2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略课件：专题14 高考中的立体几何
2017版高考数学文江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件第三篇建模板看细则突破高考拿高分
典例5 (14分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行 抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人 员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 A
B
C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商
典例4 (14分)如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E，F，H分别为AB，PC，BC的中点. (1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：平面PAH⊥平面DEF.
评分细则
构建答题模板
规范解答·评分标准
审题路线图
跟踪演练 4 (2015·北京)如图，在三棱锥 V-ABC 中，平面 VAB⊥平面 ABC， △VAB 为等边三角形，AC⊥BC 且 AC＝BC＝ 2，O，M 分别为 AB，VA 的中点. (1)求证：VB∥平面 MOC； 证明 因为O，M分别为AB，VA的中点， 所以OM∥VB， 又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC， 所以VB∥平面MOC.
(1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 E：4xa22＋4yb22＝1，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y＝kx＋m
交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (ⅰ)求OOQP的值；
(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.
评分细则
构建答题模板
规范解答·评分标准
审题路线图
由题意知 f(x)的最小正周期 T＝π2，T＝22ωπ ＝ωπ ＝π2，
所以 ω＝2，所以 f(x)＝sin(4x＋π6).
【课堂新坐标】2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略课件专题二 函数的图象与性质
R
上 的 函 数
f(x) 满 足
f(x) ＝
则 f(11)＝________.
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2 [f(11)＝f(10)－f(9)＝f(9)－f(8)－f(9)＝－f(8)， f(8)＝f(7)－f(6)＝f(6)－f(5)－f(6)＝－f(5)， f(5)＝f(4)－f(3)＝f(3)－f(2)－f(3)＝－f(2)， f(2)＝f(1)－f(0)＝f(0)－f(－1)－f(0)＝－f(－1)， ∴f(11)＝f(－1)＝log2(3＋1)＝log24＝2.]
1 3 f2＝f 2，则
其中 a，b∈R.若
a＋3b 的值
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－10 [因为 f(x)的周期为 2， 所以
3 3 1 － f2＝f2－2＝f 2，即 1 1 － f2＝f 2.
2017版高三二轮复习与策略
【名师点评】 1.应用函数周期性和奇偶性求值的关键是借助函数的性质将 待求函数值的自变量向已知函数的定义域进行转化. 2.关于周期性的常用结论,若对于函数 fx的定义域内任意一个自变量的值 x 1 1 都有 fx＋a＝－fx或 fx＋a＝ 或 fx＋a＝－ a 是常数且 a≠0， 则 fx fx fx 是以 2a 为一个周期的周期函数.
将②代入①，得 a＝2，b＝－4.所以 a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.]
2017版高三二轮复习与策略
[阅卷心语] 易错提示
3 1对周期函数的定义理解不到位，找不到f 2的计算方式；
2找不出 f－1与 f1的关系. 防范措施 1可借助 fx＋T＝fx间的关系，把自变量的值实现区域转化； 2要注意函数特殊点或特殊位置的函数值.
【8个专题21份】江苏省2017高考数学(文)大二轮总复习与增分策略配套课件
思维升华
解析答案
跟踪演练2
1 (1)下列四个结论中正确的个数是____.
①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要条件； ②命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”； π ③“若x＝ 4 ，则tan x＝1”的逆命题为真命题； ④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.
a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，
所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；
反之，若|a ＋b|＝|a －b|成立，则以a，b 为邻边构成的四边形为矩形，
而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，
所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件.
解析答案
热点二 四种命题与充要条件
1.四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假.
2.若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为
充要条件.
例2 (1)下列命题： ①已知 m ， n 表示两条不同的直线， α ， β 表示两个不同的平面，并且 m⊥α ， n⊂β ，则 “α⊥β” 是 “m∥n” 的必要不充分条件；②不存在 x∈(0,1)，使不等式log2x<log3x成立；③“若am2<bm2 ，则a<b”的逆命 题为真命题. ① 其中正确的命题序号是_____.
解析答案
考情考向分析
1. 集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域 为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题. 2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断.
2017年高考江苏卷数学PPT版
又f (a 1) f (2a 2 ) ≤ 0, 即f (2a 2 ) ≤ f (1 a ), 1 所以2a ≤ 1 a , 即2a a 1 ≤ 0, 解得 1 ≤ a ≤ , 2 1 故实数a的取值范围是 1, 2
2 2
12. 如图, 在同一个平面内,向量OA, OB, OC的模分别为 1,1, 2, OA与OC的夹角为 , 且 tan 7, OB与OC的夹 角为45. 若OC mOA nOB( m, n R), 则m n 3
O2 O
V1 r 2 2r 3 设球半径为r , 则 4 3 V2 2 r 3
O1
7. 记函数f ( x ) 6 x x 的定义域为D. 在区间[4, 5] 上随机取一个数x , 则x D的概率是 .
2
由6 x x 2 0, 得 2 x 3, 根据几何概型的概率计算 3 ( 2) 5 公式得x D的概率是 5 ( 4) 9
x2 2 8. 在平面直角坐标系xOy中, 双曲线 y 1的右准线 3 与它的两条渐近线分别交于P , Q .其焦点是F1 , F2 , 则四边 形F1 PF2Q的面积是
3
2 3
.
4
3 10 3 右准线方程为x , 渐近线为y x, 10 3 10 3 10 30 3 10 30 则P ( , ), Q( , ), F1 ( 10, 0), F2 ( 10, 0) 10 10 10 10
1 11. 已知函数f ( x ) x 2 x e x , 其中e是自然对数 e 的底数 , 若f (a 1) f (2a 2 ) ≤ 0, 则实数a的取值范围 是 . 1 3 f ( x ) x 2 x x e x f ( x ), f ( x )是奇函数 e 2 x x 2 x x 因为f '( x ) 3 x 2 e e 3 x 2+2 e e 0, 所以f ( x )在 R 上是单调递增函数 .
