专题08 平面解析几何-浙江省高三数学优质金卷考卷分项

高考资源网（ ），您身边的高考专家
第八章 平面解析几何
一．基础题组
1.【浙江省杭州市 2018 届高三上学期期末】双曲线 x2 y2 1的渐近线方程为（ ） 4
A. y 1 x 2
【答案】B
B. y 2x
C. y 3 x 2
D. y 5 x 2
【解析】由双曲线 x2 y2 1得 a 1，b 2 ，所以渐近线方程为 y 2x ， 4
故选 B .
2.
【浙江省嘉兴市
2018
届高三上学期期末】设点
P
是双曲线
x a
2 2
y2 b2
1(a 0,b 0) 与圆
x2 y2 a2 b2 在第一象限的交点， F1, F2 是双曲线的两个焦点，且 2 PF1 3 PF2 ，则双曲线的离心
率为
A. 13
B. 13 2
【答案】A
C. 13
D. 13 2
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a, b, c 的方程或不等式，再根 据 a,b, c 的关系消掉 b 得到 a, c 的关系式，而建立关于 a,b, c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的
几何性质、点的坐标的范围等.
3. 【浙江省嘉兴市 2018 届高三上学期期末】点 1,0 到直线 x y 1 0 的距离是
A. 2
B. 2 2
【答案】A
C. 1 D. 1 2
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

高考资源网（ ），您身边的高考专家
【解析】点 1,0 到直线 x y 1 0 的距离是 1 0 1 2 ,选 A.
2
4. 【浙江省宁波市 2018 届高三上学期期末】已知焦点在 y 轴上的椭圆 x2 y2 1 的离心率为 1 ，则实数
4m
2
m 等于（ ） A. 3 B. 16
5
【答案】D
C. 5 D. 16 3
【解析】 x2 y2 1是焦点在 y 轴上的椭圆， a m, b 2, c m 4 ，离心率 4m
e c m 4 1 ，得 m 16 ，故选 D.
a m2
3
5.【浙江省宁波市 2018 届高三上学期期末】已知双曲线 C 的渐近线方程是 y 2 2x ，右焦点 F 3,0 ，
则双曲线 C 的方程为_________，又若点 N 0,6 ， M 是双曲线 C 的左支上一点，则 FMN 周长的最小
值为__________．
【答案】 x2 y2 1 6 5 2 8
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问 题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙； 二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角 函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用双曲线的定义结合三角形的 性质求三角形周长最小值的.
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

高考资源网（ ），您身边的高考专家
6. 【浙江省台州市 2018 届高三上学期期末】双曲线 x2 y2 1的离心率为___________，渐近线方程为 43
___________.
【答案】 7 y 3 x
2
2
7. 【浙江省台州中学 2018 届高三上学期第三次统练】已知圆 C ： x2 y2 4 ，点 P 为直线 x 2 y 9 0
上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 PA, PB ， A, B 为切点，则直线 AB 经过定点（ ）
A.

4 9
,
8 9

【答案】A
B.

2 9
,
4 9

C. 2,0
D ． 9,0
【解析】设 P9 2m, m ，过点 P 向圆 C 引两条切线 PA, PB ， A, B 为切点，则 OA PA,OB PB ，
AB 是以 OP 为直径的圆 D 与圆 C 的公共弦，求得圆 D 的方程为

x
9
2m 2
2


y
m 2
2

9
2m2
4
m2
①，又知圆 C 的方程为 x2 y2 4
②，②-①可得公
共弦 AB 所在直线的方程为 m2x y 4 9x 0 ，令{2x y 0
49x 0
x 4 可得{ 9
y 8 9
，所以直线 AB 经
过定点

4 9
,
8 9

，故选
A.
【方法点睛】本题主要考查圆的方程、直线和圆的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题. 探索
直线过定点的常见方法有两种：① 可设出直线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化
为 tf
x,
y
g
x,
y
0 的形式，根据 {
f g
x, x,
y y

0 0
求解）；②可以根据直线的各种形式的标准方程找出
定点；③ 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

高考资源网（ ），您身边的高考专家
8. 【浙江省台州中学 2018 届高三上学期第三次统练】已知双曲线 x2 y2 1的一焦点与抛物线 y2 8x 的 3b
焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y 1 x 3
【答案】C
B. y 3x
C. y 3 x 3
D. y 3x
【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，根据条件正确求出 b 的值是解决本题的关键． 9. 【2017 年 12 月浙江省高三上学期期末热身】双曲线 y2 x2 1的离心率是（ ）
94
A. 5 2
B. 5 3
【答案】D
C. 13 2
D. 13 3
【解析】∵ 双曲线的方程为 y2 x2 1 94
∴a 3， b 2
∵ c2 a2 b2
∴ c 13
∴双曲线的离心率是 e c 13 a3
故选 D.
10. 【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018 届高三上学期 9+1 联考】已知圆 C ：
x2 y r 2 r2 （ r 0 ），点 A1, 0 ，若在圆 C 上存在点 Q ，使得 CAQ 60 ， r 的取值范围是
__________.
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

