2022学年温州新力量联盟高二上期中试卷试题解析

2022学年温州新力量联盟高二上期中试卷试题解析
1：（2022学年温州新力量联盟高二上期中1） 1：椭圆2266x y +=的长轴端点坐标为（ ） A ．()1,0-，()1,0
B ．()()6,0,6,0-
C ．()(
)
6,0,
6,0-
D ．((0,6,6
方法提供与解析：宁波汪灿泉 解析：
22
2
2
2661616
x y x y a +=⇒+==，焦点在y 轴上，26a =，长轴端点坐标为((0,6,6-，故选D ．
2：（2022学年温州新力量联盟高二上期中2）
2：已知平面α的法向量为(231)a =-，，，平面β的法向量为(1)b k =，0，，若αβ⊥，则k 等于（ ） A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
方法提供与解析：宁波汪灿泉
解析：(231)(1)20a b a b k k αβ⊥⇒⊥⇒⋅=-⋅=-=，
，，0，，2k =，故选C ． 3：（2022学年温州新力量联盟高二上期中3）
3：已知直线1:210l mx y -+= ， ()2:110l x m y ---=，则“2m =”是“12l l ∥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分也不必要条件 方法提供与解析：宁波汪灿泉 解析：
当10m -=，1m =，2l 垂直于x 轴，1l 不垂直于x 轴；当10m -≠，12k k =，
1
221
m m m =⇒=-或1-， 当2m =两直线平行，1m =-两直线重合，即“2m =”是“12l l ∥”的充要条件，故选C ．
4：（2022学年温州新力量联盟高二上期中4）
4：在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值 为（ ）
A ．5
B 5
C 5
D 2 方法提供与解析：宁波汪灿泉
解析：
将长方体1111ABCD A B C D -延长为底面矩形边长为1，2，高为13AA =1AD 与1DB 平移 5，25的三角形，余弦定理得222
(5)2(5)5cos 225
θ+-==⋅⋅， 故选B ．
5：（2022学年温州新力量联盟高二上期中5）
5：已知四棱锥P ABCD -﹐底面ABCD 为平行四边形，M ．N 分别为
棱BC ， PD 上的点，1
3
CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，AP c =，
则向量MN 用{}
,,a b c 为基底表示为（ ）
A ．11
62
a b c --+
B ．11
62a b c -++
C ．11
32a b c -+
D ．11
32
a b c ++
方法提供与解析：宁波汪灿泉 解析：
AB a =，AD b =，AP c =，()
12112362MN AN AM AD AP AB AD a b c ⎛⎫
=-=
+-+=--+ ⎪⎝⎭
．故选A ． 6：（2022学年温州新力量联盟高二上期中6）
6：已知圆22:230C x y x +--=，若直线:10l ax y a -+-=与圆C 相交于A ， B 两点，则AB 的 最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．3
D ．
5
2
方法提供与解析：宁波汪灿泉 解析：
()2
222:23014C x y x x y +--=⇒-+=，圆心为C ()1,0，半径为2，():10110l ax y a a x y -+-=⇒--+=，
过定点D ()1,1点；当AB CD ⊥，AB 最小，所以2
2min 224123AB r CD =-=-B ．
7：（2022学年温州新力量联盟高二上期中7）
7：已知M 是圆()2
2:236P x y ++=的一个动点，定点()2,0Q ，线段MQ 的垂直平分线交线段PM 于
N 点，则N 点的轨迹方程为（ ）
A ．2213632x y +=
B ．22
13236x y +=
C ．22
195x y +=
D ．22
159
x y +=
方法提供与解析：（杭州俞蒙恩）
解析：
连接NQ ，由中垂线的性质可知：NQ PN =，6NP NQ NP NM PM R ∴+=+===，
∴N 点的轨迹方程为椭圆，263a a =⇒=，2c =，2
2
2
5b a c =-=，所以方程为22
195
x y +=，故选C
8：（2022学年温州新力量联盟高二上期中8）
8：如图所示，椭圆中心在原点，F 是左焦点，直线1AB 与BF 交于点D ， 且190BDB ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）
A 51-
B 31
- C 512- D 3
方法提供与解析：（杭州俞蒙恩）
解析：190BDB ∠=︒，11AB BF k k ∴⋅=-，21b b
b a
c a c
-∴⋅=-⇒=，22a c ac ∴-=得51e -=
A 9：（2022学年温州新力量联盟高二上期中9）
9：【多选题】直线l 过点()1,2P 且斜率为k ，若与连接两点()1,3A --，()3,2B -的线段有公共点， 则k 的取值可以为（ ）
A ．2-
B ．1
C ．2
D ．4
方法提供与解析：（杭州俞蒙恩）
解析：325112PA k --==--，22231PB k --==--，由题意，易知，2k ≤-或5
2
k ≥，故选AD