【新步步高】2017版高考数学(文江苏专用)大二轮总复习与增分策略第一篇活用审题路线图教你审题不再难
考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失
误而丢分．本篇结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审
题路线图”，攻克高考解答题．
栏目索引
一审条件挖隐含 二审结论会转换 三审图形抓特点
四审结构定方案 五审图表找规律 六审细节更完善
一审条件挖隐含
题目的条件是解题的主要素材，充分利用条件和结论间的内在联系是 解题的必经之路．条件有明示的，也有隐含的，审视条件更重要的是 充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，发挥隐含条件的解题功能．
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五审图表找规律
题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题 的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律， 常常可以找到解决问题的思路和方法．
例5
下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等
差数列，记第i行第j列的数为ai，j(i，j∈N*)，则
解析答案
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六审细节更完善
审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些 细节上的问题．例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等．因为 标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式 的限制条件．审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题 的方向．所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性．
审题路线图
解析答案
跟踪演练 1
B＋C 在△ABC 中， a， b， c 分别为角 A、 B、 C 的对边， 若 m＝(sin 2 ，
2
1)，n＝(－2，cos 2A＋1)，且 m⊥n. (1)求角 A 的度数；
解析答案
a2＋b2－c2 (2)当 a＝2 3，且△ABC 的面积 S＝ 时，求边 c 的值和 4 3 △ABC 的面积．
(江苏专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题6 算法、复数、推理与证明、概率
专题限时集训(二十一) 概率、统计(建议用时：4 5分钟)1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________抽样．分层 [由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法．]2．(2012·江苏高考)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级中抽取________名学生．15 [设应从高二年级抽取x 名学生，则x ∶50＝3∶10，解得x ＝15.]3．若将一个质点随机投入如图20－5所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．图20－5π4 [设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.] 4．(2014·江苏高考)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．13[取两个数的所有情况有：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6种情况．乘积为6的情况有：(1,6)，(2,3)，共2种情况．所求事件的概率为26＝13.] 5．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲，乙两人中有且只有一个被选取的概率为________．23[从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人共有C 24＝6种基本事件，而甲，乙两人中有且只有一个被选取包含C 12C 12＝4种基本事件，所以所求概率为46＝23.] 6．若一组样本数据2,3,7,8，a 的平均数为5，则该组数据的方差s 2＝________.265 [由2＋3＋7＋8＋a 5＝5，得a ＝5，所以 s 2＝15[(2－5)2＋(3－5)2＋(7－5)2＋(8－5)2＋(5－5)2]＝265.]7．(2013·江苏高考)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．2063[因为正整数m ，n 满足m ≤7，n ≤9，所以(m ，n )所有可能的取值一共有7×9＝63(种)，其中m ，n 都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为P ＝2063.] 8．(2014·江苏高考)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图20－6所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.图20－624 [底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.]9．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图20－7)，则成绩在[300,350)内的学生人数共有________．图20－7300 [因为所有小长方形的面积之和为1，所以50(0.001＋0.001＋0.004＋a ＋0.005＋0.003)＝1，即a ＝0.006.因此在[300,350)内的学生人数为0.006×50×1 000＝300.]10．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频率分别如下：(10,20]，2；(20,30]，3；(30,40]，4；(40,50]，5；(50,60]，4；(60,70]，2.则样本在(10,50]上的频率是________．710[因为样本在(10,50]上的频数共有2＋3＋4＋5＝14，所以样本在(10,50]上的频率是1420＝710.也可从反面求解，即样本不在(10,50]上的频数共有4＋2＝6，所以样本在(10,50]上的频率是1－620＝710.] 11．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码是________．6 [设第一组中抽取的号码是x (1≤x ≤8)．由题意可得分段间隔是8，又∵第16组抽出的号码是126，∴x ＋15×8＝126，∴x ＝6.∴第一组中用抽签法确定的号码是6.]12．分别在集合A ＝{1,2,3,4}和集合B ＝{5,6,7,8}中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为________．34[由古典概型的概念可得其基本事件为4×4＝16，其中积为偶数的有1,6；1,8；3,6；3,8；2,5；2,6；2,7；2,8；4,5；4,6；4,7；4,8，共12种，则概率为P ＝1216＝34.] 13．(2016·盐城三模)甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为________．【导学号：19592061】89[从两盒中随机各取一个球，共有3×3＝9种不同取法，其中均取白球的方式只有一种，故所求事件的概率P ＝1－19＝89.]图20－814．(2016·南通三模)如图20－8是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定(方差较小)的那一位同学的方差为________．2 [x 甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90.x 乙＝87＋89＋90＋91＋935＝90. ∴s 2甲＝15[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2] ＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2. s 2乙＝15[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2] ＝15(9＋1＋0＋1＋9) ＝4.∴s 2甲<s 2乙.]15．(2015·南通二模)从2名男生和2名女生中任意选取两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．13[设2名男生记为A 1，A 2,2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1，共12种情况，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，共4种情况，则发生的概率为P ＝412＝13.] 16．某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图20－9的频率分布直方图，请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为________．图20－971 [由频率分布直方图得每一组的频率依次为0.1，0.15，0.15,0.3,0.25,0.05，又由频率分布直方图，得每一组数据的中点值依次为45,55,65,75,85,95.所以本次考试数学成绩的平均分为x －＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.]。
(江苏专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题2三角函数、解三角形、平面向量第10讲高考中的三
第10讲 高考中的三角函数题型一| 三角恒等变换(2016·南京盐城二模)已知α为锐角， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值． [解] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255， 3分所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2. 6分(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， 9分cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35， 12分 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310. 14分 【名师点评】 1.本题(2)在求解中，从角“2α＋π3”与角“α＋π4”的关系入手，先求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2，再求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值，避免了复杂的运算．2．三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系．已知0＜α＜π2＜β＜π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．[解] (1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43. 3分由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，5分解得sin α＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＝－45舍去. 6分(2)由(1)可知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 又0＜α＜π2＜β＜π， 8分∴β－α∈(0，π)， 而cos(β－α)＝210， 10分 ∴sin(β－α)＝1－cos 2β－α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2102＝7210. 11分 ∴sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210 ＝22. 13分 又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故β＝3π4. 14分 题型二| 正、余弦定理在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． [解题指导] (1)AB →·AC →＝3BA →·BC →―――――→数量积的定义AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ―――→正弦定理证明tan B ＝3tan A(2)cos C ――→同角关系tan C ――→诱导公式tan(A ＋B )――→正切公式tan A ――→A 的范围求A .[解] (1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，2分即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ．由正弦定理知AC sin B ＝BCsin A，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ． 4分 又因为0<A ＋B <π，所以cos A >0，cos B >0，所以tan B ＝3tan A ． 6分 (2)因为cos C ＝55，0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255， 8分 从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2， 10分 亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A 1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或tan A ＝－13.12分因为cos A >0，所以tan A ＝1，所以A ＝π4. 14分【名师点评】 求解此类问题的关键是将几何问题代数化，基本工具是正(余)弦定理． 若要把“边”化为“角”，常利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，若要把“角”化为“边”，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab等．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(b 2＋c 2－a 2)tan A ＝3bc . (1)求角A ；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值．【导学号：19592032】[解] (1)由已知得b 2＋c 2－a 22bc ·sin A cos A ＝32，所以sin A ＝32， 4分又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＝60°. 6分 (2)因为a ＝2，A ＝60°，所以b 2＋c 2＝bc ＋4，S ＝12bc sin A ＝34bc ， 8分而b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ＋4≥2bc ⇒bc ≤4， 10分 又S ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝ 3. 13分所以△ABC 的面积S 的最大值等于 3. 14分题型三| 正、余弦定理的实际应用(2016·无锡期中)如图10－1，某自行车手从O 点出发，沿折线O －A －B －O匀速骑行，其中点A 位于点O 南偏东45°且与点O 相距202千米．该车手于上午8点整到达点A,8点20分骑至点C ，其中点C 位于点O 南偏东(45°－α)(其中sin α＝126，0°＜α＜90°)且与点O 相距513千米(假设所有路面及观测点都在同一水平面上)．图10－1(1)求该自行车手的骑行速度；(2)若点O 正西方向27.5千米处有个气象观测站E ，假定以点E 为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由．[解] (1)由题意知，OA ＝202，OC ＝513，∠AOC ＝α，sin α＝126.由于0°＜α＜90°，所以cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1262＝52626. 3分 由余弦定理，得AC ＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos α＝5 5. 5分所以该自行车手的行驶速度为5513＝155(千米/小时). 6分(2)如图，设直线OE与AB相交于点M.在△AOC中，由余弦定理，得：cos∠OAC＝OA2＋AC2－OC22OA·AC＝202×2＋52×5－52×132×202×55＝31010，从而sin∠OAC＝1－cos2∠OAC＝1－910＝1010. 9分在△AOM中，由正弦定理，得：OM＝OA sin∠OAMsin45°－∠OAM＝202×101022⎝⎛⎭⎪⎫31010－1010＝20. 12分由于OE＝27.5＞20＝OM，所以点M位于点O和点E之间，且ME＝OE－OM＝7.5.过点E作EH⊥AB于点H，则EH为点E到直线AB的距离. 14分在Rt△EHM中，EH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin(45°－∠OAC)＝7.5×55＝352＜3.5.所以该自行车手会进入降雨区. 16分【名师点评】借助正、余弦定理解决与实际生活有关的数学问题是高考的一个命题热点，解题的关键是将问题转化到平面图形(如三角形、四边形等)中，然后借助正、余弦定理解题．(2016·扬州期中)有一块三角形边角地，如图10－2，△ABC中，其中AB＝8(百米)，AC＝6(百米)，∠A＝60°.某市为迎接2500年城庆，欲利用这块地修一个三角形形状的草坪(图中△AEF)供市民休闲，其中点E在边AB上，点F在边AC上．规划部门要求△AEF的面积占△ABC面积的一半，记△AEF的周长为l(百米)．图10－2(1)如果要对草坪进行灌溉，需沿△AEF 的三边安装水管，求水管总长度l 的最小值； (2)如果沿△AEF 的三边修建休闲长廊，求长廊总长度l 的最大值，并确定此时E ，F 的位置．[解] (1)设AE ＝x (百米)， ∵S △AEF ＝12S △ABC ，∴12AE ·AF ·sin A ＝12×12AB ·AC ·sin A ． 2分 ∵AB ＝8，AC ＝6，∴AF ＝24x.∵⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤8，0＜24x ≤6， ∴4≤x ≤8. 3分在△AEF 中，EF 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫24x 2－2x ·24x cos 60°＝x 2＋242x 2－24，∴l ＝x ＋24x＋x 2＋242x2－24，x ∈[4,8]， 5分l ＝x ＋24x＋x 2＋242x2－24≥224＋2×24－24＝66，当且仅当x ＝26时取“＝”，∴l min ＝6 6. 6分 (2)由(1)知：l ＝x ＋24x＋x 2＋242x2－24，x ∈[4,8]．令t ＝x ＋24x ，x ∈[4,8]，∴t ′＝1－24x 2＝x 2－24x2＝x －26x ＋26x2. 9分列表得：x (4,26) 26 (26，8)t ′ －0 ＋t极小值46且x ＝4时，t ＝10；x ＝8时，t ＝11，则t ∈[46，11]．l ＝t ＋t 2－72在[46，11]上单调递增，∴当t ＝11时，l max ＝18，此时AE ＝8，AF ＝3，13分答：水管总长度l 的最小值为66百米；当点E 在A 处，点F 在线段AC 的中点时，长廊总长度l 的最大值为18百米. 14分命题展望从近五年的高考试题看，三角恒等变换及正、余弦定理的交汇成为江苏高考的一个测重点，该类题目侧重于学生的双基，属送分题目.2017年该点依然是命题点应加强训练．(2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．[解] (1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 2分 由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2. 4分(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210. 8分因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210. 10分因此，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. 14分 [阅卷心语]易错提示 (1)忽视“角A ，B ，C 间的关系”，导致无法求解cos A ； (2)误用“cos A ＝cos(B ＋C )”，导致计算失分．防范措施 (1)在△ABC 中，其内角和A ＋B ＋C ＝π，常用该条件实现角的转化． (2)熟记诱导公式，在换算角的关系时，尽量少跨步骤，如此题中，可这样：cos A ＝cos[π－(B ＋C )]＝－cos(B ＋C )．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．【导学号：19592033】[解] (1)在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ， 2分 故由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A ，于是2sin A cos A sin A ＝263. 5分所以cos A ＝63. 6分 (2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 7分 又因为B ＝2A ，所以cos B ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝13，从而sin B ＝1－cos 2B ＝223. 10分 在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. 13分 因此由正弦定理得c ＝a sin Csin A＝5. 14分 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝2sin A ，求A 的值；(2)若cos A ＝12，sin B ＋sin C ＝2sin A ，试判断△ABC 的形状，并说明理由．[解] (1)由题意，若sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝2sin A ，则22sin A ＋22cos A ＝2sin A ， 2分 即22cos A ＝22sin A ， 4分 可得tan A ＝1，由A ∈(0，π)，故A ＝π4. 6分(2)在△ABC 中，sin B ＋sin C ＝2sin A ，由正弦定理可得：b ＋c ＝2a ， 8分 由cos A ＝12，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，故b 2＋c 2－a 2＝bc ，又b ＋c ＝2a ， 10分 则(b ＋c )2－a 2＝3bc ＝3a 2，故a 2＝bc ＝⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，可得(b －c )2＝0，故b ＝c ， 13分 则b ＝c ＝a ，故△ABC 为正三角形. 14分3．如图10－3是某设计师设计的Y 型饰品的平面图，其中支架OA ，OB ，OC 两两成120°，OC ＝1，AB ＝OB ＋OC ，且OA ＞OB .现设计师在支架OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M ，且M 与OB 长成正比，比例系数为k (k 为正常数)，在△AOC 区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N ，且N 与△AOC 的面积成正比，比例系数为43k ，设OA ＝x ，OB ＝y .图10－3(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； (2)求N －M 的最大值及相应的x 的值．[解] (1)因为OA ＝x ，OB ＝x ，AB ＝y ＋1， 1分由余弦定理，x 2＋y 2－2xy cos 120°＝(y ＋1)2，解得y ＝x 2－12－x， 3分由x ＞0，y ＞0得1＜x ＜2，又x ＞y ，得x ＞x 2－12－x ，解得1＜x ＜1＋32，5分所以OA 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋32. 6分(2)M ＝kOB ＝ky ，N ＝43k ·S △AOC ＝3kx ，则N －M ＝k (3x －y )＝k ⎝⎛⎭⎪⎫3x －x 2－12－x ， 8分 设2－x ＝t ∈⎝⎛⎭⎪⎫3－32，1 ，则N －M ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－t －2－t 2－1t ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋3t ≤k ⎝⎛⎭⎪⎫10－24t ·3t＝(10－43)k . 12分 当且仅当4t ＝3t ，即t ＝32∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，1取等号，此时x ＝2－32取等号， 所以当x ＝2－32时，N －M 的最大值是(10－43)k . 14分。
2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题4 第14讲 高考中的立体几何
所以 DE∥BC1. 因为 DE⊄平面 BB1C1C，BC1⊂平面 BB1C1C， 所以 DE∥平面 BB1C1C. 6分
(2)因为△ABC 是正三角形，E 是 AB 的中点． 所以 CE⊥AB. 又因为在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中， 平面 ABC⊥平面 ABB1A1，交线为 AB， 所以 CE⊥平面 ABB1A1， 从而 CE⊥A1B. 在矩形 ABB1A1 中， A1B1 B1B 因为 B B ＝ 2＝ BE ， 1 所以 Rt△A1B1B∽Rt△B1BE， 12 分
得 EN∥AM，EN＝AM，∴四边形 ENMA 是平行四边形， 得 MN∥AE，MN⊄平面 PAB，AE⊂平面 PAB， ∴MN∥平面 PAB.