【答案】 3,
高考资源网（ ），您身边的高考专家
11. 【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018
届高三上学期 9+1
联考】设点
P
是双曲线
x a
2 2
y2 b2
1
（ a ， b 0 ）上异于实轴端点上的任意一点， F1 ， F2 分别是其左右焦点， O 为中心，
PF1
| PF2
OP |2
b2 2
，则此双曲线的离心率为（
）
A. 6 2
B. 2
【答案】C
C. 3
D. 2
【解析】不妨设 P 是双曲线右支上的一点， P x, y ，其中 x a ，则 PF1 ex a ， PF2 ex a ，
则 OP
x2 y2
c2 a2
x2
b2
∴ PF1
PF2
OP
2
c2 a2
x2
a2
c2 a2
x2
b2
b2 2
∴ c2 a2 a2 2
∴e c 3 a
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

高考资源网（ ），您身边的高考专家
故选 C 点睛：本题主要考查了双曲线的定义，离心率，及基本量之间的关系，涉及焦半径问题的综合运用，属于 难题.在处理此类问题时，一般要考虑双曲线的定义，注意焦半径公式的应用，得到基本量之间的关系，从 而转化为离心率问题，一般此类问题比较灵活，需要基础扎实，运算能力强.
12. 【浙江省嘉兴第 一中学 2018 届高三 9 月基础知识测试】已知 为椭圆与双曲线的公共焦点， 是它
们的一个公共点，且
，则该椭圆与双曲线的离线率知积的最小值为（ ）
A.
B.
【答案】B
C.
D.
4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos ，
化简得：（
）a12+（
）a22=4c2，
即
，
又∵
9，
∴
，即 ≥ ，
即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 ． 故选：B． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式， 再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和 双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

高考资源网（ ），您身边的高考专家
13. 【浙江省名校协作体 2018 届高三上学期测试】．设 A, B 是椭圆 C : x2 y2 1 长轴的两个端点，若 C 上 4k
存在点 P 满足 APB 120 ，则 k 的取值范 围是（ ）
A.
0,
4 3

[12,+)
B.
0,
2 3

[6,+)
C.
0,
2 3

[12,+)D.
0,
4 3

[6,+)
【答案】A
当椭圆的焦点在 y 轴上时， m＞3 ，
当 P 位于短轴的端点时， APB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 P 满足 APB 120 ，
APB 120，APO 60，tanAPO m tan60 3 ，，解得： m 12 ， m 的取值范 4
围是

0,
4 3

[12,+)
故选 A．
14. 【浙江省名校协作体 2018 届高三上学期测试】双曲线 y2 x2 1的渐近线方程是（ ） 94
A.y 9 xB.y 4 xC.y 3 xD.y 2 x
4
9
2
3
【答案】C
【解析】双曲线 y2 x2 1 中 a 3,b 2 ，双曲线的渐近线方程为 y 3 x ，选 C.
94
2
15. 【浙江省镇海中学 2018 届高三上学期期中】圆 x2 y2 1 上任意一点 P ，过点 P 作两直线分别交圆于
A ， B 两点，且 APB 60 ，则 PA 2 PB 2 的取值范围为__________．
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

【答案】 3,6
高考资源网（ ），您身边的高考专家
PA 2 PB 2 4sin2θ 4sin2 120 θ 3 2sin2θ 2
3sincos 4
3sin2
cos2
4
2 sin

2
6

.
θ

0,
2 3

,
2
6

6
,
7 6

.
4
2
sin

2
6

3,
6
.
答案为： 3,6.
16.
【浙江省镇海中学 2018 届高三上学期期中】已知 O ，
F
分别为双曲线
E
:
x2 a2
y2 b2
1a 0，b 0
的中心和右焦点，点 G ， M 分别在 E 的渐近线和右支， FG OG ， GM x 轴，且 OM OF ，则 E
的离心率为
A. 5 2
B. 6 2
【答案】D
C. 7 2
D. 2
【解析】设
M
m,
n
,则
G

an b
,
n

，
∵FG⊥OG,∴
n an
c
b a
1, n
ab c
，
b
∴ m2 a2
n2 b2
1,m2
a2c2 a4 c2
，
∵|OM|=|OF|,∴ a2c2 a4 c2
a2b2 c2
c2 ，
∴ 2a2 c2,e c 2 ， a
故选 D.
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

