2022-2023学年河南省南阳卧龙区五校联考数学九年级第一学期期末监测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知22m y x =是关于x 的反比例函数，则( )
A ．12m =
B ．12m =-
C ．0m ≠
D ．m 为一切实数
2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将矩形ABCD 绕B 逆时针旋转30°后得到矩形GBEF ，延长DA 交FG 于点H ，则GH 的长为（ ）
A ．8﹣43
B ．833﹣4
C ．33﹣4
D ．6﹣33
3．如图，AB 与⊙O 相切于点A ，BO 与⊙O 相交于点C ，点D 是优弧AC 上一点，∠CDA ＝27°，则∠B 的大小是（ ）
A ．27°
B ．34°
C ．36°
D ．54°
4．如图，在ABC ∆中，90C =∠，AB ＝5，BC ＝4，点D 为边AC 上的动点，作菱形DEFG ，使点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上.若这样的菱形能作出两个，则AD 的取值范围是( )
A ．369378AD <≤
B ．1575837
AD ≤< C ．575337AD ≤< D ．51538
AD ≤≤
5．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ．210x x +=
B ．ax 2＋bx ＋c ＝0
C ．（x －1）（x ＋ 2）＝1
D ．3x 2－2xy －5y 2＝0 6．如果:1:2x y =，那么下列各式中不成立的是（ ）
A ．32x y y +=；
B ．12y x y -=；
C ．21y x =；
D ．1213
x y +=+ 7．抛物线y ＝3（x+2）2﹣（m 2+1）（m 为常数）的顶点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1，则旋转中心的坐标是（ ）
A ．（0，0）
B ．（1，0）
C ．（1，﹣1）
D ．（1，﹣2）
9．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且DE ∥AB ，若S △CDE ：S △BDE ＝1：3，则S △CDE ：S △ABE ＝（ ）
A ．1：9
B ．1：12
C ．1：16
D ．1：20
10．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB （顶端A 到水平地面BD 的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC
等高的台阶DE （0.5m DE BC ==，A ，C ，B 三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得15m CG =，
然后沿直线CG 后退到点E 处，这时在镜子里恰好看到凉亭的顶端A ，测得3m EG =．若小明身高1．6m ，则凉亭的高度AB 约为（ ）
A ．2．5m
B ．9m
C ．9.5m
D ．10m
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图是一个正方形及其内切圆，正方形的边长为4，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是______．
12．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为__．
13．Q 是半径为3的⊙O 上一点，点P 与圆心O 的距离OP ＝5，则PQ 长的最小值是_____．
14．已知654
a b c ==，且26a b c +-=，则a 的值为__________． 15．如图，一个小球由地面沿着坡度i ＝1：2的坡面向上前进了10m ，此时小球距离出发点的水平距离为__m ．
16．已知一扇形，半径为6，圆心角为120°，则所对的弧长为___．
17．一张等腰三角形纸片，底边长BC 为15cm ，底边上的高为22.5cm ，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图，已知剪得的纸条中有一张是正方形（正方形DEFG ），则这张正方形纸条是第________张.
18．如图，抛物线y ＝﹣2x 2+2与x 轴交于点A 、B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1
向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留π）20．（6分）如图，在∆ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AE·AB＝AD·AC，连接DE，BD.
（1）求证：∆ADE~∆ABC.
（2）若点E为AB为中点，AD：AE＝6：5，∆ABC的面积为50，求∆BCD面积.
21．（6分）随着科学技术的不断进步，草莓的品种越来越多样化，某基地农户计划尝试购进牛奶草莓和巧克力草莓新品种共5000株，其中牛奶草莓成本每株5元，巧克力草莓成本每株8元．
（1）由于初次尝试该品种草莓种植，农户购进两种草莓品种的金额不得超过34000元，则牛奶草莓植株至少购进多少株？
（2）农户按（1）中牛奶草莓的最少进货量购进牛奶草莓巧克力草莓植株，经过几个月的精心培育，可收获草莓共计2500千克，农户在培育过程中共花费25000元．农户计划采用直接出售与生态采摘出售两种方式进行售卖，其中直接出售牛奶草莓的售价为每千克30元，直接出售巧克力草莓的售价为每千克40元，且两种草莓各出售了500千克．而
生态采摘出售时，两种品种幕莓的采摘销售价格一样，且通过生态采摘把余下的草莓全部销售完，但采摘过程中会有0.6a%的损耗，其中生态采摘出售草莓的单价比直接出售巧克力草莓的单价还高3a%（0＜a≤75），这样该农户经营草莓的总利润为65250元，求a的值．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线l：y＝k
x
（x＞0）过点A(a，b)，B(2，1)（0＜a＜2）；过点A作AC⊥x
轴，垂足为C．
（1）求l的解析式；
（2）当△ABC的面积为2时，求点A的坐标；
（3）点P为l上一段曲线AB（包括A，B两点）的动点，直线l1：y＝mx+1过点P；在（2）的条件下，若y＝mx+1具有y随x增大而增大的特点，请直接写出m的取值范围．（不必说明理由）
23．（8分）某小型工厂9月份生产的A、B两种产品数量分别为200件和100件，A、B两种产品出厂单价之比为2:1，由于订单的增加，工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍，设B产品生产数量的增长率为x（0
x ），若10月份该工厂的总收入增加了4.4x，求x的值.