4分
6分
(2)过点 A 作 PM 的垂线，垂足为 H. ∵平面 PMC⊥平面 PAD，平面 PMC∩平面 PAD＝PM，AH⊥PM， AH⊂平面 PAD， ∴AH⊥平面 PMC，∵CM⊂平面 PMC，∴AH⊥CM. ∵PA⊥平面 ABCD，CM⊂平面 ABCD，∴PA⊥CM. ∵PA∩AH＝A，PA，AH⊂平面 PAD，∴CM⊥平面 PAD. ∵AD⊂平面 PAD，∴CM⊥AD. 14 分 12 分
已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AD⊥平面 A1BC，其垂 足 D 落在直线 A1B 上． (1)求证：平面 A1BC⊥平面 ABB1A1； (2)若 AD＝ 3，AB＝BC＝2，P 为 AC 中点，求三棱锥 P－A1BC 的体积．
图 14－6
[解] (1)证明：直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC， ∴AA1⊥BC. ∵AD⊥平面 A1BC， ∴AD⊥BC.3 分 ∵AA1，AD 为平面 ABB1A1 内两相交直线， ∴BC⊥平面 ABB1A1. 又∵BC⊂平面 A1BC， ∴平面 A1BC⊥平面 ABB1A1. 6分
【课堂新坐标】2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略课件专题十八 高考中的圆锥曲线
x －3 y 0 0 中点为 ， ， 2 2
6 过点0，－7 ，直线
l 不与 y 轴重合，所以 x0≠3，
y0 6 ＋ 2 7 y0 所以 · ＝－1， x0－3 x0＋3 2
10 分
2017版高三二轮复习与策略
化简得
12 2 2 x0＝9－y0－ y0.② 7 15 2 y0－ y0＝0，解得 7 15 y0＝0(舍)或 y0＝ . 7
3 2 2 x ＋ 3 x 0－4x0－4 m＝ 0 ， 2 x0－4 解得 4 3 2 2 x ＋ 4 x － 4 x 0 0 0－8x0 n＝ ， 2 2y04－x0
10 分
2017版高三二轮复习与策略
4 2 n－y0 x0 ＋4x3 ＋ 2 x 0 0－8x0－8 ∴直线 PD 的斜率为 k＝ ＝ ， 3 2 m－x0 2y0－x0－3x0＋4
6分
8分
2017版高三二轮复习与策略
2 又点 O 到直线 PQ 的距离 d＝ 2 ， k ＋1 4 4k2－3 1 所以△OPQ 的面积 S△OPQ＝ d|PQ|＝ . 2 2 4k ＋1 设 4k2－3＝t， 4t 4 则 t>0，S△OPQ＝ 2 ＝ . 4 t ＋4 t＋ t 10 分
2017版高三二轮复习与策略
2017版高三二轮复习与策略
x0 x (2)曲线 E 在点 P(x0，y0)处的切线 l 的方程是 ＋y0y＝1. 2
7分
(3)证明：直线 m 的方程为 x0(y－y0)＝2y0(x－x0)，即 2y0x－x0y－x0y0＝0. 设点 C 关于直线 m 的对称点的坐标为 D(m，n)， n ＝－ x0 ， 2y0 m＋1 则 m－1 x0n 2y0· － －x0y0＝0， 2 2
2017高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略课件：专题讲座2 题型分类突破
－2＝0的距离应不大于2，即 |4kk2－＋21| ≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤43.故k的
最大值为43.]
类型二 特例求解法 特例求解法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般， 优点是简便易行.当填空题提供的信息暗示答案唯一或其值为定值时，就可以取 一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将 字母具体化，把一般形式变为特殊形式.当题目的条件是从一般性的角度给出 时，特例求解法尤其有效.
解决这类问题的关键是找准归纳对象．如m的位置在最高次幂的系数位 置，因而从每一个等式中最高次幂的系数入手进行归纳；p是cos2 α的系数，所 以从cos2 α的系数入手进行归纳．n却不能从cos4 α的系数入手进行归纳，因为第 ①个式子中没有cos4 α，缺少归纳的特征项．
[变式训练5] 已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝ f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，
已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝ f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有________个．
10 [如图，作出图象可知y＝f(x)与y＝|lg x|的图象共有10个交点．
]
利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考 命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中变量 之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．
构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所 要解决的问题确定构造的方向．一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的 模型将问题转化为自己熟悉的问题．在立体几何中，补形构造是最为常用的解 题技巧．通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三 棱锥补成特殊的长方体等．
(江苏专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题6算法、复数、推理与证明、概率与统计第19讲算法
专题6 算法、复数、推理与证明、概率与统计第19讲算法、复数、推理与证明题型一| 算法与流程图(1)(2014·江苏高考)如图19－1是一个算法流程图，则输出的n的值是__．图19－1(2)(2016·盐城三模)下列伪代码运行的结果为________．(1)5 (2)9 [(1)由算法流程图可知：第一次循环：n＝1,2n＝2<20，不满足要求，进入下一次循环；第二次循环：n＝2,2n＝4<20，不满足要求，进入下一次循环；第三次循环：n＝3,2n＝8<20，不满足要求，进入下一次循环；第四次循环：n＝4,2n＝16<20，不满足要求，进入下一次循环；第五次循环：n＝5,2n＝32>20，满足要求，输出n＝5.(2)由题意可知S＝0＋1＋3＋5＋7，故最后的结果为9.]【名师点评】 1.高考中对程序框图的考查主要有“输出结果型”、“完善框图型”、“确定循环变量取值型”、“实际应用型”，具体问题中要根据题意准确求解．2．对于循环结构的框图的识图问题，应明确循环结构的框图的特征，明确框图中变量的变化特点，根据框图中的条件决定是否执行框图中的运算，从而确定程序运行的结果．1．根据下面的伪代码，最后输出的S的值为________．55 [由题意得S＝1＋2＋…＋10＝55.正确解决此类题目，需正确确定起始值和终止值．]2．执行如下所示的伪代码，当输入a，b的值分别为1,3时，最后输出的a的值为________．5[第一次循环：a＝1＋3＝4，b＝4－3＝1，i＝2.第二次循环：a＝4＋1＝5，b＝5－1＝4，i＝3.结束循环．∴a＝5.]3．(2016·苏锡常镇调研二)某算法流程图如图19－2所示，该程序运行后，若输出的x＝15，则实数a等于________．图19－21 [第一次循环：x ＝2a ＋1，n ＝2； 第二次循环：x ＝4a ＋3，n ＝3； 第三次循环：x ＝8a ＋7，n ＝4. 结束循环，由8a ＋7＝15可知a ＝1.]题型二| 复数的概念与运算(1)(2014·江苏高考)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．(2)(2016·南京三模)设复数z 满足z (1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为________．(3)在复平面内，复数z ＝i 1－i＋i 2 014表示的点所在的象限是________．(1)21 (2)z ＝3－i (3)第二象限 [(1)因为z ＝(5＋2i)2＝25＋20i ＋(2i)2＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21.(2)z ＝2＋4i 1＋i ＝23＋i2＝3＋i. 所以z ＝3－i.(3)根据题意得z ＝i 1－i＋i 2 014＝i×1＋i 1－i 1＋i ＋i 4×503＋2＝i －12＋i 2＝－32＋12i ，对应点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，故在第二象限．] 【名师点评】 1.在有关复数z 的等式中，可把z 看作未知量，利用方程的思想求解，亦可设出z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，用待定系数法求解．2．