10：（2022学年温州新力量联盟高二上期中10）
10：【多选题】在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11,BC A D 的中点，下列说法正确的是（ ） A ．四边形1B EDF 是菱形 B ．直线AC 与1BC 所成的角为
4
π
C ．直线1AC 与平面ABC
D 所成角的正弦值是
33 D ．平面1A BD 与平面ABCD 所成角的余弦值是63
方法提供与解析：（浙江绍兴杨铸） 解析：
显然A 正确；对于B ：直线AC 与1BC 所成的角即为113
AC B π
∠=
，所以B 错误；
对于C ：直线1AC 与平面ABCD 所成角为1CAC ∠，1113
sin 3
CC CAC AC ∠=
=，所以C 正确； 对于D ：连接AC 与BD 交于点O ，则1AOA ∠即为平面1A BD 与平面ABCD 所成角，易得113
cos 3
AO A OA A O ∠=
=，故D 错误．故选：A ，C ． 11：（2022学年温州新力量联盟高二上期中11）
11：【多选题】已知圆O ：224x y +=和圆M ：222440x y x y +-++=相交于A ､B 两点，下列说法 正确是（ ）
A ．圆M 的圆心为()1,2-，半径为1
B ．直线AB 的方程为240x y --=
C ．线段AB 的长为
25
5
D ．取圆M 上点(),C a b ，则2a b -的最大值为45+
方法提供与解析：（浙江绍兴杨铸）
解析：
对于A ：圆M ：22(1)(2)1x y -++=，圆心为()1,2-，半径为1，故A 正确；
对于B ：两圆方程相减得直线AB 的方程为240x y --=，故B 正确；对于C ：圆心O 到直线AB 的距离 22|0204|4512d -⨯-==+，所以线段AB
的长为24254()55-=，故C 正确； 对于D ：令2a b t -=，则圆M 的圆心为()1,2-到直线2a b t -=的距离|21(2)|
15
t d ⨯---=≤，
解得4545t -≤≤+，故D 正确． 故选：A ，B ，D ．
12：（2022学年温州新力量联盟高二上期中12）
12：【多选题】已知椭圆C ：22
1259
x y +=，设1F 、2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右
顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A ．存在P 使得122F PF π∠=
B ．12PF F △的内切圆半径最大为4
3
C ．12PF F △的外接圆半径最小为4
D ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值9
25
方法提供与解析：（湖州赵健鑫）
解析：由椭圆C ：221259
x y +=得，5a =，3b =，4c =．
对于A ，只需121PF PF k k ⋅=-即可证明122
F PF π∠=
，令(),P x y ，12144
PF PF y y k k x x ⋅=
⋅=--+，得22
16y x =-，
结合22
1259x y +=
，解得x =A 正确；
对于B ，因为12121
2PF F PF F S r C =⋅⋅△△内切圆
，因为12F F 为定值8，所以当P 在上下顶点时12PF F S △取最大值12，
又因为12PF F C △为定值2218a c +=，所以r 内切圆最大值为
244
183
=，故B 正确； 对于C ，因为在12PF F △中12F F 为定值，根据正弦定理可得121212
4
2sin sin F F R R F PF F PF =⇒=∠∠，因为存在
P 使得122
F PF π∠=
，即12sin F PF ∠存在最大值1，所以12PF F △的外接圆半径最小为4，故C 正确；
对于D ，令(),P x y ，225525PA PB
y y y k k x x x ⋅=⋅=+--，因为221259x y +=，即22
25925x y ⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭
，代入上式
得22
259
2592525
PA PB x k k x ⎛⎫
-⋅ ⎪⎝⎭⋅==--，故D 错误；故选ABC ． 13：（2022学年温州新力量联盟高二上期中13）
13：已知向量()2,,4a m =-，()1,4,2b =-，且a b ∥，则实数m = ． 方法提供与解析：（湖州赵健鑫） 解析： 因为a b ∥，所以a b λ=，即
24
142
m -==
-，解得8m =-，故填8-． 14：（2022学年温州新力量联盟高二上期中14）
14：已知直线1l ：240x y +-=与直线2l ：2470x y ++=，则实数1l ，2l 之间的距离为 ． 方法提供与解析：（湖州赵健鑫） 解析：
直线2l 两边同除2，得7202x y ++
=
，根据距离公式d =
d =
． 15：（2022学年温州新力量联盟高二上期中15）
15：已知圆22:2210C x y x y +--+=，直线:40l x y +-=，若在直线l 上任取一点M 作圆C 的切线
MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则ACB ∠最小时，原点O 到直线AB 的距离为________．
方法提供与解析：（浙江慈溪史林波） 解析：
圆的标准方程：()()2
2
111x y -+-=。