高考资源网（ ），您身边的高考专家
17. 【浙江省镇海中学 2018 届高三上学期期中】已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F ， O 为原点，若 M 是抛
物线上的动点，则 OM 的最大值为
MF
A. 3 3
B. 6 3
【答案】C
C. 2 3 3
D. 2 6 3
OM
MF
1
t
t 3
2
1
t2
4t 6t
9
2
1
t
4 9
6
t
2 3 ( 当且仅当 t=3 时,等号成立). 3
故 OM 的最大值为 2 3 ，
MF
3
故选 C.
18.【浙江省温州市 2018 届高三 9 月高考适应测试（一模）】双曲线的焦点在 轴上，实轴长为 4，离心率为
，则该双曲线的标准方程为__________，渐进线方程为__________．
【答案】 【解析】 实轴
，又 离心率
，
，
， 双曲线方程为
，渐进线方程为
，故答案为
，
.
19．【浙江省温州市 2018 届高三 9 月高考适应测试（一模）】已知直线 ：
与圆 ：
交于 ， 两点（其中 是坐标原点），则圆心 到直线 的距离为__________，点 的横坐标为__________． 【答案】 1 3
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

高考资源网（ ），您身边的高考专家
20.【浙江省温州市 2018 届高三 9 月高考适应测试（一模）】正方形 的四个顶点都在椭圆 若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
上，
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设正方体的边长为 ， 椭圆的焦点在正方形的内部，
，又正方形 的四个顶点都在
椭圆
上，
，
，
，故选 B. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关 的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚 轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题 应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 的不等式，从而求出 的范围.本题 是利用椭圆的焦点在正方形的内部， 构造出关于 的不等式，最后解出 的范围.
21. 【浙江省清源中学 2018 届高三 9 月月考】过点 M 0,1 且斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的两渐近线交于点 A, B ，且 BM
2AM
，则直线 l 的方程为__________；如果
双曲线的焦距为 2 10 ，则 b 的值为__________． 【答案】 y x 1 1
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