熟记一些常见的运算结果可提高运算速度： (1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i ，设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.1．(2016·苏锡常镇调研一)已知i 为虚数单位，复数z 满足zi ＋4＝3i ，则复数z 的模为________．5 [z ＋4i ＝3i 2，z ＝－3－4i ，|z |＝|－3－4i|＝5.]2．若复数z ＝(1＋i)(3－a i)(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝________.【导学号：19592056】－3 [z ＝(1＋i)(3－a i)＝3＋a ＋(3－a )i ，由z 为纯虚数知a ＋3＝0，得a ＝－3.] 3．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．8 [∵11－7i 1－2i ＝11－7i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝15(25＋15i)＝5＋3i ，∴a ＝5，b ＝3. ∴a ＋b ＝5＋3＝8.]题型三| 推理与证明(1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.(1)A (2)1 000 [(1)由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一座城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A .(2)由所给结论知，n 2的系数为k －22，n 的系数为4－k 2，则N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －22n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－k 2n ，因此N (10,24)＝24－22×102＋4－242×10＝11×102－10×10＝1 000.]【名师点评】 合情推理的解题思路1．在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．2．在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．3．归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根 [依据反证法的要求，即“至少有一个”的反面是“一个也没有”，直接写出命题的否定．方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．]2．在△ABC 中，D 为AB 上任一点，h 为AB 边上的高，△ADC ，△BDC ，△ABC 的内切圆半径分别为r 1，r 2，r ，则有如下的等式恒成立：AD r 1＋BD r 2＝AB r ＋2CDh. 在三棱锥P －ABC 中D 为AB 上任一点，h 为过点P 的三棱锥的高，三棱锥P －ADC 、P －BDC 、P －ABC 的内切球的半径分别为r 1，r 2，r ，请类比平面三角形中的结论，写出类似的一个恒等式为________．S △ADC r 1＋S △BCD r 2＝S △ABC r ＋2S △PDCh[根据题意由三角形类似为三棱锥：线段AD 类比为S △ADC ，线段BD 类比为S △BDC ，线段AB 类比为S △ABC ，线段2CD 类比为2S △PDC ，则得S △ADC r 1＋S △BCD r 2＝S △ABCr＋2S △PDCh.]。
2017高考数学二轮复习与策略课件 名师寄语
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第四页，编辑于星期六：二十一点 三十分。
2017版高三二轮复习与策略
[解] (1)证明：由题意知
sin 2cos
AA＋csoins
BB＝cossiAncAos
B＋cossiAncBos
B，
化简得 2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，
即 2sin(A＋B)＝sin A＋sin B． 3 分
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[解] (1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).1 分 ①设 a＝0，则 f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点. 2 分 ②设 a＞0，则当 x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以 f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 又 f(1)＝－e，f(2)＝a，取 b 满足 b＜0 且 b＜ln a2，则 f(b)＞a2(b－2)＋a(b－1)2 ＝ab2－32b＞0，故 f(x)存在两个零点. 4 分
|f(x)|＝2－x 同样有且仅有一个解．当 3a>2，即 a>23时，由 x2＋(4a－3)x＋3a＝2－
x(其中 x<0)，得 x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中 x<0)，则 Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，
解得 a＝34或 a＝1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ舍去)；
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当 1≤3a≤2，即13≤a≤23时，由图象可知，符合条件． 综上所述，a∈13，23∪34.故选 C.] 【名师点评】 借助函数图象分析函数的性质，是求解此类问题的通法，解 题时，往往需要从函数的图象变化趋势中寻求解题的切入点，其中分段函数的单 调性是本题的易错点．
【20个专题】江苏省2017年高考数学(文科)二轮复习与策略课件
4． 设全集 U＝{1,2,3,4}， 集合 A＝{1,3}， B＝{2,3}， 则 B∩(∁UA)＝________.
{2} [∵A＝{1,3}，∴∁UA＝{2,4}， ∴B∩(∁UA)＝{2,3}∩{2,4}＝{2}．]
题型二| 命题真假的判断
(1)原命题为“若 z1，z2 互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，其逆命题， 否命题，逆否命题中正确的个数有________个． (2)已知命题 p： 若 x>y， 则－x<－y； 命题 q： 若 x>y， 则 x2>y2.在命题： ①p∧q； ②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨q 中，真命题是________．
【名师点评】 解答集合问题的思路,根据元素的不同属性采用不同的方法 对集合进行化简求解. 1若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解； 2若给定的集合是点集，用数形结合法求解； 3若给定的集合是抽象集合或是用列举法表示的集合，用 Venn 图求解.
1．(2016· 南京二模)设集合 A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则 A∪B ＝________.
[“ ∃ x∈Q ， x2 － 8 ＝ 0” 的否定是 “ ∀ x∈Q ， x2 －
2．已知命题 p：“若 a＝b，则|a|＝|b|”，则命题 p 及其逆命题、否命题、 逆否命题中，真命题的个数有________个．
2 [命题的四种形式中， 原命题与逆否命题同真假， 逆命题与否命题同真假， 本题中原命题是真命题，逆命题是假命题，故有 2 个是真命题．]
热 点 题 型 · 探 究
专 题 限 时 集 训
专题一
集合与常用逻辑用语题型一|来自集合的概念与运算(1)(2016· 江苏高考)已知集合 A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2<x<3}，则 A∩B＝________. (2)(2016· 盐城三模)已知集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝A∩B，则 集合 C 的子集的个数为________． 【导学号：91632000】
【课堂新坐标】2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略课件专题十六 高考中的圆
2017版高三二轮复习与策略
|2m－4－2m－1| 10 由点到直线的距离公式可知， ＝ ，解得 m＝± 6. 16 分 2 2 m ＋4
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2．(2013· 江苏高考)如图 162，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l：y＝2x－4.设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上．
图 162
x2＝x1＋2－t， 所以 y2＝y1＋4.