24．（8分）在△ABC中，P为边AB上一点．
（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；
（2）若M为CP的中点，AC＝2，
①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；
②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．
25．（10分）如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣53
经过点A （1，0）和点B （5，0），与y 轴交于点C ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以点A 为圆心，作与直线BC 相切的⊙A ，求⊙A 的半径；
（3）在直线BC 上方的抛物线上任取一点P ，连接PB ，PC ，请问：△PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，若顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点B ，O ，G 在同一条直线上，同时点E ，O ，F 在另一条直线上，若AD ＝4，则四边形BEGF 的面积为_____．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据题意得，21m =- ，即可解得m 的值．
【详解】∵22m y x
=是关于x 的反比例函数 ∴21m =-
解得12
m =- 故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及定义，掌握反比例函数的指数等于1- 是解题的关键．
2、A
【分析】作辅助线，构建直角△AHM，先由旋转得BG的长，根据旋转角为30°得∠GBA＝30°，利用30°角的三角函数可得GM和BM的长，由此得AM和HM的长，相减可得结论．
【详解】如图，延长BA交GF于M，
由旋转得：∠GBA＝30°，∠G＝∠BAD＝90°，BG＝AB＝4，
∴∠BMG＝60°，
tan∠30°＝GM
BG
＝
3
3
，
∴63 43
M
，
∴GM＝43
3
，
∴BM＝83
3
，
∴AM＝83
3
﹣4，
Rt△HAM中，∠AHM＝30°，
∴HM＝2AM＝163
3
﹣8，
∴GH＝GM﹣HM＝43
3
﹣（
163
3
﹣8）＝8﹣43，
故选：A．
【点睛】
考查了矩形的性质、旋转的性质、特殊角的三角函数及直角三角形30°的性质，解题关键是直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半及特殊角的三角函数值．
3、C
【分析】由切线的性质可知∠OAB=90°，由圆周角定理可知∠BOA=54°，根据直角三角形两锐角互余可知∠B=36°．
【详解】解：∵AB 与⊙O 相切于点A ，
∴OA ⊥BA ．
∴∠OAB=90°．
∵∠CDA=27°，
∴∠BOA=54°．
∴∠B=90°-54°=36°．
故选C ．
考点：切线的性质．
4、B
【分析】因为在ABC ∆中只能作出一个正方形，所以要作两个菱形则AD 必须小于此时的AD ，也即这是AD 的最大临界值；当AD 等于菱形边长时，这时恰好可以作两个菱形，这是AD 最小临界值.然后分别在这2种情形下，利用相似三角形的性质求出AD 即可.
【详解】过C 作CN AB ⊥交DG 于M 由三角形的面积公式得1122ABC S AC BC AB CN ∆=⋅=⋅ 即1134522CN ⨯⨯=⨯⋅，解得125CN = ①当菱形DEFG 为正方形时，则只能作出一个菱形
设：DE x =，DG x ∴=
DEFG 为菱形，//DG AB ∴
CDG CAB ∴∆~∆，DG CM AB CN ∴=，即1251255
x x -=，得6037
x = 75sin 37DE AD A ∴==（4sin 5
BC A AB ==） 若要作两个菱形，则7537
AD <；
②当DE DA =时，则恰好作出两个菱形
设：DE y =，DE DA DG y ∴===
过D 作DH AB ⊥于H ，4sin 5
DH DA A y =⋅=
45MN y ∴= 由①知，DG CM AB CN =，124551255
y y -∴=，得158y = 158
AD ∴≥ 综上，1575837AD ≤< 故选：B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、锐角三角函数，依据图形的特点判断出两个临界值是解题关键.