联立直线l 方程和渐近线方程,解得1a
x a b
=-
+， 2a
x b a
=
-， 即有2a a
a b b a -=
+-， 化为3a b =，
由双曲线的焦距为210， 可得22210a b c +==， 即有21010b =， 解得1b =.
故答案为： 11y x =+，
. 22. 【浙江省清源中学2018届高三9月月考】已知焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=的离心率为1
2
，则m =（ ）
6 C. 4 D. 2 【答案】C
【解析】焦点在x 轴上的椭圆
22
13
x y m +=,可得,3a m c m ==- 椭圆的离心率为1
2,可得：312m m
-=，解得4m =. 故选：C.
23. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三上学期期中】设直线x －3y+m=0（m≠0）与双曲线(a ＞0,
b ＞0)的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若P(m, 0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】
．
∵点P （m ，0）满足|PA|=|PB|，
∴，
∴a=2b， ∴
，
∴． 故答案为：
．
考点：直线与双曲线的位置关系，双曲线的离心率． 24. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三上学期期中】已知
C 的方程为2220x x y -+=，直线
:20l kx y x k -+-=与C 交于两点，当AB 取最大值时k = __________， ABC ∆面积最大时，
k =__________．
【答案】 2 1或7
【解析】圆的方程化为()2
211x y -+=，圆心C ()1,0，半径为1，直线方程化为()2k x y x -=-过定点
()2,2，当直线过圆心时，弦AB 为直径最大，此时2k =；设AOB θ∠= ，则
11
11sin sin 22
ABC
S θθ∆=⨯⨯⨯= ，当090θ=时， ABC ∆的面积最大，此时圆心到直线的距离为22， ()
2
12
2
11
k
d k -=
=++，解得： 0k =或6k =. 【点睛】本题涉及圆的弦的最大值问题，显然圆的最长弦是圆的直径，而弦的两个端点与圆心连成的三角形面积最大，只需两条半径垂直，本题还涉及直线过定点问题，把含参数的项放在一起，把不含参数的项放在一起，分别令其为0，解方程组就可解出直线所过的定点坐标，要掌握一些基本常识，这样做题就会快一些
25. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三上学期期中】若双曲线2
2
1y x m
-=的离心率为3，则实数m=___________； 渐近线方程为__________． 【答案】 2 2y x =±
二．能力题组
1. 【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】已知椭圆22
:132
x y C +=，直线():0l y kx m m =+≠，设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.
（Ⅰ）若3m >，求实数k 的取值范围；
（Ⅱ）若直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列（其中O 为坐标原点），求OAB ∆的面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ）3k >
3k <.（Ⅱ）6S ⎛∈ ⎝⎭
【解析】试题分析：(1)由直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，联立直线与椭圆方程，解得
()()()
2
226423360km k m ∆=-+->，根据3m >，求出实数k 的取值范围(2) 设()11,A x y ，
()22,B x y ，由直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列，得2121212y y k k k x x =
=，计算得22
3
k =，再由点到直线的距离算出2
351m h m k ==
+，算出面积表达式OAB S ∆ 16
2AB h =⋅= 2233622m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，计算
出范围
解析：（Ⅰ）联立方程22
132
x y +=和y kx m =+，得 ()2
2
2236360k x
kmx m +++-=，
所以()(
)()
2
2
2
6423360km k m
∆=-+->，所以2223m k <+，
所以2233k +>，即21
3
k >
， 解得3k >
3k <. （Ⅱ）设()11,A x y ， ()22,B x y ，则122
623km
x x k -+=+， 21223623m x x k -=+，
设直线,OA OB 的斜率12,k k ，因为直线,,OA AB OB 的斜率成等比数列， 所以212
1212y y k k k x x =
=，即()()1
2212
kx m kx m k x x ++=， 化简，得22236k k +=，即22
3
k =
. 因为2
212531632AB k
x m ⎛⎫=+-=
- ⎪⎝⎭
原点O 到直线AB 的距离2
3
5
1m h k =
=
+， 所以OAB S ∆ 1626AB h =⋅=223366226
m m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭ 2233662222m m ⎛⎫+- ⎪
⎝⎭=，
当2m =±OA 或OB 的斜率不存在，等号取不到，
所以6S ⎛∈ ⎝⎭
.
点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，由题意中直线与椭圆有两个交点，联立直线与椭圆方程，根据判别式求出参数范围，在计算三角形面积时，先确定三角形的底与高，然后给出其表达式，根据范围求得结果.
2. 【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末】如图， AB 为半圆()2
2
10x y y +=≥的直径，点,D P 是半
圆弧上的两点， OD AB ⊥， 30POB ∠=︒．曲线C 经过点P ，且曲线C 上任意点M
