2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价四向量的数乘运算新人教A版必修

课时素养评价 四
向量的数乘运算
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分.共16分.多项选择题全选对的得4分.选对但不全的得2分.有选错的得0分)
1.(多选题)向量a=2e.b=-6e.则下列说法正确的是( )
A.a∥b
B.向量a.b方向相反
C.=3|b|
D.b=-3a
【解析】选A.B.D.
因为b=-6e=-3=-3a.
所以a∥b.a.b方向相反.且3=|b|.
2.(20xx·青岛高一检测)在△ABC中.点D在直线CB的延长线上.且=4=
r-s.则s+r= ( )
A.0
B.
C.
D.3
【解析】选C.由题意得.=4.
所以=.
因为=-.所以==-.所以r=s=.所以s+r=.
3.已知向量a.b.且=a+2b.=-5a+6b.=7a-2b.则一定共线的三点是
( ) A.A.B.D B.A.B.C
C.B.C.D
D.A.C.D
【解析】选A.=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2.所以.A.B.D三点一定共线.
4.(20xx·临沂高一检测)点P是△ABC所在平面内一点.若=λ+.其中λ∈R.则点P一定在( )
A.△ABC内部
B.AC边所在的直线上
C.AB边所在的直线上
D.BC边所在的直线上
【解析】选B.因为=λ+.
所以-=λ.
所以=λ.所以P.A.C三点共线.
所以点P一定在AC边所在的直线上.
二、填空题(每小题4分.共8分)
5.如图正方形ABCD中.点E是DC的中点.点F是BC上靠近C的三等分点.则
=________(用向量.表示).
【解析】=+=+
=-.
答案：-
6.已知向量a.b是两个非零向量.在下列条件中.能使a.b共线的是________.(填序号)
①2a-3b=4e.且a+2b=-3e；②存在相异实数λ.μ.使λa+μb=0；
③x a+y b=0(实数x.y满足x+y=0)；④已知在梯形ABCD中.=a.=b.
【解析】由①得.10a-b=0.故满足条件；②显然满足条件；对于③.当x+y=0时.a.b不一定共线；④中.若AB∥CD.则a.b共线.若AD∥BC.则a.b不共线.
答案：①②
三、解答题(共26分)
7.(12分)设两个不共线的向量e1.e2.若向量a=2e1-3e2.b=2e1+3e2.向量c=2e1-9e2.问是否存在这样的实数λ.μ.使向量d=λa+μb与向量c共线？
【解析】因为d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2.要使d与c共线.则存在实数k使d=k·c.即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2
=2k e1-9k e2.
由
得λ=-2μ.故存在这样的实数λ和μ.
只要λ=-2μ.就能使d与c共线.
8.(14分)已知e.f为两个不共线的向量.若四边形ABCD满足=e+2f.=-4e-f.=
-5e-3f.
(1)用e.f表示.
(2)证明四边形ABCD为梯形.
【解析】(1)由题意.有=++=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f.
(2)由(1)知=-8e-2f=2(-4e-f)=2.即=2.
根据数乘向量的定义.与同方向.且的长度为的长度的2倍.所以在四边形ABCD中.AD∥BC.且AD≠BC.所以四边形ABCD为梯形.
(15分钟·30分)
1.(4分)(20xx·怀化高一检测)已知△ABC的三个顶点A.B.C及平面内一点P.满足++
=.则点P与△ABC的关系为( )
A.P在△ABC内部
B.P在△ABC外部
C.P在AB边所在直线上
D.P是AC边的三等分点
【解析】选D.因为=-.
所以++=-.
即2+=0.
即=2.
故=.所以P是AC边的一个三等分点.
2.(4分)O是平面上一定点.A.B.C是平面上不共线的三个点.动点P满足=+λ
.λ∈(0.+∞).则P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
【解析】选C.设BC的中点为M.则=.则有=+λ.即=λ.所以P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.
3.(4分)已知平面上不共线的四点O.A.B.C.若-3+2=0.则=_______ .
=________.
【解析】因为-3+2=0.
所以-=2(-).
所以=2.所以=2.
答案：2 2
4.(4分)过△OAB的重心G的直线与边OA.OB分别交于点P.Q.设=h·.=k·.
则+=________.
【解析】连接OG并延长OG交边AB于点M.
则点M为AB边的中点.
所以===+.又=.所以=
+.因为P.Q.G三点共线.且.是不共线的向量.所以+=1.即+=3.
答案：3
5.(14分)如图.在平行四边形ABCD中.点M是AB的中点.点N在BD上.且BN=BD.求证：M.N.C三点共线.
【证明】=-.
因为=.==(+).
所以=+-
=-①.
=-=-②.
由①、②可知=3.即∥.
又因为MC.MN有公共点M.所以M.N.C三点共线.。