2021高考数学(理)二轮专题复习【统考版】课时作业6 三角恒等变换与解三角形 Word版含解析

课时作业6 三角恒等变换与解三角形
[A·基础达标]
1．已知cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－1
3，则cos 2α的值为( ) A ．－79 B.7
9
C ．－223 D.13
2．满足条件a ＝4，b ＝32，A ＝45°的三角形的个数是( ) A ．1 B ．2
C ．无数个
D ．不存在
3．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，则△ABC 的形状为( )
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
4．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－3
5，则sin β的值为( ) A.255 B.55 C.2525 D.525 5.
如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，发现A ，B 分别在D 处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测得B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为( )
A ．206海里
B ．406海里
C ．20(1＋3)海里
D ．40海里
6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝7，
b ＝2，A ＝π
3，则△ABC 的面积为________．
7．若sin α＋cos αsin α－cos α
＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.
9．[2020·沈阳市教学质量监测]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin A ＝7sin B ，sin 2A ＝sin A .
(1)求A 及a ；
(2)若b －c ＝2，求b ，c .
10．[2020·全国卷Ⅱ]△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C . (1)求A ；
(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．
[B·素养提升]
1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B －sin 2C c ＝sin A sin B
a cos B ＋
b cos A
，若a ＋b ＝4，则c 的取值范围为( ) A ．(0,4) B ．[2,4) C ．[1,4) D ．(2,4]
2．在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 面积的最大值为( )
A.21
B.321
4
C.21
2 D ．321 3．[2020·海南模拟]
顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观．如图，△ABC 是黄金三角形，AB ＝AC ，作∠ABC 的平分线交AC 于点D ，易知△BCD 也是黄金三角形．若BC ＝1，则AB ＝________；借助黄金三角形可计算sin 234°＝________.
4．[2020·合肥第一次教学检测]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边
分别为a ，b ，c ，若sin A sin B cos C ＝sin 2C ，则a 2＋b
2c 2＝________，sin C 的
最大值为________．
5．[2020·江苏卷]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，c ＝2，B ＝45°.
(1)求sin C 的值；
(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝－4
5，求tan ∠DAC 的值． 6.
如图，我国海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东142海里处．
(1)求此时该外国船只与D 岛的距离；
(2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D 岛12海里处，不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．
(参考数据：sin 36°52′≈0.6，sin 53°08′≈0.8)
课时作业6 三角恒等变换与解三角形
[A·基础达标]
1．解析：因为cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－13，所以sin α＝13，则cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫132＝7
9.故选B.
★答案★：B
2．解析：由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝34，∵22＜34＜3
2，∴45°＜B ＜60°或120°＜B ＜135°，均满足A ＋B ＜180°，∴B 有两解，满足条件的三角形的个数是2，故选B.
★答案★：B
3．解析：∵内角A 、B 、C 成等差数列， ∴A ＋C ＝2B .
又A ＋B ＋C ＝π.∴B ＝π
3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2
－ac .
又b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，
又B ＝π
3，∴△ABC 为等边三角形；选B. ★答案★：B
4．解析：∵α是锐角，β是锐角，cos α＝255，sin(α－β)＝－3
5，∴sin α＝55，cos(α－β)＝45，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝55×45－255×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35＝255.
故选A.
★答案★：A 5．解析：连接AB .(图略)由题意可知CD ＝40海里，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝105°，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝90°，∠ACD ＝30°，∴∠CAD ＝45°.
在△ACD 中，由正弦定理，得AD sin 30°＝40
sin 45°， ∴AD ＝202(海里)，
在Rt △BCD 中，∵∠BDC ＝45°，∠BCD ＝90°， ∴BD ＝2CD ＝2×40＝402(海里)． 在△ABD 中，由余弦定理，得AB ＝
(202)2＋(402)2－2×202×402×cos 60° ＝206(海里)． ★答案★：A
6．解析：由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2sin π3
7
＝21
7，∵b ＜a ，∴B ＜
A ，∴cos
B ＝277，∴sin
C ＝sin(A ＋B )＝32114，∴△ABC 的面积为1
2ab sin C ＝332.
★答案★：33
2
7．解析：∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1
tan α－1
＝3，
∴tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－
β)＋α]＝－tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)·tan α＝4
3
.
★答案★：4
3
8．解析：因为2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，所以由正弦定理得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 因为sin B ≠0，
所以cos B ＝12，B ∈(0，π)，所以B ＝π
3.
★答案★：π
3
9．解析：(1)∵b sin A ＝7sin B ，及a sin A ＝b
sin B ， ∴ab ＝7b ，∴a ＝7.