满足： MA MB +为定值.
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设过点D
的直线l 与曲线C 交于不同的两点,E F ，求OEF ∆面积最大时的直线l 的方程．
【答案】(1)
22
13122
x y += (2) 1y x =+或1y x =-+
试题解析：（Ⅰ）根据椭圆的定义，曲线C 是以()()1,0,1,0A B -为焦点的椭圆，其中22c =， 31,2P ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
. 22
22
31312112222a PA PB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭ 2323=++-，
∴ 2
32a =， 2
12
b =，曲线C 的方程为2213122
x y +
=； （Ⅱ）设过点
D 的直线l 的斜率为k ，则:1l y kx =+.
由22
1,{
263,
y kx x y =++=得()()()
2
2212426324310k k k ∆=-⋅+⋅=->， ()()()
2
2212426324310k k k ∆=-⋅+⋅=->， 1212
22
123
,,2626k x x x x k k +=-
⋅=++ ∴ ()
22212243111k EF k x x k -=+⋅-=+⋅
，
又点O 到直线l 的距离21d k
=+， ∴ OEF ∆的面积1
2s EF d =⋅⋅= ()2631k -. 令231,0k λλ-=>，则1616163
22222s λλλ
=
⋅=⋅≤⋅=
+. 当且仅当2
λλ
=
，即22,312,1k k λ=-==±时， OEF ∆面积取最大值
3
. 此时直线l 的方程为1y x =+或1y x =-+．
3. 【浙江省宁波市2018届高三上学期期末】已知抛物线C 的方程为2
4x y =， F 为其焦点，过不在抛物线上的一点P 作此抛物线的切线,PA PB ， ,A B 为切点.且PA PB ⊥.
（Ⅰ）求证：直线AB 过定点；
（Ⅱ）直线PF 与曲线C 的一个交点为R ，求AR AB ⋅的最小值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
27
4
.
试题解析：（Ⅰ）设直线AB 的方程为y kx b =+，设()11,A x y ， ()22,B x y 以,A B 为切点的切线方程分别为1122x x y y =+， 2222x x y y =+. 由2
{
4y kx b x y
=+=消去y 得2
440x kx b --=. 则124x x k +=， 124x x b =-.
这两条切线的斜率分别为112x k =， 222x k =. 由这两切线垂直得12124144
x x b
k k -===-，得1b =.
所以直线AB 恒过定点()0,1. （Ⅱ）设()00,P x y ，则()012122x x x k =
+=， 1201011
124
x x y x x y =-==-， 当0k =时，则00x =，可得AB PF ⊥， 当0k ≠时，则00x ≠， 02
AB x k =， 02PF k x -=，
同样可得AB PF ⊥.
所以()()11212AR AB AB AF y y y ⋅=⋅=+++.
由22
12
12116
x x y y ==.
所以()()11212AR AB y y y ⋅=+++= 2
111
1
33y y y +++
. 令()21
33f x x x x
=+++
， (0)x >. ()()()2
2
2
1211'23x x f x x x x +-=+-
=
. 所以()f x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝
⎦
上为减函数，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣
⎭
上为增函数.
所以()
min
127
24
AR AB
f ⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭.
（或()2
133f x x x x =+++= ()3
3
331134127224x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪++ ⎪+⎝⎭⎝⎭=≥=当12
x =时取等号.）
【方法点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题. 属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为
()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0{
,0
f x y
g x y == 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，
也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
4. 【浙江省台州市2018届高三上学期期末】已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，
2F ，左顶点为A ，点(
)
2,3P
在椭圆上，且△12PF F 的面积为23．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）过原点O 且与x 轴不重合的直线交椭圆C 于E ， F 两点，直线
分别与
轴交于点
．求
证：以MN 为直径的圆恒过焦点1F ， 2F ，并求出△1F MN 面积的取值范围．
【答案】（1）22
184
x y +=（2）[)4,+∞
得228
12x k =
+，所以022212x k =+ 022212k y k
=+110F M F N ⋅=， 11F M F N ∴⊥，同理22F M F N ⊥，则以MN 为直径的圆恒过焦点1F ， 2F ，可得
22222222222121
2224112112k
k
k k MN k k k k
⋅+==+>++-+，进而可得结果. 试题解析：（Ⅰ） 121
23232
PF F S c ∆=⨯= 2c ∴=，
又点2,3P
在椭圆C 上， 2223
14
a a ∴+=-， 42980a a ∴-+=，
解得28a =，或21a =（舍去），又224a b -=， 24b ∴=，
所以椭圆C 的方程为22
184
x y +=； （Ⅱ）