①
11 分 12 分 13 分
因为点 Q 在圆 M 上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.
于是点 P(x1，y1)既在圆 M 上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25 上， 从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25 与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25 有公共点，
图 161
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(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x＝6 上，求圆 N 的 标准方程； (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且 BC＝OA，求直线 l 的方程； → ＋TP → ＝TQ → ，求实数 (3)设点 T(t,0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得TA t 的取值范围．
也考查了直线与圆及圆与圆的位置关系，求解的关键是充分利用上述关系建立 数量关系，注意等价转化思想的应用.
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1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M 经过点 A(1,0)，B(3,0)，C(0,1)． (1)求圆 M 的方程； →· → ＝0，求 (2)若直线 l：mx－2y－(2m＋1)＝0 与圆 M 交于点 P，Q，且MP MQ 实数 m 的值．
【4-8专题12份】江苏省2017高考数学(文)大二轮总复习与增分策略配套课件
a10－a5 得 a5＝3，而 a10＝8，因此公差 d＝ ＝1， 10－5
∴a100＝a10＋90d＝98.
解析答案
1
2
3
4
2.(2016· 北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1＝6，a3＋a5 ＝0，则S6 6＝______.
解析 ∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.
又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.
3.性质 若m＋n＝p＋q， 在等差数列中am＋an＝ap＋aq； 在等比数列中am· an＝ap· aq.
例 1
11 ＝________. 10
1 7 15 (1)已知数列{an}中，a3＝6，a7＝14，且a －1是等差数列，则 a5 n
解析
1 1 1 设等差数列a －1的公差为 d，则 ＝ ＋4d， a7－1 a3－1 n
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热点分类突破
热点一 等差数列、等比数列的运算
1.通项公式
等差数列：an＝a1＋(n－1)d；
等比数列：an＝a1· qn－1.
2.求和公式
na1＋an nn－1 等差数列：Sn＝ ＝na1＋ 2 d； 2 a11－qn a1－anq 等比数列：Sn＝ ＝ (q≠1). 1－q 1－q
思维升华
解析
答案
跟踪演练1
(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2S3－3S2＝12，
4 则数列{an}的公差是 ________. 解析 2S3－3S2＝2(3a1＋3d)－3(2a1＋d)＝3d＝12，则d＝4.
解析答案
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，满足an>0，q>1，且a3＋a5＝20， 63 a2a6＝64，则S6＝________. 解析 在等比数列{an}中，∵a2a6＝64， ∴a3a5＝a2a6＝64.又a3＋a5＝20， ∴a3和a5为方程x2－20x＋64＝0的两根. ∵an>0，q>1，∴a3<a5，∴a5＝16，a3＝4. a5 a3 4 ∵q＝ a ＝ 4＝2，∴a1＝q2＝22＝1， 3
【课堂新坐标】2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略课件专题十二 高考中的数列
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[解] (1)证明：由已知，当 n≥1 时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.于是对任
意的正整数 n，总存在正整数 m＝n＋1，使得 Sn＝2n＝am.所以{an}是“H 数列”. 4分 (2)由已知，得 S2＝2a1＋d＝2＋d. 因为{an}是“H 数列”， 所以存在正整数 m，使得 S2＝am， 即 2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1. 因为 d<0，所以 m－2<0， 故 m＝1.从而 d＝－1. 7分 6分
(3)证明：设等差数列{an}的公差为 d， 则 an＝a1＋(n－1)d＝na1＋(n－1)(d－a1)(n∈N*)． 令 bn＝na1，cn＝(n－1)(d－a1)，则 an＝bn＋cn(n∈N*). 下证{bn}是“H 数列”． nn＋1 设{bn}的前 n 项和为 Tn，则 Tn＝ a1(n∈N*)． 2 nn＋1 于是对任意的正整数 n，总存在正整数 m＝ ， 2 12 分
⑥12 分
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1 再证必要性：即由 a2，a3，„，an，„成等差数列证明 d＝ ， 2
14 分
因为 a2，a3，„，an，„成等差数列，所以当 n≥3 时，an＋1－an＝an－an－1， an－1 an－1 an an d 所以由⑥得， － ＝ － ＝1＝ ， an＋1－an an－an－1 an－an－1 an－an－1 1－d 1 1 所以 d＝ ，所以 a2，a3，„，an，„成等差数列的充要条件是 d＝ . 16 分 2 2
5分
1 1 1 1n ＋ ， 所以存在实数 λ＝ ，使得 bn＋λ＝ 1－q 1－q a1q
2017版高三二轮复习与策略
(江苏专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题1 集合、常用逻辑用语、不等式、
专题限时集训(六) 利用导数研究函数的单调性、极值、最值(建议用时：45分钟)1．设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． [解] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.1分令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，2分所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2). 3分 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0. 5分 故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增.6分(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.7分①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值. 10分②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值.12分又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值. 14分 2．已知函数f (x )＝ax －2x－3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上的最小值；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．【导学号：19592019】[解] (1)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x，由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1，解得a ＝1. 2分 由f (x )＝x －2x－3ln x ，∴f ′(x )＝x －x －x2.由f ′(x )＝0，得x ＝2. 4分 于是可得下表：∴f (x min(2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x2(x >0)， 8分 由题意可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x 1，x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2， 10分则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，x 1＋x 2＝3a >0，x 1x 2＝2a >0，也可以为⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，－－32a >0，h ，13分解得0<a <98. 14分3．如图6－4，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”．正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x 不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2m 的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m ，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.图6－4(1)求x 的取值范围；(运算中2取1.4)(2)若中间草地的造价为a 元/m 2，四个花坛的造价为433ax 元/m 2，其余区域的造价为12a 11元/m 2，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？[解] (1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥2×10，2分解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，x ≤20，－20≤x ≤15，4分即9≤x ≤15. 6分 (2)记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得y ＝a ×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22＋433ax ×πx 2＋12a 11×⎝ ⎛⎭⎪⎫104－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22－πx 2 ＝a 11⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫－125x 4＋43x 3－12x 2＋12×104， 8分令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2，则f ′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ＝－4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫125x 2－x ＋6， 10分由f ′(x )＝0，解得x ＝10或x ＝15， 列表如下：所以当即当x ＝10m 时，可使“环岛”的整体造价最低. 14分 4．设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x ＞0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [解] (1)由题意知，函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1. 1分令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞). 2分 ①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点； 3分 ②当a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)．a ．当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点； 4分b ．当a ＞89时，Δ＞0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1＜－14，x 2＞－14. 