云南省沾益县第一中学2016-2017学年高二下学期第二次

沾益区一中高二（下）第二次月考理科数学试卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合2{|20}A x x x =-≤，{0,1,2,3}B =，则A
B =
(A) {1
2}， (B) {012}，， (C) {1} (D) {123}，， 2．已知复数z 满足(21)2z i +=，则z = (A)12i -- (B) 1
2
i -
+ (C) 12i -- (D)
12
i - 3．已知向量(1,2),(1,1)a b =-=-，则()a b a -⋅=
(A) 8 (B)5 (C) 4 (D) 4- 4．若方程()20f x -=在区间(0,)+∞有解，则函数()y f x =的图象可能是
5．在等差数列{}n a 中，已知35710132,9,a a a a a +=++=则此数列的公差为 (A)
31 (B)3 (C) 1
2
(D) 16 6．利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数a ，则不等式ln(31)0a -<成立的概率是
(A) 1
2
(B)2
3
(C) 31 (D)14
7．抛物线2
8y x =的焦点到双曲线2
2
13
y x -=的渐近线的距离是
(A) 12 (B)3
2 (C) 1 (D) 3
8．函数2
2()cos ()cos ()44
f x x x ππ
=-
-+的最大值和最小正周期分别为
(A)1,2π (B) 1,π (C) 1,22π (D)1,2
π
9．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，图1是描 述汽车价值变化的算法流程图，则当4n =时，最后输出的S 为
i =1
输入S =15
否i =i +1
开始结束
输出S
i >n ？S ＝S (1-20%)
是
图1
(A)9.6 (B)7.68 (C)6.144 (D)4.9152 10．已知棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1D 1在一半球底 面上，且A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为
(A)
(B)
(C)
(D) 11．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线
PF 与C 的一个交点，若20FP FQ +=，则||QF =
(A)3 (B)4 (C)6 (D)8
12．若关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)π内有两个不同的实数解,则实数m 的取值范围为
(A) 4m >或4m <- (B)45m << (C)48m << (D)5m >或4m = 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．设,x y 满足不等式组60
200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨
⎪≥⎩
，则2z x y =-+的最小值为 .
14．已知等差数列{}n a 中，570
sin a a xdx π
+=⎰
，
则4
68a a a ++= .
15．某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的
16．已知A,B 是椭圆22221x y a b +=和双曲线22
221x y a b
-=
的公共顶点，其中0a b >>，P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点（P,M 都异于A,B ），且满足()PA PB MA MB λ+=+（R λ∈），设直线AP,BP,AM,BM 的斜率分别为1234,,
,k k k k ，若12k k +34k k += .
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知函数()2
cos22sin 2sin f x x x x =++．
（Ⅰ）将函数()2f x 的图像向右平移6π个单位得到函数()g x 的图像，若,122x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 求函数()g x 的值域；
1
11
2正视图
俯视图
侧视图
x
15题图
（Ⅱ）已知c b a ,,分别为ABC ∆中角A,B,C 的对边，且满足()1f A ，
⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πA ，2a b ==，求ABC ∆的面积．
18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，公差0d ≠．且3542a S +=， 1413
,,a a a 成等比数列 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若n S 表示数列{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
19．（本小题满分12分）
据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：
（Ⅰ）已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA=BC=1，AB=2, M 为PC 中点.
（Ⅰ）在图中作出平面ADM 与PB 的交点N ，并指出点N 所在位置（不要求给出理由）； （Ⅱ）在线段CD 上是否存在一点E ，使得直线AE 与平面ADM 所成角的正弦值为10
10
，若存在，请说明点E 的位置；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求二面角A--MD--C 的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知O 为坐标原点，抛物线2
:(0)C y nx n =>在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为
5
2
，曲线C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，直线1l 经过点Q 且垂直于x 轴. （Ⅰ）求线段OQ 的长；
（Ⅱ）设不经过点P 和Q 的动直线2:l x my b =+，交曲线C 于点A 和B ，交1l 于E ，若直线PA,PE,PB 的斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由．
A
B C
D
M P
22．（本小题满分12分）
已知函数(1)
()l n
,b x f x a x x
+=+ 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为2.y =
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）当0x >且1x ≠时，求证：(1)ln ().1
x x
f x x +>-
沾益区一中高二（下）第二次月考数学试卷答案
一、选择题：BCADAC DBCACD
二．填空题:13. 【答案】-6 14. 【答案】3 15. 【答案】 2 16. 【答案】三．解答题
17．（Ⅰ）解：因为()2cos22sin 2sin f x x x x =++，
所以()222cos sin 2sin 2sin f x x x x x =-++ ………………………………………….1分
22cos sin 2sin x x x =++12sin x =+
所以(2)12sin 2f x x =+ ……………………………………………………2分 因为函数()2f x 的图像向右平移6
π
个单位得到函数()g x 的图像 所以()2sin[2()]16
g x x π
=-+ ……………………………………………………..3分
即()2sin(2)13
g x x π
=-+ ……………………………………………….. ……4分
因为,122x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
所以1
sin(2)[,1]32
x π
-
∈-，所以()[0,3]g x ∈ 所以函数的值域为()[0,3]g x ∈ …………………………………………………6分
（Ⅱ）解：因为()1f A =
所以sin 2
A =，因为(0,)2A π∈ …………………………………………………..……7分
所以1
cos 2
A =
…………………………………………………………………8分
又222
cos 2b c a A bc
+-=，a =，2b = …………………………………...……10分
所以4c = …………………………………………………………..……11分
所以ABC ∆面积1
sin 2
ABC S bc A ∆=
= ……………………………………………12分 （运用正弦定理求出，也同样给分）
18. （Ⅰ）解：设数列{}n a 的首项1a ……1分
因为等差数列{}n a 的前n 和为n S ，3542a S +=，1413,,a a a 成等比数列．
所以112111
5425422
(3)(12)a d a d a d a a d ⨯⎧
+++
=⎪⎨⎪+=+⎩ ……3分 又公差0d ≠所以13,2a d == ……5分 所以1(1)21n a a n d n =+-=+ ……6分
19、
（Ⅰ）解：因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,
19. （Ⅰ）解：作PB 的中点N ，连接MN ，如图，（在图中画出）因此，N 为PB 的中点.