5、C
【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程．根据定义即可求解．
【详解】解：A 选项含有分式，故不是； B 选项中没有说明a≠0，则不是；
C 选项是一元二次方程；
D 选项中含有两个未知数，故不是；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程的定义，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要明确一元二次方程的定义． 6、D
【解析】试题分析：由题意分析可知：A 中，131,,22
x y x x x y y y y y ++=+=⇒=，故不选A ；B 中，111122y x x y y -=-=-=，故不选;C 中，1221x y y x =⇒=；D 中，1213
x y +≠+，故选D 考点：代数式的运算
点评：本题属于对代数式的基本运算规律和代数式的代入分析的求解
7、C
【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标，根据偶次方的非负性判断．
【详解】抛物线y ＝3（x+2）2﹣（m 2+1）的的顶点坐标为（﹣2，﹣（m 2+1）），
∵m 2+1＞0，
∴﹣（m 2+1）＜0，
∴抛物线的顶点在第三象限，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标的确定方法、偶次方的非负性是解题的关键．
8、C
【解析】先根据旋转的性质得到点A 的对应点为点1A ，点B 的对应点为点1B ，点C 的对应点为点1C ，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段1AA 的垂直平分线上，也在线段1CC 的垂直平分线上，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段1AA 的垂直平分线为直线x=1，线段1CC 的垂直平分线为以1CC 为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线上．
【详解】∵将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△111A B C ，
∴点A 的对应点为点1A ，点B 的对应点为点1B ，点C 的对应点为点1C
作线段1AA 和1CC 的垂直平分线，它们的交点为P （1，-1），
∴旋转中心的坐标为（1，-1）．
故选C ．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标． 9、B
【分析】由S △CDE ：S △BDE ＝1：3得CD ：BD ＝1：3，进而得到CD ：BC ＝1：4，然后根据DE ∥AB 可得△CDE ∽△CAB ，利用相似三角形的性质得到116CDE CBA S S ，然后根据面积和差可求得答案. 【详解】解：过点H 作EH ⊥BC 交BC 于点H ，
∵S △CDE ：S △BDE ＝1：3，
∴CD ：BD ＝1：3，
∴CD ：BC ＝1：4，
∵DE ∥AB ，
∴△CDE ∽△CBA ，
∴21()16CDE
CBA S CD S CB ， ∵S △ABC ＝S △CDE ＋S △BDE ＋S △ABE ，
∴S △CDE ：S △ABE ＝1：12，
故选：B ．
【点睛】
本题综合考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质． 10、A
【分析】根据光线反射角等于入射角可得AGC FGE ∠=∠，根据90ACG FEG ∠=∠=︒可证明ACG
FEG ，根据相似三角形的性质可求出AC 的长，进而求出AB 的长即可.
【详解】∵光线反射角等于入射角，
∴AGC FGE ∠=∠，
∵90ACG FEG ∠=∠=︒，
∴ACG
FEG ， ∴ AC CG FE EG
=， ∴1516.3
AC =， ∴8AC =，
∴()8058.5m AB AC BC =+=+=.
． 故选A ．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、4
π 【分析】根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率．
【详解】解：∵正方形的边长为4，
∴正方形的面积S正方形=16，内切圆的半径r=2，因此，内切圆的面积为S内切圆=πr2=4π，
可得米落入圆内的概率为：内切圆
正方形
4
== 164
S p
S ππ
=
故答案为：
4
π
【点睛】
本题考查几何概率、正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，属于中档题．
12、1
【分析】本题是典型的一线三角模型，根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝1．
【详解】解：∵ABCD是正方形（已知），
∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°；
又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°，
∴∠FBA＝∠EAD（等量代换）；
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴在Rt△AFB和Rt△AED中，
∵
90
AFB DEA
FBA EAD
AB DA
︒
⎧∠=∠=
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的对应边相等），
∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及熟悉一线三角模型是解本题的关键．13、1
【分析】根据点与圆的位置关系即可得到结论．
【详解】解：∵Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5，
根据三角形的三边关系，PQ≥OP－OQ（注：当O、P、Q共线时，取等号）
∴PQ 长的最小值＝5-3＝1，
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是点与圆的位置关系，掌握三角形的三边关系求最值是解决此题的关键．
14、1
【解析】分析：直接利用已知比例式假设出a ，b ，c 的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案． 详解：∵654a b c ==， ∴设a=6x ，b=5x ，c=4x ，
∵a+b-2c=6，
∴6x+5x-8x=6，
解得：x=2，
故a=1．
故答案为1．
点睛：此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
15、45．
【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．
【详解】如图，
∵AB ＝10米，tan A ＝BC AC ＝12
． ∴设BC ＝x ，AC ＝2x ，
由勾股定理得，AB 2＝AC 2+BC 2，即100＝x 2+4x 2，解得x ＝5
∴AC ＝5
故答案为5
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
16、4π．
【分析】根据弧长公式求弧长即可.