()
22,0A -， ()12,0F -， ()22,0F ，
方法一：当直线EF 的斜率不存在时， E ， F 为短轴的两个端点，则()0,2M ， ()0,2N -，
11F M F N ∴⊥， 22F M F N ⊥，则以MN 为直径的圆恒过焦点1F ， 2F ，
当EF 的斜率存在且不为零时，设直线EF 的方程为()0y kx k =≠， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --，
由2
2
,
{ 18
4
y kx x y
=+
=，消去y 得228
12x k =
+，所以022212x k =+ 022212k y k
=+ 所以直线AE 的方程为2
2112y x k
=
+++，
因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2
22112k y k
=
++，
即点M ⎛⎫ ⎝
，同理可得点N ⎛⎫
⎝，
11222,,2,k
F M F N ⎛⎫⎛∴== ⎪ ⎪ ⎝⎝
， 110FM F N ∴⋅=， 11F M F N ∴⊥，同理22
F M F N ⊥，
则以MN 为直径的圆恒过焦点1F ，
2F ，
当EF 的斜率存在且不为零时，
4MN ==>， ∴△1F MN 面积为
11
|42
OF MN ⋅， 又当直线EF 的斜率不存在时， 4
MN =，△1F MN 面积为
11
42
OF MN ⋅=， ∴△1F MN 面积的取值范围是[)4,+∞．
方法二：当E ， F 不为短轴的两个端点时，设()(0000,,0,E x
y x x ≠≠
±，
则()00,F x y --，由点E 在椭圆C 上， 22
002
8x y ∴+
=，
所以直线AE 的方程为
y x =
+，令0x =得
y
=
即点M ⎛⎫ ⎝，同理可得点N ⎛⎫
⎝，
以MN 为直径的圆可化为2
2
2
000220088088
x y y x y y x x +-+=--，
代入220082x y -=-，化简得22
440x x y y y ++
-=， 令220,{
40,
y x y =+-=解得2,
{
0,
x y =
±= ∴以
MN 为直径的圆恒过焦点()12,0F -， ()22,0F ，
0200
168
8y MN x y ∴=
=
-，又022y -<<， 4MN ∴>,
∴△1F MN
面积为
11
|42
OF MN ⋅， 当E ，
F 为短轴的两个端点时， 4MN =，△1F MN 面积为
11
42
OF MN ⋅=， ∴△1F MN 面积的取值范围是[)4,+∞．
5. 【浙江省台州中学2018届高三上学期第三次统练】如图，已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的一个焦点为
(
)
3,0， 31,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
是椭圆上的一点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的上、下顶点分别为,A B ， ()00,P x y （00x ≠）是椭圆上异于,A B 的任意一点， PQ y ⊥轴， Q 为垂足， M 为线段PQ 中点，直线AM 交直线:1l y =-于点C , N 为线段BC 的中点，若MON ∆的面积为
3
2
，求0y 的值． 【答案】（1）2214x y +=．（2）045
y =．
(2)根据题意,求出直线AB 的方程、点M,C,N 的坐标,计算0OM NM ⋅=,可得OM MN ⊥,再利用
3
2
MON S ∆=
,结合椭圆方程,求解可得结果. 试题解析：（1）设椭圆方程为22221x y a b
+=，由题意，得3c =． 因为222a c b -=，所以22
3b a =-．又
31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
是椭圆上的一个点，所以223
1413a a +=-，解得2
4a =或234a =（舍去），从而椭圆的标准方程为
2
21
4
x y +=．
（2）因为()00,P x y ， 00x ≠，则()00,Q y ，且2
20014
x y +=．因为M 为线段PQ 中点， 所以00,2x M y ⎛⎫
⎪⎝⎭
．又()0,1A ，所以直线AM 的方程为()00211y y x x -=+．因为000,1,x y ≠∴≠令1y =-，
得00,11x C y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭． 又()0,1B -， N 为线段BC 的中点，有()0
0,121x N y ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭
．
所以()00
00,12
21x x NM y y ⎛⎫=-
+
⎪
⎪-⎝⎭
．
因此， ()()()22
20000000000012221441x x x x x OM NM y y y y y y ⎛⎫⋅=-+⋅+=-++ ⎪ ⎪--⎝⎭
=()
()2220000000110441x x y y y y y ⎛⎫+-+=-++= ⎪-⎝⎭．从而OM MN ⊥． 因为22
0014x OM y =
+=， ()
()
2
2
00
22
0012
111411x y ON y y y -=+=+=
---， 所以在Rt MON ∆中， 22
MN ON OM
=-=，因此00
111221MON y S OM MN y ∆+=
=-00113212y y +=-，解得04
5
y =．
6. 【2017年12月浙江省高三上学期期末热身】已知椭圆22
22:1x y C a b
+= (0)a b >>的长轴长是短轴长的
2倍，且过点13,
2⎫⎪⎭
． ⑴求椭圆C 的方程；
⑵若在椭圆上有相异的两点,A B （,,A O B 三点不共线），O 为坐标原点，且直线AB ，直线OA ，直线OB 的斜率满足2•(0)AB
OA OB AB k
k k k =>.
（ⅰ）求证： 2
2
OA OB
+是定值；
（ⅱ）设AOB ∆的面积为S ，当S 取得最大值时，求直线AB 的方程．
【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析， 1
12
y x =±. 进而化简得()120k x x m ++=，联立直线与椭圆方程，消去y ，结合韦达定理，即可解得1
2
k =，从而可得()
122122{
21
x x m x x m +=-=-，(ⅰ)表示出22
