2020_2021学年高中数学课时素养评价一1.1回归分析含解析北师大版选修1_2

课时素养评价一回归分析
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.工人月绩效工资y(单位:元)关于劳动生产率x(单位:千元)的回归方程为y=650+80x,下列说法中正确的个数是( )
①劳动生产率为1 000元时,绩效工资为730元;
②劳动生产率提高1 000元,则绩效工资提高80元;
③劳动生产率提高1 000元,则绩效工资提高730元;
④当月绩效工资为810元时,劳动生产率约为2 000元.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.代入方程计算可判断①②④正确.
【补偿训练】
若线性回归方程中的回归系数b=0,则相关系数为( )
A.r=1
B.r=-1
C.r=0
D.无法确定
【解析】选C.当b=0时,即错误!未找到引用源。

=0
⇒错误!未找到引用源。

x i y i-n错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

=0,
所以r=错误!未找到引用源。

=0.
2.某化工厂为预测某产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系,现取了8对观测值,计算得错误!未找到引用源。

x i=52,错误!未找到引用源。

y i=228,错误!未找到引用源。

=478,错误!未找到引用源。

x i y i=1 849,则y与x的线性回归方程是( )
A.y=11.47+2.62x
B.y=-11.47+2.62x
C.y=2.62+11.47x
D.y=11.47-2.62x
【解析】选A.由题中数据得错误!未找到引用源。

=6.5,错误!未找到引用源。

=28.5,
所以b=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

≈2.62,
a=错误!未找到引用源。

-b错误!未找到引用源。

≈28.5-2.62×6.5=11.47,
所以y与x的线性回归方程是y=2.62x+11.47.
3.对两个变量x,y进行线性回归分析,计算得到相关系数r=-0.996 2,则下列说法中正确的是
( )
A.x与y正相关
B.x与y具有较强的线性相关关系
C.x与y几乎不具有线性相关关系
D.x与y的线性相关关系还需进一步确定
【解析】选B.x与y负相关,|r|非常接近1,所以相关性很强.
4.对于指数曲线y=ae bx,令U=ln y,c=ln a,经过非线性回归分析后,可转化的形式为( )
A.U=c+bx
B.U=b+cx
C.y=c+bx
D.y=b+cx
【解析】选A.由y=ae bx得ln y=ln(ae bx),
所以ln y=ln a+ln e bx,
所以ln y=ln a+bx,所以U=c+bx.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售市场,以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位:千箱)与单位成本的资料进行线性回归分析,结果如下:
错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

=71,错误!未找到引用源。

=79,错误!未找到引用源。

x i y i=1 481.
b=错误!未找到引用源。

≈-1.818 2,
a=71-(-1.818 2)×错误!未找到引用源。

≈77.36,
则销量每增加1 000箱,单位成本下降________元.
【解析】由题意可得,y=-1.818 2x+77.36,销量每增加1千箱,则单位成本下降1.818 2元.
答案:1.818 2
6.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入x i(单位:千元)与月储蓄y(单位:千元)的数据资料,算得错误!未找到引用源。

x i=80,错误!未找到引用源。

y i=20,错误!未找到引用源。

x i y i=184,错误!未找到引用源。

=720,家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a,若该居民区某家庭的月储蓄为2千元,预测该家庭的月收入为________千元.(附:线性回归方程y=bx+a中,b=错误!未找到引用源。

,a=错误!未找到引用源。

-b错误!未找到引用源。

) 【解析】由题意知,n=10,错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

x i=8,
错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

y i=2,
b=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=0.3,
a=错误!未找到引用源。

-b错误!未找到引用源。

=2-0.3×8=-0.4.
所以线性回归方程为y=0.3x-0.4,
当y=2时,x=8.
答案:8
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.测得某10对父子体重(单位:kg)如下:
对变量y与x进行相关性检验.
【解析】错误!未找到引用源。

=66.8,错误!未找到引用源。

=67.01,
错误!未找到引用源。

x i y i=44 842.4.
错误!未找到引用源。

=44 794,错误!未找到引用源。

=44 941.93.
r=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

≈0.980 4.
r的值接近于1,所以y与x之间具有较强的线性相关关系.
8.某商场经营一批进价是30元/台的小商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x(x取整数)(元)与日销售量y(台)之间有如下关系:
(1)画出散点图,并判断y与x是否具有线性相关关系.
(2)求日销售量y对销售单价x的线性回归方程(方程的斜率保留一个有效数字).
(3)设经营此商品的日销售利润为P元,根据(2)写出P关于x的函数关系式,并预测当销售单价x 为多少元时,才能获得最大日销售利润.
【解析】(1)散点图如图所示,从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近,因此两个变量具有线性相关关系.
(2)因为错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

×(35+40+45+50)=42.5,
错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

×(56+41+28+11)=34,错误!未找到引用源。

x i y i=35×56+40×41+45×28+50×11=5 410,
错误!未找到引用源。

=352+402+452+502=7 350,
所以b=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

≈-3.所以a=错误!未找到引用源。

-b错误!未找到引用源。

=34-(-3)×42.5=161.5.
所以y=161.5-3x.
(3)依题意有P=(161.5-3x)(x-30)
=-3x2+251.5x-4 845
=-3错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