【详解】此扇形的弧长＝0208161π⨯＝4π， 故答案为：4π．
【点睛】 此题考查的是求弧长，掌握弧长公式：180
n r l π=
是解决此题的关键. 17、6 【分析】设第x 张为正方形纸条,由已知可知ADE
ABC ，根据相似三角形的性质有DE AM BC AN
= ，从而可计算出x 的值.
【详解】如图，
设第x 张为正方形纸条,则3,22.53DE AM x ==-
∵//DE BC
∴ADE
ABC ∴DE AM BC AN
= 即322.531522.5
x -= 解得6x =
故答案为6
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
18、1
【分析】由S 阴影部分图形＝S 四边形BDFE ＝BD×
OE ，即可求解． 【详解】令y ＝0，则：x ＝±
1，令x ＝0，则y ＝2， 则：OB ＝1，BD ＝2，OB ＝2，
S 阴影部分图形＝S 四边形BDFE ＝BD×OE ＝2×2＝1．
故：答案为1．
【点睛】
本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S 阴影部分图形＝S 四边形BDFE 是本题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1） 图见解析，（-3，6）；（2） 图见解析，172
π 【分析】（1）根据△ABC 向上平移3个单位，得出对应点位置，即可得出A 1的坐标； （2）得出旋转后的△A 2B 2C 2，再利用弧长公式求出点B 所经过的路径长．
【详解】解：（1）如图所示：A 1的坐标为：（-3，6）；
（2）如图所示：
∵221417+ ∴点B 所经过的路径长=9017171802
π=． 20、 (1)详见解析； (2)14
【分析】（1）根据AE AB AD AC ⋅=⋅可得AE AD AC AB
=，又因DAE BAC ∠=∠，由相似三角形的判定定理即可证； （2）设5AE x =，根据:6:5AD AE =得6AD x =，由点E 是AB 的中点得10AB x ，可求出AD AB
的值，根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方可得ADE ∆的面积，因等底等高得，BDE ∆的面积等于ADE ∆的面积，从而可得答案.
【详解】（1）AE AB AD AC ⋅=⋅
AE AD AC AB
∴= 在ADE ∆和ABC ∆中，AE AD AC AB DAE BAC
⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩ ADE ABC （两边对应成比例且夹角相等的三角形相似）
（2）设5AE x =
:6:5AD AE =
6AD x ∴= 又点E 是AB 的中点
210AB AE x ∴==
63105
AD x AB x ∴== 由题（1）知ADE ABC ∆∆
29()25ADE ABC S AD AB S ∆∆==∴
又50ABC S ∆=
92518ADE ABC S S ∆∆⋅∴==
又BDE ∆和ADE ∆的边BE AE =，且边上对应的高是同一条高
18BDE ADE S S ∆∆∴==
50181814BCD ABC BDE ADE S S S S ∆∆∆∆∴=--=--=
答：BCD ∆的面积为14.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理和性质，熟记判定定理和性质是解题关键.