由切线的基本性质可知：MAC MBC ≌
△△，所以2ACB MBC ∠=∠。

1
cos BC MBC MO MO
∠==，要找ACB ∠最小值，即cos MBC ∠最大值，即MO 的最小值，即MO l ⊥。

易知 1MO
k =，所以:MO l y x =。

求得l 与MO l 的交点为()2,2。

所以以BC 为直径的圆为2
2
331222x y ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭。

由切线的性质可知A ，B 都在圆2
2
331222x y ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭上，所以AB 就是两圆的公共弦，
即:30AB l x y +-=，原点O 到直线AB
的距离d =
=。

16：（2022学年温州新力量联盟高二上期中16）
16：已知椭圆22
143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上且在x 轴的下方，若线段2PF 的
中点在以原点O 为圆心，2OF 为半径的圆上，则直线2PF 的斜率为_________．
方法提供与解析：（浙江慈溪史林波） 解析：
设2F P 的中点为C ，因为O 为12F F 的中点，则易知OC 是21F F P △的中位线， 即1222F P OC c ===。

由椭圆的定义可知2222F P a c =-=。

由此易知12F PF △是正三角形，即2tan603PF k =︒=3
17：（2022学年温州新力量联盟高二上期中17） 17：已知平面内两点(6,6),(2,2)A B - ． （1）求线段AB 的中垂线方程；
（2）求过(2,3)P -点且与直线AB 平行的直线l 的方程．
方法提供与解析：（绍兴 徐萍） 解析：
（1）因为(6,6),(2,2)A B -，所以线段AB 中点(4,2)，因为2(6)
226
AB k --==--， 所以线段AB 的中垂线的斜率为
12，所以线段AB 的中垂线方程为1
2(4)2
y x +=-，即280x y --=； （2）因为直线l 与直线AB 平行，所以2l AB k k ==-，又因为过(2,3)P -， 所以直线l 的方程为：32(2)y x +=--即当210x y +-=
18：（2022学年温州新力量联盟高二上期中18） 18： 已知圆22:68240C x y x y +--+=． （1）求圆C 的圆心坐标和半径；
（2）已知点(2,0)P ，过点P 作圆C 的切线，求出切线方程；
方法提供与解析：（绍兴 徐萍） 解析1：
（1）由2268240x y x y +--+=，可知22(3)(4)1x y -+-=，故圆心坐标为3,4（），半径为1； 在直三棱柱111ABC A B C -中1AA ABC ⊥平面，所以1AA AB ⊥， 又因为1
AA AC A = 所以11AB ACC A ⊥平面，所以1AB AC ⊥
（2）当直线的斜率不存在时，方程2x =，显然与圆相切；
当直线斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为20kx y k --=，根据相切可得圆心到直线的距离等于班级，211
k =+，解得15
8
k =
，则切线方程为158300x y --=，综上，切线方程为2x =或158300x y --=
19：（2022学年温州新力量联盟高二上期中19）
19：如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，12AB AC AA ===，E 是BC 中点． （1）求点l A 到平面1AEC 的距离；
（2）求平面l AEC 与平面11ABB A 夹角的余弦值；
方法提供与解析：（宁波胡余泽）
D
解析：
（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建系， 则()0,0,0A ，()10,0,2A ，()1,1,0E ，()10,2,2C ， ()10,0,2AA =，()1,1,0AE =，()10,2,2AC =，
设平面1AEC 的法向量为(),,n x y z =，则10
220
n AA x y n AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =-，得()1,1,1n =-，
∴点1A 到平面1AEC
的距离123
AA n d n ⋅=
=
=∴点1A 到平面1AEC （2）由（1）可得：()2,0,0B ，()12,0,2B ，所以()12,0,2B A =--， 由（1）平面1AEC 的一个法向量为()1,1,1n =-，
因为AC ⊥平面11ABB A ，取平面11ABB A 的法向量为()0,2,0AC =， 所以3
cos ,3
AC n AC n AC n
⋅=
=-
⨯，平面1AEC 与平面11ABB A ．
20：（2022学年温州新力量联盟高二上期中20）
20：已知直线1y x =-+与椭圆()
222210x y a b a b
+=>>相交于,A B ，