5分由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， 6分 因此，函数有两个极值点． c ．当a ＜0时，Δ＞0， 由g (－1)＝1＞0，可得x 1＜－1.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， 所以函数有一个极值点. 7分 综上所述，当a ＜0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a ＞89时，函数f (x )有两个极值点. 8分(2)由(1)知，①当0≤a ≤89时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞0，符合题意.9分 ②当89＜a ≤1时，由g (0)≥0，得x 2≤0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞0，符合题意. 10分③当a ＞1时，由g (0)＜0，可得x 2＞0. 所以x ∈(0，x 2)时，函数f (x )单调递减．因为f (0)＝0，所以x ∈(0，x 2)时，f (x )＜0，不合题意. 11分 ④当a ＜0时，设h (x )＝x －ln(x ＋1)． 因为x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1＞0， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增. 12分 因此，当x ∈(0，＋∞)时，h (x )＞h (0)＝0， 即ln(x ＋1)＜x .可得f (x )＜x ＋a (x 2－x )＝ax 2＋(1－a )x ， 当x ＞1－1a时，ax 2＋(1－a )x ＜0，此时f (x )＜0，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是[0,1]. 14分 5．(2016·无锡期末)已知函数f (x )＝ln x ＋a ＋e －2x(a ＞0)． (1)当a ＝2时，求出函数f (x )的单调区间；(2)若不等式f (x )≥a 对于x ＞0的一切值恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝2时，函数f (x )＝ln x ＋ex， 1分所以f ′(x )＝1x －e x 2＝x －ex2， 2分所以当x ∈(0，e)时，f ′(x )＜0，则函数f (x )在(0，e)上单调递减；3分 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，则函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递增.4分(2)由题意知ln x ＋a ＋e －2x≥a 恒成立， 5分 原式等价于x ln x ＋a ＋e －2－ax ≥0在(0，＋∞)上恒成立， 令g (x )＝x ln x ＋a ＋e －2－ax ， 6分 因为g ′(x )＝ln x ＋1－a ，令g ′(x )＝0，得x ＝ea －1，所以g (x )e －2－ea －1，8分令t (x )＝x ＋e －2－ex －1，因为t ′(x )＝1－ex －1，令t ′(x )＝0，得x ＝1，且所以当a ∈(0,1)时，g (x )的最小值t (a )＞t (0)＝e －2－e＝－1e＞0，12分当a ∈[1，＋∞)时，g (x )的最小值为t (a )＝a ＋e －2－ea －1≥0＝t (2)，所以a ∈[1,2]. 14分6．(2016·苏北三市三模)已知函数f (x )＝e xe x ，g (x )＝ax －2ln x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)求f (x )的极值；(2)若在区间[0，e]上，对于任意的x 0，总存在两个不同的x 1，x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，求a 的取值范围．[解] (1)因为f (x )＝e xex ，所以f ′(x )＝－x ex ，令f ′(x )＝0，得x ＝1. 2分 当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．所以f (x )在x ＝1时取得极大值f (1)＝1，无极小值. 5分 (2)由(1)知，当x ∈(0,1)时，f (x )单调递增；当x ∈(1，e]时，f (x )单调递减． 又因为f (0)＝0，f (1)＝1，f (e)＝e·e1－e＞0，所以当x ∈(0，e]时，函数f (x )的值域为(0,1]. 7分 当a ＝0时，g (x )＝－2ln x 在(0，e]上单调，不合题意；当a ≠0时，g ′(x )＝a －2x ＝ax －2x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a x，x ∈(0，e]，故必须满足0＜2a ＜e ，所以a ＞2e . 8分此时，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下：所以x →0，g (x )→＋∞，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a＝2－a －2ln a，g (e)＝a (e －1)－2.所以对任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2， 10分使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，当且仅当a 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ≤0，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a －2ln 2a ≤0，a －－2≥1.令m (a )＝2－a －2ln 2a ，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞，m ′(a )＝－a －2a，由m ′(a )＝0，得a ＝2. 12分当a ∈(2，＋∞)时，m ′(a )＜0，函数m (a )单调递减；当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，2时，m ′(a )＞0，函数m (a )单调递增． 所以，对任意a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞有m (a )≤m (2)＝0， 即2－a －2ln 2a ≤0对任意a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞恒成立． 由a (e －1)－2≥1，解得a ≥3e －1. 13分 综上所述，当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3e －1，＋∞时，对于任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0). 14分。
(江苏专版)2017高考英语二轮复习与策略专题限时集训14记叙文+夹叙夹议文
专题限时集训(十四) 记叙文＋夹叙夹议文A(2016·苏北四市摸底考试)One of the most significant actions of your life is that you support someone when you help him or her through a challenging time.However，the best __1__ is that when you support others，you are also supporting yourself.When you __2__ to give support to others, it is usually a __3__ that you are also stopping giving support to yourself.I was hooked on a story about Donna，which clearly showed the __4__ of support.Several months ago，Donna had just broken up with her boyfriend and had a difficult time accepting the __5__．She refused to be accompanied and stayed at home __6__，weeping all the time，which certainly was not helping.Early one morning, Donna received a phone call with some __7__ news: her best friend's brother had been __8__ in an accident.Donna had known this friend, Mary, and her brother __9__ her entire life, and the news was devastating.Donna __10__ her sadness and got the __11__ soon and drove to Mary's house to be with her.At the __12__ and afterwards, she held Mary close while she cried __13__ tears, sat by her side as the waves of grief __14__ Mary, and slept next to her to make sure she did not wake up alone.During that time she hardly felt any __15__ in her heart.Several weeks later, when life began to return to normal, Donna __16__ that the level of support she had given Mary far overtook any support she had __17__ herself during her dark time.She was able to use the support she had given her friend as a __18__ for the support she needed.When you find yourself __19__ to support others, see if there's something within yourself that is not supporting.__20__， when you give complete support to others, it'll mirror those places within you that require the same level of attention.本文是一篇夹叙夹议文。
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专题十四
高考中的立体几何
专 题 限 时 集 训
题型一| 空间位置关系的证明
(2016· 江苏高考)如图 141，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别 为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
图 141 求证：(1)直线 DE∥平面 A1C1F； (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F.
如图 145，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且 AB＝BC＝BD ＝2，∠ABC＝∠DBC＝120° ，E，F，G 分别为 AC，DC，AD 的中点．
图 145
(1)求证：EF⊥平面 BCG； (2)求三棱锥 DBCG 的体积． 1 附：锥体的体积公式 V＝ Sh，其中 S 为底面面积，h 为高． 3 【导学号：91632044】
(2)因为△ABC 是正三角形，E 是 AB 的中点． 所以 CE⊥AB. 又因为在正三棱柱 ABCA1B1C1 中， 平面 ABC⊥平面 ABB1A1，交线为 AB， 所以 CE⊥平面 ABB1A1， 从而 CE⊥A1B. 在矩形 ABB1A1 中， A1B1 B1 B 因为 ＝ 2＝ ， B1 B BE
[解题指导]
DE是△ABC 中位线的 平行的 (1) ――→ DE∥AC ――→ DE∥A1C1 的中位线 性质 传递性
线面平行 DE∥平面A1C1F 的判定 (2) A1C1⊥A1B1 直棱柱的性质 B D⊥A1F ――→ A1C1⊥平面ABB1A1 ―→ A1C1⊥B1D 1 ――→
B1D⊥平面A1C1F ―→ 平面B1DE⊥平面A1C1F
(1)求证：MN∥平面 P.