-4 845.
所以当x=错误!未找到引用源。

≈42时,P有最大值,约为426元.
故预测当销售单价为42元时,能获得最大日销售利润.
(15分钟·30分)
1.(5分)散点图在回归分析中的作用是( )
A.查找个体个数
B.比较个体数据大小关系
C.探究个体分类
D.粗略判断变量是否相关
【解析】选D.散点图的作用是粗略判断两变量是否相关.
2.(5分)某同学根据一组x,y的样本数据,求出线性回归方程y=bx+a和相关系数r,下列说法正确的是( )
A.y与x不是函数关系
B.y与x是函数关系
C.r只能大于0
D.|r|越接近1,两个变量相关关系越弱
【解析】选B.由两变量x,y具有线性相关关系,可知y与x是函数关系,故A错误;求出线性回归方程y=bx+a,其中y与x是函数关系,故B正确;相关系数可能大于0,也可能小于0,故C错误;|r|越接近1,两个变量相关关系越强,故D错误.
3.(5分)某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据:
若x与y具有线性相关关系,则线性回归方程为__________.
【解析】错误!未找到引用源。

x i y i=6×2+8×3+10×5+12×6=158,错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=9,错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=4,
错误!未找到引用源。

=62+82+102+122=344,
b=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=0.7,
a=错误!未找到引用源。

-b错误!未找到引用源。

=4-0.7×9=-2.3,
故线性回归方程为y=0.7x-2.3.
答案:y=0.7x-2.3
4.(5分)某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系,随机统
计了连续四旬的销售量与当旬平均气温,其数据如表:
由表中数据算出线性回归方程y=bx+a中的b=-2,样本中心点为(10,38).
(1)表中数据m=________.
(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃,据此估计,该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为________.
【解析】(1)由错误!未找到引用源。

=38,得m=40.
(2)由a=错误!未找到引用源。

-b错误!未找到引用源。

得a=58,
故y=-2x+58,当x=22时,y=14,
故三月中旬的销售量约为14件.
答案:(1)40 (2)14件
5.(10分)某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示:
(1)试建立y与x之间的回归方程.
(2)如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高175 cm、体重82 kg的在校男生体重是否正常?
【解析】(1)根据题表中的数据画出散点图如图所示.
由图可看出,样本点分布在某条指数函数曲线y=c1错误!未找到引用源。

的周围,于是令z=ln y,得下表:
x 60 70 80 90 100 110
z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86
x 120 130 140 150 160 170
z 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01
作出散点图如图所示:
由表中数据可得z与x之间的回归直线方程为
z=0.692 7+0.020x,则有y=e0.692 7+0.020x.
(2)当x=175时,预报平均体重为y=e0.6 927+0.020×175≈66.2,
因为66.2×1.2=79.44<82,所以这个男生偏胖.
1.“关注夕阳,爱老敬老”——某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.表
中记录了第x年(2013是第一年)与捐赠的现金y(万元)的对应数据,由此表中的数据得到了y 关于x的线性回归方程y=mx+0.35,则预测2019年捐赠的现金大约是( )
A.5万元
B.5.2万元
C.5.25万元
D.5.5万元
【解析】选C.由已知得,错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=4.5,
错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=3.5,所以样本中心点的坐标为(4.5,3.5),代入y=mx+0.35,得 3.5=4.5m+0.35,即m=0.7,所以y=0.7x+0.35,取x=7,得y=0.7×7+0.35=5.25.
预测2019年捐赠的现金大约是5.25万元.
2.已知某校5个学生的数学和物理成绩如表所示:
(1)假设在对这5名学生成绩进行统计时,把这5名学生的物理成绩搞乱了,数学成绩没出现问题,问:恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少?
(2)通过大量事实证明发现,一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系,在上述表格是正确的前提下,用x表示数学成绩,用y表示物理成绩,求y与x的回归方程.
(3)利用残差分析回归方程的拟合效果,若残差和在(-0.1,0.1)X围内,则称回归方程为“优拟方程”,问:该回归方程是否为“优拟方程”?
参考数据和公式:y=bx+a,其中b=错误!未找到引用源。

,
a=错误!未找到引用源。

-b错误!未找到引用源。

;错误!未找到引用源。

x i y i=23 190,错误!未找到引用源。

=24 750,残差和公式:错误!未找到引用源。

[y i-(a+bx i)].
【解析】(1)记事件A为“恰有2名学生的物理成绩是自己的实际成绩”,
则P(A)=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
(2)因为错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=70,
错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=66,
b=错误!未找到引用源。

=0.36,
a=66-0.36×70=40.8,
所以回归直线方程为
y=0.36x+40.8.
(3)x1=80,y1=69.6,
x2=75,y2=67.8.
x3=70,y3=66.
x4=65,y4=64.2.
x5=60,y5=62.4.
错误!未找到引用源。

[y i-(a+bx i)]=(70-69.6)+(66-67.8)+(68-66)+(64-64.2)+(62-62.4)=0.4+
(-1.8)+2-0.2-0.4=0.
因为0∈(-0.1,0.1),
所以该方程为“优拟方程”.。