……2分
（Ⅱ）因为四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，以A 为坐标原点，以直线AB ,AD ,AP 所在直线建立空间直角坐标系如图所示：则
(0,0,0)
(0,0,1)(0,1,0)(2,1,0)
11
(1,,)
22
A P D C M ………………………4分 设在线段CD 上存在一点(,1,0)E x ，则(,1,0)AE x = …………………… ……5分 设直线AE 与平面AMD 所成角为θ，平面AMD 的法向量为(,,)u x y z =， 则,u AM u AD ⊥⊥
即110220
x y z y ⎧
+
+=⎪⎨⎪=⎩令2z =，则(1,0,2)u =- ……………7分 则||10
sin ||||AE u AE u θ⋅=
=
1x = 所以在线段CD 上存在中点E ，
使得直线AE 与平面AMD 所成角的正弦值为
10
…………………………8分
（Ⅲ）设平面CMD 的法向量'''(,,)v x y z =，则,v CM v CD ⊥⊥
'''
'1102220x y z x ⎧--+=⎪⎨
⎪-=⎩
令'1z =-，则'
1y =-，所以(0,1,1)v =-- ……….……10分
所以10
cos 5||||
v u v u φ⋅=
=- 所以二面角A MD C --的平面角的余弦值为5
-
………………………..……12分 20. （Ⅰ）解：由抛物线2:(0)C y nx n =>在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为
52
得 5
242
n +
=，所以2n =，故抛物线方程为22y x =，
(2,2)P (2)
分 所以曲线C 在第一象限的图像对应的函数解析式为y =
'y =
..……4分 故曲线C 在点P 处的切线斜率1
2
k =
=，切线方程为：12(2)2y x -=-
令0y =得2x =-，所以点(2,0)Q - …………………………………………5分 故线段2OQ = ……………………………………………………6分 （Ⅱ）解：由题意知1:2l x =-，因为2l 与1l 相交，所以0m ≠ 设2:l x my b =+，令2x =-，得2b y m +=-
，故2
(2,)b E m
+--
………….……7分 设1122(,),(,)A x y B x y ，由22x my b
y x
=+⎧⎨=⎩消去x 得：2220y my b --=
则12122,2y y m y y b +==- ………………………………………..……9分 直线PA 的斜率为
112111222
22
22
y y y x y --==-+-， 同理直线PB 的斜率为
22
2
y +, 直线PE 的斜率为2
24
b m ++
………….……10分 因为直线,,PA PE PB 的斜率依次成等差数列
所以
122y ++22
2
y +=2224
b m ++
即
22
222b b m b m
++=-+ …………………………………………………………..…11分
因为2l 不经过点Q ，所以2b ≠- 所以222m b m -+=，即2b =
故2:2l x my =+，即2l 恒过定点(2,0) ……………………………………………12分 21.解：（Ⅰ）∵2(),a b
f x x x
'=
-----------------------------------------------------1分 由直线2y =的斜率为0，且过点(1,2)
得(1)2,
1(1),2
f f =⎧⎪
⎨'=⎪⎩即1,0,b a b =⎧⎨
-=⎩------------------------------------------------------3分 解得1, 1.a b ==-----------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）当1x >时，不等式(1)ln 1
()2ln 0.1x x f x x x x x
+>
⇔-->---------------------------6分
当01x <<时，不等式(1)ln 1
()2ln 0.1x x f x x x x x
+>⇔--<------------------------------7分
令222
11221
()2ln ,()1,x x g x x x g x x x x x -+'=--=+-=
∴当0x >时，()0,g x '≥ 所以函数()g x 在(0,)+∞单调递增，------------------------9分
当1x >时，()(1)0,g x g >=故(1)ln ()1
x x
f x x +>
-成立------------------------------10分
当01x <<时，()(1)0,g x g <=故(1)ln ()1
x x
f x x +>-也成立-------------------------11分
所以当0x >且1x ≠时，不等式 总成立----------------------------12分。