图 142
[证明] (1)取 PB 中点 E，连结 EA，EN，NM，在 1 1 △PBC 中，EN∥BC 且 EN＝ BC，又 AM＝ AD，AD∥BC，AD＝BC， 2 2 得 EN∥AM，EN＝AM，∴四边形 ENMA 是平行四边形， 得 MN∥AE，MN⊄平面 PAB，AE⊂平面 PAB， ∴MN∥平面 PAB. 6分 4分
又∵底面积 S△PBC＝1， 1 2 3 ∴VPA1BC＝VA1PBC＝3S△PBC×AA1＝ 3 . 14 分
12 分
法二：连结 CD，取 CD 中点 Q，连结 PQ.∵P 为 AC 的中点，∴PQ∥AD， 1 PQ＝ AD. 2 3 ∵AD＝ 3，∴PQ＝ ， 2 由(1)知 AD⊥平面 A1BC，∴PQ⊥平面 A1BC， ∴PQ 为三棱锥 PA1BC 的高， 又由(1)知 BC⊥平面 ABB1A1， ∴BC⊥BA1，∴S△A1BC＝4. 2 3 ∴VPA1BC＝ 3 . 14 分 12 分
【名师点评】 1.求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是 其高易求，底面放在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为 规则几何体以易于求解. 3.在求空间几何体的高时，常根据已知线段的比例关系来确定高的比例关 系，例如本例中点 A、点 G 到平面 BCD 的距离的关系.
[证明] (1)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1C1∥AC. 在△ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 所以 DE∥AC，于是 DE∥A1C1. 又因为 DE⊄平面 A1C1F，A1C1⊂平面 A1C1F， 所以直线 DE∥平面 A1C1F. 4分 2分
(2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1A⊥平面 A1B1C1. 因为 A1C1⊂平面 A1B1C1，所以 A1A⊥A1C1. 6分
又因为 A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面 ABB1A1，A1B1⊂平面 ABB1A1，A1A∩A1B1＝ A1，所以 A1C1⊥平面 ABB1A1. 因为 B1D⊂平面 ABB1A1，所以 A1C1⊥B1D. 8分 10 分
又因为 B1D⊥A1F，A1C1⊂平面 A1C1F，A1F⊂平面 A1C1F，A1C1∩A1F＝A1， 所以 B1D⊥平面 A1C1F. 因为直线 B1D⊂平面 B1DE，所以平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 12 分 14 分
∴AA1⊥BC. ∵AD⊥平面 A1BC， ∴AD⊥BC. ∵AA1，AD 为平面 ABB1A1 内两相交直线， ∴BC⊥平面 ABB1A1. 又∵BC⊂平面 A1BC， ∴平面 A1BC⊥平面 ABB1A1. 6分 3分
(2)法一：由等积变换得 VPA1BC＝VA1PBC， 在 Rt△A1AB 中，由射影定理知 AA1＝2 3. ∵AA1⊥平面 PBC， ∴三棱锥的高为 AA1＝2 3.
【名师点评】
1.正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定
理，是进行判断和证明的基础；证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行 与垂直，再转化为线线的平行与垂直. 2.证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识， 因此需要多画出一些图形辅助使用.
1．(2016· 苏锡常镇调研一)如图 142，已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是 平行四边形，PA⊥平面 ABCD，M 是棱 AD 的中点，N 是棱 PC 的中点．
(2)过点 A 作 PM 的垂线，垂足为 H. ∵平面 PMC⊥平面 PAD，平面 PMC∩平面 PAD＝PM，AH⊥PM， AH⊂平面 PAD， ∴AH⊥平面 PMC，∵CM⊂平面 PMC，∴AH⊥CM. ∵PA⊥平面 ABCD，CM⊂平面 ABCD，∴PA⊥CM. ∵PA∩AH＝A，PA，AH⊂平面 PAD，∴CM⊥平面 PAD. ∵AD⊂平面 PAD，∴CM⊥AD. 14 分 12 分
所以 Rt△A1B1B∽Rt△B1BE， 从而∠B1A1B＝∠BB1E， 因此∠B1A1B＋∠A1B1E＝∠BB1E＋∠A1B1E＝90° ， 所以 A1B⊥B1E. 又因为 CE，B1E⊂平面 B1CE，CE∩B1E＝E， 所以 A1B⊥平面 B1CE.
12 分
14 分
题型二| 空间几何体的体积计算
[解]
(1)证明：由已知得△ABC≌△DBC，因此 AC＝DC. 2分
又 G 为 AD 的中点，所以 CG⊥AD.
3分 5分
同理 BG⊥AD，又 BG∩CG＝G，因此 AD⊥平面 BGC. 又 EF∥AD，所以 EF⊥平面 BCG. 7分
(2)在平面 ABC 内，作 AO⊥BC，交 CB 的延长线于 O. 由平面 ABC⊥平面 BCD，知 AO⊥平面 BDC. 9分
(1)求证：DE∥平面 BB1C1C；
图 144
(2)若 AB＝ 2BB1，求证：A1B⊥平面 B1CE.
[证明] (1)连结 AC1，BC1， 因为 AA1C1C 是矩形，D 是 A1C 的中点， 所以 D 是 AC1 的中点. 3分
在△ABC1 中，因为 D，E 分别是 AC1，AB 的中点， 所以 DE∥BC1. 因为 DE⊄平面 BB1C1C，BC1⊂平面 BB1C1C， 所以 DE∥平面 BB1C1C. 6分
2．如图 143，在四棱锥 PABCD 中，已知底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 PDC，点 E 为棱 PD 的中点．求证：
图 143 (1)PB∥平面 EAC； (2)平面 PAD⊥平面 ABCD.
[证明] (1)连结 BD 与 AC 相交于点 O，连结 OE. 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 中点. 因为 E 为棱 PD 中点，所以 PB∥OE. 因为 PB⊄平面 EAC，OE⊂平面 EAC， 所以直线 PB∥平面 EAC. 6分 3分
(2)因为 PA⊥平面 PDC，CD⊂平面 PDC，所以 PA⊥CD.
因为四边形 ABCD 为矩形，所以 AD⊥CD. 因为 PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面 PAD，所以 CD⊥平面 PAD. 因为 CD⊂平面 ABCD，所以平面 PAD⊥平面 ABCD.
10 分
14 分
3．如图 144，正三棱柱 ABCA1B1C1，点 D，E 分别是 A1C，AB 的中点．
已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中， AD⊥平面 A1BC， 其垂足 D 落在直线 A1B 上．
(1)求证：平面 A1BC⊥平面 ABB1A1； (2)若 AD＝ 3，AB＝BC＝2，P 为 AC 中点，求三棱锥 PA1BC 的体积．
图 146
[解]
(1)证明：直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC，
又 G 为 AD 中点，因此 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半. 11 分 在△AOB 中，AO＝AB· sin 60° ＝ 3， 1 所以 VDh BCG＝VGBCD＝ S△DBC· 3 1 1 3 1 ＝ × BD· BC· sin 120° · ＝ . 3 2 2 2 14 分