焦距为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为1
F ，求线段AB 的长及1ABF △的面积．
方法提供与解析：（宁波胡余泽） 解析：椭圆定义
（1）设椭圆的半焦距为c ，离心率为e
，由题意可得c e a
=
=
，22
c =，即1c =， 可得a b ==22
132
x y +=；
（2）联立22
1236y x x y =-+⎧⎨+=⎩
，可得2
5630x x --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则
1265x x +
=，1235x
x =-，
所以12AB x x =-==
(
)11,0F -直线10x y +-=的距离为
d
=
，
则1ABF △的面积为1122S d AB ===
21：（2022学年温州新力量联盟高二上期中21）
21：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，ADC ∠=平面PBC ⊥平面ABCD ，且侧面PBC 为等边三角形，E 为线段BC 的中点． （1）求证：直线BC PA ⊥；
（2）在线段AP 是是否存在点F ，使得直线EF 与平面PAC 所成角的正弦值为3
5
E
C
A
B D
P
F
x
y
z E
C
A
B
D
P
F
方法提供与解析：（浙江绍兴+谢柏军） 解析：
（1）连接PE ，AE ，PBC △是正三角形，E 为BC 中点，PE BC ∴⊥，
底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，ABC ∴△是正三角形，AE CB ∴⊥，
PE BC ⊥，AE BC ⊥，PE PEA ⊂面，AE PEA ⊂面，
BC PEA ∴⊥面，BC PA ∴⊥，
（2）PBC ABCD ⊥面面，PBC ABCD BC =面面，PE PBC ⊂面，PE BC ⊥，
PE ABCD ∴⊥面，PE EA ∴⊥，PE ∴，AE ，BE 三条线两两垂直， 以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EP 为z 轴建立坐标系，
)
3,0,0A
，()0,0,0E ，(3P ，()0,1,0C -，
设面PAC 的法向量为()111,,n x y z =， 0
0n CA n CP ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，即11113030
x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令11z =，则11x =，13y =-，()
1,3,1n ∴=-， 设(
)
3,0,3PF PA λλλ==
-，()(
)
33,0,3333EF EP PF λλλλ∴=+=+
-=
，
直线EF 与平面PAC 所成角的正弦值为35，(
)(
)
2
2
3
3
cos ,5
5333EF n
EF n EF n λ
λ
⋅∴<>===⋅
+-， 得29920λλ-+=，13λ∴=或2
3
λ=，∴线段PA 上存在点F 满足题意，点F 为线段PA 的两个三等分点
22：（2022学年温州新力量联盟高二上期中22）
22：如图，,A B 是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的两个顶点，5AB =，
直线AB 的斜率为1
2
-，M 是椭圆C 长轴上的一个动点，设点(),0M m ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线:2l x y m =-+与,x y 轴分别交于点,M N ，与椭圆相交于,C D ， 探究OCM ∆的面积与OCN ∆的面积的关系；并且证明．
方法提供与解析：（浙江宁波 王如意） 解析：
（1）∵A B ､是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个顶点，且5AB =，直线AB 的斜率为1
2
-，
由()(),,00,A a B b ，得225AB a b =+01
02b b k a a -==-=--，解得2a =，1b =，
∴椭圆的方程为2
214
x y +=；
（2）OCM ∆的面积等于ODN ∆的面积
证明：直线l 的方程为2x y m =-+，即122
m
y x =-+，其代入2214x y +=，消去y ，
整理得222240x mx m -+-=，设()11,C x y ，()22,D x y ．12x x m ∴+=，2121
22
x x m =-，
记OCM ∆的面积是1S ，ODN ∆的面积是2S ．
由题意(),0M m ，0,2m N ⎛⎫
⎪⎝⎭
，∵12x x m +=，111212222m y x x m x ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，
11
2
OCM S m y ∆=，2122ODN m S x ∆=，∴OCM ∆的面积等于ODN ∆的面积．。