∵sin 2A ＝sin A ，∴2sin A cos A ＝sin A ，
又sin A >0，∴cos A ＝1
2，
又A ∈(0，π)，∴A ＝π
3.
(2)∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴b 2＋c 2－bc ＝7，
将b ＝c ＋2，代入b 2＋c 2－bc ＝7，得c 2＋2c －3＝0， 解得c ＝1或c ＝－3(舍去)， ∴b ＝c ＋2＝3.
10．解析：(1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB .① 由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ．②
由①②得cos A ＝－12.因为0<A <π，所以A ＝2π
3.
(2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BC
sin A ＝23，从而AC ＝23sin B ，
AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B .
故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫B ＋π3.
又0<B <π3，所以当B ＝π
6时，△ABC 周长取得最大值3＋2 3.
[B·素养提升]
1．解析：在△ABC 中，由三角函数的定义知a cos B ＋b cos A ＝c ，结
合正弦定理和已知，得a 2＋b 2－c 2c ＝ab c
，即a 2＋b 2－c 2
＝ab ，所以由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1
2，则C ＝60°.所以c 2＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－
3ab ≥(a ＋b )2－3×⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝(a ＋b )
24＝4，所以c ≥2.又c <a ＋b ＝4，所以c 的取值范围是[2,4)，故选B.
★答案★：B
2．解析：设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3， ∴bc cos A ＝a ＝3.
又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A
2，
∴cos A ≥2
5，
∴0<sin A ≤21
5，
∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝321
4，故△ABC 面积
的最大值为321
4.
★答案★：B 3．解析：由题意，得∠A ＝∠ABD ＝∠DBC ＝36°，∠C ＝∠BDC ＝72°，
所以△ABC ∽△BCD ，所以AB BC ＝BC
CD ，且AD ＝BD ＝BC ＝1.设AB ＝AC ＝x ，
则CD ＝x －1，所以x 1＝1
x －1
，解得x ＝5＋12(负值已舍去)．因为sin 234°
＝sin(180°＋54°)＝－sin 54°＝－cos 36°.在△ABC 中，根据余弦定理，得
cos 36°＝x 2＋x 2－12x 2＝5＋14，所以sin 234°＝－5＋1
4.
★答案★：5＋12 －5＋1
4
4．解析：由题意结合正弦定理知ab cos C ＝c 2
，即cos C ＝c 2
ab ，又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，所以a 2＋b 2－c 2＝2c 2，得a 2＋b 2＝3c 2
，即a 2＋b 2
c 2＝3.故cos C
＝a 2＋b 2－c 2
2ab ＝a 2＋b 2－a 2＋b
232ab
＝a 2＋b 23ab ≥2ab 3ab ＝23，当且仅当a ＝b 时取等号，又cos 2C ＋sin 2C ＝1，所以sin 2C ＝1－cos 2C ≤59，sin C ≤5
3.
★答案★：3 5
3
5．解析：(1)在△ABC 中，因为a ＝3，c ＝2，B ＝45°， 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝9＋2－2×3×2cos 45°＝5， 所以b ＝ 5.
在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c
sin C ，
得5sin 45°＝2sin C ，
所以sin C ＝5
5.
(2)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝－4
5，所以∠ADC 为钝角， 而∠ADC ＋C ＋∠CAD ＝180°，所以C 为锐角．
故cos C ＝1－sin 2
C ＝255，则tan C ＝sin C cos C ＝12.
因为cos ∠ADC ＝－45，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝3
5，
tan ∠ADC ＝sin ∠ADC cos ∠ADC
＝－3
4.
从而tan ∠DAC ＝tan(180°－∠ADC －C )＝－tan(∠ADC ＋C )＝－
tan ∠ADC ＋tan C 1－tan ∠ADC ×tan C
＝－－34＋12
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34×12＝2
11.
6．解析：(1)依题意，在△ABD 中，∠DAB ＝45°，由余弦定理得DB 2
＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos 45°
＝(142)2＋162－2×142×16×2
2＝200， 所以DB ＝102，
即此时刻外国船只与D 岛的距离为102海里．
(2)过点B 作BC ⊥AD 于点C ，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝82， 所以CD ＝AD －AC ＝62，以D 为圆心，12为半径的圆交BC 于点E ，连接AE ，DE ，在Rt △DEC 中，CE ＝ED 2－CD 2＝62，
所以BE ＝22，
又AE ＝AC 2＋CE 2＝102，
所以sin ∠EAC ＝CE AE ＝3
5⇒∠EAC ≈36°52′，
外国船只到达点E 的时间t ＝BE 4＝2
2(小时)，
所以海监船的速度v ≥AE
t ＝20(海里/小时)， 故海监船的航向为北偏东90°－36°52′＝53°08′，速度的最小值为20海里/小时．
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