21、（1）牛奶草莓植株至少购进2株；（2）a 的值为1．
【分析】（1）设购进牛奶草莓植株x 株，则购进巧克力草莓植株(5000﹣x)株，根据总价＝单价×数量结合购进两种草莓品种的金额不得超过34000元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）根据利润＝销售收入﹣成本﹣消耗，即可得出关于a 的一元二次方程，利用换元法解一元二次方程即可求出a 值，取其小于等于75的值即可得出结论．
【详解】解：（1）设购进牛奶草莓植株x 株，则购进巧克力草莓植株(5000﹣x)株，根据题意得：
5x+8(5000﹣x)≤34000，
解得：x≥2．
答：牛奶草莓植株至少购进2株．
（2）根据题意得：500×(30+40)+(100﹣500﹣500)(1﹣0.6a%)×40(1+3a%)﹣1000﹣34000＝6510，令m＝a%，则原方程可整理得：48m2﹣64m+13＝0，
解得：m1＝1
4
，m2＝
13
12
，
∴a1＝1
4
×100=1，a2＝
13
12
×100=
325
3
，
∵0＜a≤75，
∴a1＝1，a2＝325
3
（不合题意，舍去）．
答：a的值为1．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，根据题意正确列出不等式和方程是解答本题的关键．
22、（1）
2
y
x
=；（2）
2
,3
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；（1）0＜m≤1
【分析】（1）将B（2，1）代入
k
y
x
=求出k即可；
（2）根据A（a，b）在反比例函数图象上，得到
2
a
b
=，根据三角形的面积列方程即可得到结论；
（1）把（2
3
，1）代入y＝mx+1得，m＝1，再根据一次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）将B（2，1）代入
k
y
x
=得：k＝2，
∴反比例函数l的解析式为
2
y
x =；
（2）∵A（a，b）在反比例函数
2
y
x
=的图象上，
∴
2
b
a
=，即
2
a
b
=，
∵S△ABC＝1
(2)
2
b a
-＝2，即
12
2
2
b
b
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＝2，
解得：b＝1，
∴点A的坐标为
2
,3
3
⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
（1）∵直线l1：y＝mx+1过点P，点P为l上一段曲线AB（包括A，B两点）的动点，
∴当点P与A重合时，把（2
3
，1）代入y＝mx+1得，m＝1，
∵y ＝mx+1具有y 随x 增大而增大的特点，
∴m ＞0，
∴m 的取值范围为：0＜m≤1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何综合，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积计算，一次函数的性质，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
23、5%
【分析】根据题意，列出方程即可求出x 的值．
【详解】根据题意，得
2(12)200(12)(14)100(1)(22001100)(1 4.4)x x x x x +⨯+++⨯+=⨯+⨯+
整理，得2200x x -=
解这个方程，得15%x =，20x =（不合题意，舍去）
所以x 的值是5%．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
24、（1）证明见解析；（2）①BP BP 1．
【解析】试题分析：（1）根据已知条件易证△ACP ∽△ABC ，由相似三角形的性质即可证得结论；（2）①如图，作CQ ∥BM 交AB 延长线于Q ，设BP ＝x ，则PQ ＝2x ，易证△APC ∽△ACQ ，所以AC 2＝AP·AQ ，由此列方程，解方程即可求得BP 的长；②如图：作CQ ⊥AB 于点Q ，作CP 0＝CP 交AB 于点P 0，再证△AP 0C ∽△MPB ，（2）的方法求得AP 0的长，即可得BP 的长．
试题解析：（1）证明：∵∠ACP ＝∠B ，∠BAC ＝∠CAP ，
∴△ACP ∽△ABC ，
∴AC ：AB ＝AP ：AC ，
∴AC 2＝AP·AB ；
（2）①如图，作CQ ∥BM 交AB 延长线于Q ，设BP ＝x ，则PQ ＝2x
∵∠PBM ＝∠ACP ，∠PAC ＝∠CAQ ，
∴△APC ∽△ACQ ，
由AC 2＝AP·AQ 得：22＝（3－x ）（3＋x ），∴x
即BP ＝5； ②如图：作CQ ⊥AB 于点Q ，作CP 0＝CP 交AB 于点P 0，
∵AC ＝2，∴AQ ＝1，CQ ＝BQ ＝3 ， 设AP 0=x ，P 0Q ＝PQ ＝1－x ，BP ＝3－1＋x ，
∵∠BPM ＝∠CP 0A ，∠BMP ＝∠CAP 0，
∴△AP 0C ∽△MPB ，∴00AP P C MP BP
=， ∴MP∙P 0C ＝22
201(3)(1)22
x P C +-==AP 0∙BP ＝x （3－1＋x ）， 解得x ＝73-
∴BP ＝3－1＋73-＝71-．
考点：三角形综合题.