OA OB +，即可求出定值；
（ⅱ）表示出AOB S =
1
2
AB d ⋅，结合m 的取值范围及基本不等式，求出S 取得最大值时m 的值，进而可求出直线方程.
试题解析：（1）由题可知： 2a b =，可设椭圆方程为222214x y b b +=，又因椭圆过点13,2⎫⎪⎭，则
2
231
144b b
+=，解得2,1a b ==，所以椭圆方程为2214x y += （2）设直线AB 方程为： (0)y kx m k =+>， ()11,A x y ， ()22,B x y
∵2
(0)AB OA OB AB k k k k =⋅>
∴()()122
121212
kx m kx m y y k x x x x ++=
=
，化简得： ()2
120km x x m ++= ∵A 、O 、B 三点不共线
∴0m ≠ 则()120k x x m ++= ① 由22
{
44
y kx m
x y =++=可得: ()()
222148410k x kmx m +++-=,
由韦达定理可得()
122
2
122
814{
4114km x x k m x x k +=-
+-=
+ ② 且()2216140k m ∆=+-> ③
将②代入①式得： ()280014km k m k k ⎛⎫
-+=> ⎪+⎝⎭
，解得12k =，则()
122122{ 21x x m x x m +=-=- ④ (ⅰ) 22
OA OB +=22221122x y x y +++=
()2
22121212333222444x x x x x x ⎡⎤++=+-+⎣
⎦
将④代入得22
OA OB +=()
2
23422124
m m ⎡⎤⨯-⨯-+⎣⎦=5 (ⅱ) AOB S
=
()
2
21212122111
14222
1m AB d k x x x x x x m k ⋅=+-⋅=+-+=22m m -
由 ③ ④ 可得： ()()
2,00,2m ∈-⋃，则AOB S =
22m m -=
()2
2
21m m
-≤，
当且仅当1m =±时，直线方程为1
12
y x =
±. 点睛：（1）定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现；
（2）在圆锥曲线中研究最值，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.
7. 【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018届高三上学期9+1联考】如图，在平面直角坐标系
xOy 中，设点()00,M x y 是椭圆C ： 2212x y +=上一点，从原点O 向圆M ： ()()220023
x x y y -+-=
作两条切线分别与椭圆C 交于点P ， Q ，直线OP ， OQ 的斜率分别记为1k ， 2k .
（1）求证： 12k k 为定值；
（2）求四边形OPMQ 面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析；
(2)1.
())166
2OPMQ S OP OQ OP OQ =
⋅+=+，结合基本不等式即可求出四边形OPMQ 面积的最大值. 试题解析：（1）因为直线OP ： 1y k x =， OQ ： 2y k x =，与圆M 相切， 002
6
1kx y k -=
+1k ， 2k 是方程()2220000326320x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根 ∴20122
03232
y k k x -=-，因为点()00,M x y 在椭圆C 上，所以22
0012x y =-， ∴201220321
322
y k k x -==-
-. （2）（i ）当直线OP ， OQ 不落在坐标轴上时，设()11,P x y ， ()22,Q x y ， 因为12210k k +=，所以
1212210y y x x +=，即222212121
4
y y x x =，
因为()11,P x y ， ()22,Q x y 在椭圆C 上，
所以2222
22
1212
12111224
x x y y x x ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，
整理得22122x x +=，所以22
121y y +=，
所以22
3OP OQ +=.
（ii ）当直线落在坐标轴上时，显然有2
2
3OP OQ +=， 综上： 2
2
3OP OQ +=.
因为()()166236
OPMQ S OP OQ OP OQ =
⋅+⋅=+， 因为()
2226OP OQ OP OQ +≤
+=，
所以OPMQ S 的最大值为1.
点睛：本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的. 8. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三9月基础知识测试】如图，已知抛物线，过直线
上任
一点作抛物线的两条切线，切点分别为
.
（I ）求证：； （II ）求面积的最小值.
【答案】(1)见解析(2) 面积取最小值
试题解析：
（I）设，的斜率分别为
过点的切线方程为
由，得
所以所以
（II）由（I）得，
所以
综上，当时，面积取最小值.
点睛：直线与抛物线相交问题处理规律
(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．
(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．
9. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期测试】如图，已知抛物线的焦点在抛物线
22:1C y x =+上，点
是抛物线上的动点．
（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过点
作抛物线
的两条切线， A 、B 分别为两个切点，求PAB ∆面积的最小值．
【答案】(Ⅰ) 1C 的方程为2
4x y = 其准线方程为1y =-；(Ⅱ)2.
联立22
42{ 1y tx t y x =+-=+由韦达定理得12212
4{ 1x x t x x t +=⋅=-，可求得22
116124AB t t =++． 进而求得点P 到直线AB 的距离22
116d t
=
+ 则PAB ∆的面积
((
)
3
22
2
2
1
231
312312
S AB d t t t ==++=+所以当0t =时， S 取最小值为2。

