩阵a b A c d ??=
，则A *
＝（）
A ．
--a c b d
B ．
--a b
c d C ．
--a c
b d D ．
--a b c d
测试点伴随矩阵的定义,⼆阶⽅阵的伴随阵答案: A 例10 三阶阵100220333A ??
=
，则A A *
= _____________.
测试点重要公式 AA A A A E *
*
==.
答案6006060006E ??
=
例11 200363532A ?? ?= ?
，则A *
=____________.
解 31
2636A A
-*
===
例12 设A 为2阶可逆矩阵，且已知1
12(2)
34A -??
=
，则A =（）
A ．12234??
B ．
121342??
C ．1
12234-??
D ．1
121342-
测试点逆矩阵的性质
解由 112(2)34A -??=
,所以1
12234A -??= 故1
121342A -??
= 答案 D
例13设101210,325A ??
= ? ?--??
　求1A -.
测试点求逆矩阵的⽅法解
[]101100101100210 010012 210,325001022301AE ???? ? ?=????→--→ ? ? ? ?---(2)+(-2)(1)(3)+3(1)
1
(3)(3)(2)(2)210110010110001221001221000272171001122+-?
→--→--→
-??-
所以1
511
225
117112
2A -??--
=--??
注意⼀定要验算
例14 已知2
28,A A E O --=则1
()A E -+=_____________。

测试点关于逆矩阵的重要推论
若,A B 都是n 阶矩阵，且满⾜,n AB E =则,A B 都可逆，且1
1,.A
B B A --==
解由2
28A A E O --=得2
3350A A A E E +---=，即()(3)5A E A E E +-=，
即 (3)()
5A E A E E -+=，故 11
()(3).5
A E A E -+=- 答案 1
1
()
(3).5
A E A E -+=- 例15设A 是n 阶⽅阵，且2
()A E O +=，证明A 可逆. 测试点若AB E =则,A B 都可逆,且1 1,.A
B B A --==
证因为2
()A E O +=,即2
20A A E ++=,所以(2)A A E E -+=
故A 可逆,且1
(2)A
A E -=-+.
例16设n 阶⽅阵A 满⾜m
A O =，其中m 为正整数，证明E A -可逆，且
121()m E A E A A A ---=++++
分析只要检查2
1()()m E A E A A A E --++++=即可
证因为 2
1()()m E A E A A A --+++
+=
22m E A A A A A =-+-+-+-
m E A E =-=.
故 1
21()m E A E A A A ---=++++
三、矩阵的初等变换和初等矩阵 1．初等变换的定义和性质
称矩阵的下列三种变换为初等⾏变换：（1）两⾏互换；
（2）某⼀⾏乘⼀个⾮零的数；（3）某⼀⾏的k 倍加到另⼀⾏上。

类似地可定义初等列变换，初等⾏变换，初等列变换统称为初等变换.
⽅阵经初等变换后的⾏列式是否变化？（分别就三种初等变换说明⾏列式变化的情况）
初等变换不改变⽅阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；⾏初等变换必能将矩阵化为⾏最简形，初等变换必能将矩阵A 化为标准形r E O O O ??
，其中r 为矩阵A 的秩. 如果矩阵A 经过有限次的初等变换变成,B 则称矩阵A 与B 等价.等价矩阵有相等的秩，从⽽有相等的等价标准形.
2.初等矩阵的定义和性质
1）初等矩阵的定义;初等阵都可逆，且其逆也是同类型的初等阵. 2) 初等变换和矩阵乘法之间的关系
3)对任意m n ?阶矩阵A ，总存在⼀系列m 阶初等阵12,,
,k P P P 和⼀系列n 阶初等阵12,,,,l Q Q Q 使得。