25、（1）y=﹣1
32x +2x ﹣53；（2210；（3）存在最大值，此时P 点坐标（52，54）． 【分析】（1）将A 、B 两点坐标分别代入抛物线解析式，可求得待定系数a 和b ，即可确定抛物线解析式；（2）因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以过A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 为⊙A 的半径，由条件可证明△ABD ∽△CBO ，根据抛物线解析式求出C 点坐标，根据勾股定理求出BC 的长，再求出AB 的长，利用相似三角形的性质即两个三角形相似，对应线段成比例，可求得AD 的长，即为⊙A 的半径；（3）先由B,C 点坐标求出直线BC 解析式，然后过P 作PQ ∥y 轴，交直线BC 于点Q ，交x 轴于点E ，因为P 在抛物线上，P,Q 点横坐标相同，所以可设出P 、Q 点的坐
标，并把PQ的长度表示出来，进而表示出△PQC和△PQB的面积，两者相加就是△PBC的面积，再利用二次函数的性质讨论其最大值，容易求得P点坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5
3
经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴把A、B两点坐标代入可得：
5
3
5 2550
3
a b
a b
⎧
+-=
⎪⎪
⎨
⎪+-=
⎪⎩
，
解得：
1
3
2
a
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴抛物线解析式为y=﹣1
3
2
x+2x﹣
5
3
；
（2）过A作AD⊥BC于点D，
如图1：因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以AD为⊙A的半径，
由（1）可知C（0，﹣5
3
），且A（1，0），B（5，0），
∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=5
3
，
在Rt△OBC中，由勾股定理可得：BC=22
OC OB
+=
2
2
5
5
3
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
=
510
3
，∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，
∴△ABD∽△CBO，
∴AD AB
OC BC
=，即
4
5510
33
AD
=
，
解得AD=210
5
，
即⊙A的半径为210
5
；
（3）∵C（0，﹣5
3），
∴设直线BC解析式为y=kx﹣5
3
，
把B点坐标（5,0）代入可求得k=1
3
，
∴直线BC的解析式为y=1
3
x﹣
5
3
，
过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，
如图2，因为P在抛物线上，Q在直线BC上，P,Q两点横坐标相同，
所以设P（x，﹣1
3
2
x+2x﹣
5
3
），
则Q（x，1
3
x﹣
5
3
），
∴PQ=（﹣1
3
2
x+2x﹣
5
3
）﹣（
1
3
x﹣
5
3
）=﹣
1
3
2
x+
5
3
x=﹣
1
3
2
5
2
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
+
25
12
，∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ
=1
2
PQ•OE+
1
2
PQ•BE=
1
2
PQ（OE+BE）
=1
2
PQ•OB=
5
2
PQ
=5
2
×[﹣
1
3
2
5
2
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
+
25
12
]
=
2
55125 6224
x
⎛⎫
--+
⎪
⎝⎭
，
∵
5
6
-<0，∴当x=
5
2
时，S△PBC有最大值
125
24
，
把x=5
2
代入﹣
1
3
2
x+2x﹣5
3
，
求出P点纵坐标为5
4
，
∴△PBC的面积存在最大值，此时P点坐标（5
2
，
5
4
）．
【点睛】
本题考查1．二次函数的综合应用；2．切线的性质；3．相似三角形的判定和性质；4．用待定系数法确定解析式，综合性较强，利用数形结合思想解题是关键．
2692 【分析】设DG ＝CG ＝a ，则AB ＝2a ＝OB ，DG ＝OG ＝CG ＝a ，BG ＝3a ，BC ＝AD ＝4，由勾股定理得出()22243a a +=，
解得a 2，证明△EDG ∽△GCF ，得出比例线段
ED DG CG CF
=，求出CF ．则可求出EF ．由四边形面积公式可求出答案．
【详解】解：由折叠可得，AE ＝OE ＝DE ，CG ＝OG ＝DG ，
∴E ，G 分别为AD ，CD 的中点，
设DG ＝CG ＝a ，则AB ＝2a ＝OB ，DG ＝OG ＝CG ＝a ，BG ＝3a ，BC ＝AD ＝4，
∵∠C ＝90°，
∴Rt △BCG 中，222CG BC BG +=，
∴()22243a a +=，
∴a ＝2，
∴DG ＝CG 2，
∴BG ＝OB+OG ＝222，
由折叠可得∠EGD ＝∠EGO ，∠OGF ＝∠FGC ，
∴∠EGF ＝90°，
∴∠EGD+∠FGC ＝90°，
∵∠EGD+∠DEG ＝90°，
∴∠FGC ＝∠DEG ，
∵∠EDG ＝∠GCF ＝90°，
∴△EDG ∽△GCF ，
∴ED DG CG CF
=，
CF =． ∴CF ＝1，
∴FO ＝1，
∴EF ＝3，
由折叠可得，∴∠BOE=∠A ＝90°，
∵点B ，O ，G 在同一条直线上，点E ，O ，F 在另一条直线上，
∴EF ⊥BG ，
∴S 四边形EBFG ＝12×BG×EF ＝12⨯×3＝2
．
故答案为：
2
． 【点睛】 本题考查了矩形折叠的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键。