即PAB ∆面积的最小值
为2.．
试题解析：（Ⅰ） 1C 的方程为2
4x y = 其准线方程为1y =-．
（Ⅱ）设22P t t （，）， ()11,A x y ， ()22,B x y ，
则切线PA 的方程： ()1112y y x x x -=-，即211122y x x x y =-+，又2
111y x =+，
所以1122y x x y =+-，同理切线PB 的方程为2222y x x y =+-， 又PA 和PB 都过P 点，所以211222420{
420
tx y t tx y t -+-=-+-=，
所以直线AB 的方程为2
420tx y t -+-=.
联立22
42{ 1y tx t y x =+-=+得22
410x tx t -+-=，所以12212
4{ 1x x t x x t +=⋅=-。

所以2
2212116116124AB
t
x x t t =+-=++．
点P 到直线AB 的距离222
22
2
82116116t t t d t
t
-+-==
++．
所以PAB ∆的面积()
(
)
32
2
2
2
1231
312312
S AB d t t t ==++=+
所以当0t =时， S 取最小值为2。

即PAB ∆面积的最小值为2.
10. 【浙江省镇海中学2018届高三上学期期中】已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的四个顶点组成的四
边形的面积为22，且经过点21,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若椭圆C 的下顶点为P ，如图所示，点M 为直线2x =上的一个动点，过椭圆C 的右焦点F 的直线l 垂直于OM ，且与C 交于,A B 两点，与OM 交于点N ，四边形AMBO 和ONP ∆的面积分别为12,S S .求
12S S 的最大值.
【答案】（1
）2212
x y +=；（2）()12max 2
2S S =.
（2）先确定面积计算方法： 112S OM AB =
⨯， 21
12
N S x =⨯⨯，再确定计算方向：设()2,M t ，根据 两点间距离公式求OM ，根据两直线交点求N 点横坐标，再根据直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理求弦长AB ，最后根据12S S 表达式形式，确定求最值方法（基本不等式求最值） 试题解析： （1）因为21,
2⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
在椭圆C 上，所以2211
12a b +=， 又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为22，所以
1
2222,22
a b ab ⨯⨯==， 解得2
2
2,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2
212
x y += （2） 由（1）可知()1,0F ，设()()()11222,,,,,M t A x y B x y ， 则当0t ≠时， :2t OM y x =，所以2AB k t
=-， 直线AB 的方程为()2
1y x t
=-
-，即()2200x ty t +-=≠， 由()222
1{
220
y x t
x y =-
-+-=得()222816820t x x t +-+-=， 则()(
)()()
2
2
2
4
2164882840t
t t
t ∆=--+-=+>，
2
121222
1682,88t x x x x t t
-+==++， )2
22222244224188t t t AB t t t
++=+=++，
又2
4OM t =+，所以()(
)222
2122
2242441142288t t t S OM AB t t t +++=⨯=+⨯=
++， 由()2
1{
2
y x t
t y x
=-
-=，得244N X t =+，所以222
1421244S t t =⨯⨯=++， 所以()
222122
22
224
4
22242228444
t t t S S t t t t +++=
⨯==<++++
+，
当0t =，直线:1l x =， 2AB =
， 112222S =⨯⨯=， 211
1122S =⨯⨯=， 1222S S =，
所以当0t =时， ()12max 2
2
S S =
. 点睛： 在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
11. 【浙江省镇海中学2018届高三上学期期中】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2
:2C x py =的焦点为()0,1F ，过O 作斜率为k 的直线l 交抛物线于A （异于O 点），已知()0,5D ，直线AD 交抛物线于另一点B .
（1）求抛物线C 的方程； （2）OA BF ⊥，求k 的值. 【答案】(1) 2
:4C x y =;(2) 5
2
k =±
.
试题解析： （1）由题意，
12
P
=，所以2p =，所以抛物线2:4C x y = （2）已知直线:OA y kx =代入抛物线方程： 2
4x y =，消去y ， 240x kx -=，得()
24,4A k k ；
245,k 04AD
k k k
-=≠.
直线245:54k AB y x k -=
+，代入抛物线方程： 2
4x y =， 22452004k x x k ---=，得2525,4B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
. ()
22
5
254,4,,14OA k k BF k
k ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
. 由OA BF ⊥得2
204250OA BF k =+-=，解得52
k =±
. 12. 【浙江省温州市2018届高三9月高考适应测试（一模）】已知抛物线：（
），焦点为，
直线交抛物线于
，
两点，
为
的中点，且
．
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）根据抛物线的定义知，，∵，
∴，
∴．
（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，∵，即，
∴，即，
∴，
∴，
，
，
，
∴，
令，，则．
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求解的. 13. 【浙江省清源中学2018届高三9月月考】已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点
(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若y 轴上存在一点()0,(0)M m m >，使线段AB 经过点M 时，以AB 为直径的圆经过原点，求m 的值；
（3）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ∆面积的最小值.
【答案】（1）2
4x y =；（2）4m =；（3）最小值为16.
（3）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2
2
2,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 233,4x C x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，根据抛物线关于y 轴对称，取10x ≥，记1AB k k =， 2AD k k =，则有21
14x x k +=
， 3124
x x k +=，所以2114x k x =-， 3214x k x =-， 121k k ⋅=-，由
AB AD =
，即221
212
3111k x x k x x +⋅-=+⋅-，进而化简求出1x ，得： 3112
11
44
22k x k k -=+， ()
2
222
1121
14411||122ABD
k S AB k k k ∆⎛⎫+=⋅=⨯+⨯ ⎪+⎝⎭，即可求得△ABD 面积的最小值． 试题解析：
（1）设抛物线的方程为2
2x py =，抛物线的焦点为F ，则322
p
QF ==+，所以1p =， 则抛物线C 的方程为2
4x y =.
（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，要使以AB 为直径的圆经过原点，则只需0OA OB ⋅=即可，
联立方程24{ x y
y kx m
==+ 2440x kx m ⇒--=，则124x x k +=， 124x x m =-，
()221212121212OA OB x x y y x x k x x km x x m ⋅=+=++++ 2224440m k m k m m =--++=，
解得： 4m =. （3）如图所示，
设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2
2
2,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
233,4x C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，根据抛物线关于y 轴对称，取10x ≥，记1AB k k =， 2AD k k =， 则有21
14x x k +=
， 3124
x x k +=，所以2114x k x =-， 3214x k x =-， 121k k ⋅=-， 又因为ABD ∆是以A 为顶点的等腰直角三角形，所以AB AD =， 2
2
12123111k x x k x x +-=+-，将23,x x 代入得：
22
111222142142k k x k k x +-=+-
进而化简求出1x ，得： 3112
11
4422k x k k -=+，。