高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件新人教A版必修4

作法:如图,作=a,=b,则 a+b=.
4.规定:对于零向量与任一向量a,我们规定:a+0=0+a=a.
5.结论:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
6.向量加法的运算律
交换律
a+b=b+a
结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
做一做 3
化简:( + )+ =
向量):
(1) + =
;
(2) + =
;
(3) + + =
.
分析:平移向量,运用平行四边形法则和三角形法则求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)易知 = .
由三角形法则得 + = + = .
(2)易知 = ,所以 + = + = .
答案:B
)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二向量加法运算律的应用
【例 3】化简下列各式:
(1) + + + + ;
(2)( + )+ + + .
分析:首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连,然后利
用向量加法的结合律求和.
解:(1) + + + + = + + + +
作法:如图,作=a, =b,则 a+b= .
3.向量加法的平行四边形法则
如图,以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作▱OACB,则以
O为起点的对角线 就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫
做向量加法的平行四边形法则.
做一做2 如图,已知a,b,用向量加法的平行四边形法则作出a+b.
(
)
(
)
(3)若 + + =0,则 A,B,C 为一个三角形的三个顶点.
(
)
(4)若 a,b 均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.
)
答案:(1)× (2)√
(3)×
(4)×
(
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一向量加法法则及应用
【例1】 如图所示,已知向量a,b,c,试作出向量a+b+c.
.
解析:( + )+ =( + )+ = + = .
答案:
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的
打“×”.
(1)如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,那么 a+b 的方向必
与 a,b 之一的方向相同.
(2)在△ABC 中,必有 + + =0.
① + =0;
② = + + ;
③ + + + =0;
④ + + + =0.
其中成立的个数为(
A.1
B.2
C.3
)
D.4
解析:由向量加法的交换律和结合律,得① + =0,正确;②
+ + = ,正确;③ + + + = ,故③不正作法:如图,探究一
探究二
探究三
思维辨析
首先在平面内任取一点 O,作向量=a,再作向量=b,则得向
量 =a+b,然后作向量 =c,则向量=(a+b)+c=a+b+c 即为所
求.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE
延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个
思维辨析
解析:如图,设表示水流速度, 表示船垂直于对岸的速
度,表示船的实际速度,则∠AOC=30°,| |=5.
因为四边形 OACB 为矩形,
所以||=
| |
sin30 °
5
= 1 =10,
2
即船的实际速度为 10 km/h.
答案:10 km/h
探究一
探究二
探究三
思维辨析
错用平行四边形法则作平行向量的和
量 b 表示“向南航行 1 km”,则向量 a+b 表示
A.向东南航行 √2 km
B.向东南航行 2 km
C.向东北航行 √2 km
D.向东北航行 2 km
答案:A
(
)
1
2.已知正方形ABCD的边长为1,则| + | 等于(
A.1
B.√2
C.3
D.2√2
解析:在正方形 ABCD 中,| + |=| |=√2.
2.2.1
向量加法运算及其几何意义
学 习 目 标
1.理解向量加法的概
念及向量加法的几
何意义.
2.熟练掌握向量加法
的平行四边形法则
和三角形法则,会作
已知两向量的和向
量.
3.掌握向量加法的交
换律和结合律,会用
它们进行计算.
思 维 脉 络
1.向量加法的定义
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个
是 + = .
依题意,有| |+| |=800+800=1 600(km).
又 α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°.
所以| |= | |2 + | |2
=√8002 + 8002 =800√2(km).
其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东 35°+45°=80°.
和.
分析:解答本题首先正确画出方位图,再根据图形借助于向量求
解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:如图所示,设, 分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的
方向飞行 800 km,从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km.
则飞机飞行的路程指的是||+| |;两次飞行的位移的和指的
确;④ + + + =0,正确,
∴等式成立的个数为 3.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三向量加法的实际应用
【例4】 在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向
飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方
向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的
向量.
2.向量加法的三角形法则
如图,已知非零向量 a,b,在平面内任取一点 A,作=a, =b,则向量
叫做 a 与 b 的和,记作 a+b,即 a+b= + = .这种求向量
和的方法,称为向量加法的三角形法则.
做一做1
如图,已知 a,b,用向量加法的三角形法则作出 a+b.
(3) + + = + + = .
答案:(1) (2) (3)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 1 化简 + + 等于(
A.
B.
C.
D.
解析: + + = + = .
答案:
5
1
5.若a=“向北走8 km”,b=“向东走8 km”,则|a+b|=
方向是
.
2
3
4
5
;a+b的
= + + + = + =0.
(2)( + )+ + + =( + )+( + )+
= + +
= + =0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 2 给出下列式子:
答案:B
2
)
3
4
5
1
2
3.在四边形ABCD中,AB+AD=AC,则四边形ABCD是(
A.梯形 B.矩形
3
4
5
)
C.正方形D.平行四边形
解析:由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平
行四边形.
答案:D
1
4.化简:( + + )+( + )=
2
3
4
.
解析:( + + )+( + )= + + = .
典例
如图,已知平行向量a,b,求作a+b.
错解:
作=a,=b,则=a+b 就是求作的向量.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
正解:
作=a,=b,则=a+b 就是求作的向量.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向(
从而飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为
800 √2 km,方向为北偏东80°.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3 一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而
该船实际航行的方向与水流方向成30°角,则船的实际航行速度
为
.
探究一
探究二
探究三
)
A.与向量a的方向相同
B.与向量a的方向相反
C.与向量b的方向相同
D.不确定
解析:若a和b方向相同,则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相
同;若它们的方向相反,而a的模大于b的模,则它们的和的方向与a的
方向相同.
答案:A
1
2
3
4
5
1.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量 a 表示“向东航行 1 km”,向