相似三角形的性质 课件
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2
=k,即 =k,所以 =k.
''
'
2'
因为☉O 的周长为 2π·
OD,☉O'的周长为 2π·
O'D',
☉的周长
所以
=k.
☉'的周长
2
2
因为☉O 的面积=π(OD) ,☉O'的面积=π(O'D') ,
☉的面积
=
所以
☉'的面积
于是结论得证.
2
''
2
2 =k .
探究一 相似的问题
等于相似比的平方.下面给出这个结论的证明.
已知△ABC∽△A'B'C',☉O 和☉O'分别为△ABC 和△A'B'C'的内切圆,
相似比为 k.
2
求证:☉O 和☉O'的直径比为 k,周长比为 k,面积比为 k .
证明:连接 O 和切点 D,O'和切点 D',
所以 OD⊥AB,O'D'⊥A'B'.
连接 OA,OB,O'A',O'B'.
周长比等于相似比
外接(内切)圆的面积
比等于相似比的平方
2.两个相似三角形外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于
相似比的平方.
思考 2 两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比
与相似比有怎样的关系?并试着证明.
提示:两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比等于相似比,面积比
在相似三角形中,与相似比相等的有:对应高的比,对应中线的比,对应
角平分线的比、周长的比,外接(内切)圆的半径比、直径比、周长比,常利用
比相等列方程来解决问题.
【典型例题 1】 已知△ABC∽△A'B'C',△ABC 的周长为 60 cm,△A'B'C'
的周长为 72 cm,AB=15 cm,B'C'=24 cm,求:
相似三角形的性质
1.相似三角形的性质定理
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于
相似比.
(2)相似三角形周长的比等于相似比.
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
思考 1 相似三角形与全等三角形的性质有哪些不同?
提示:如下表所示.
全等三角形
对应边相等
对应角相等
对应中线相等
因为△ABC∽△A'B'C',所以∠BAC=∠B'A'C'.
1
2
1
2
又∠DAO= ∠BAC,∠D'A'O'= ∠B'A'C',
所以∠DAO=∠D'A'O'.
同理∠DBO=∠D'B'O'.
所以△AOB∽△A'O'B',相似比为 k.
因为 OD,O'D'分别为△AOB 和△A'O'B'的高,
所以
∴AC·
BC=AB·
CM.
∴CM=
·
=
4×3
5
=
12
.
5
∵DE∥AB,∴△CDE∽△CBA.
12
-x
5
∴ = ,即 12
5
5
60
37
= .∴x= .
如图(2),设正方形 CDEF 的边长为 y m.
图(2)
∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.
∴ =
4-
∴AC=60-AB-BC=60-15-20=25(cm).
同理可得 A'C'=30 cm.
cm.
5
6
= .
探究二 面积比问题
转化思想在数学解题中有着广泛的应用,关键是利用转化思想把三角
形的面积比与相似比进行转化.
【典型例题 2】 如图所示,已知 D 是△ABC 中 AB 边上一点,DE∥BC
且交 AC 于点 E,EF∥AB 且交 BC 于点 F,且 S△ADE=1,S△EFC=4,则四边形 BFED
(1)BC,A'B';
(2)AC,A'C'.
思路分析:由周长的比得到相似比,再利用相似比解决.
''
解:∵△ABC∽△A'B'C',∴
=
60
=
''
72
15
5
= ,∴A'B'=18
''
6
(1)∵AB=15 cm,∴
24
5
6
∵B'C'=24 cm,∴ = ,∴BC=20 cm.
(2)∵AB+BC+AC=60 cm,
的面积等于多少?
思路分析:由平行关系推导出△ADE∽△EFC,根据面积比得到对应边
的比,再利用相似比转化解决.
解:因为 AD∥EF,DE∥FC,
所以△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,
所以△ADE∽△EFC.
又因为 S△ADE∶
S△EFC=1∶
4,
所以 AE∶
EC=1∶
2.所以 AE∶
AC=1∶
,即
4
3
12
7
= .∴y= .
∵x2<y2,故按第(2)种方法裁剪时正方形面积最大,且最大面积为
144 2
m.
49
对应角平分线相等
对应高相等
周长相等
面积相等
外接(内切)圆
的直径相等
外接(内切)圆
的周长相等
外接(内切)圆
的面积相等
相似三角形
对应边成比例
对应角相等
对应中线的比等于相似比
对应角平分线的比等于相似比
对应高的比等于相似比
周长比等于相似比
面积比ห้องสมุดไป่ตู้于相似比的平方
外接(内切)圆的
直径比等于相似比
外接(内切)圆的
3.
所以 S△ADE∶
S△ABC=1∶
9.
因为 S△ADE=1,所以 S△ABC=9.
所以 S 四边形 BFED=S△ABC-S△ADE-S△ EFC=9-1-4=4.
探究三 实际应用问题
此类问题是利用数学模型解实际问题,关键在于认真分析题意转化成
数学问题,构造相似三角形求解.
【典型例题 3】 如图所示,已知一块直角三角形木板的三边 AB=5
m,BC=3 m,AC=4 m,一加工车间要把它加工成一块面积最大的正方形木板.
如何设计才能使木板的面积最大,并求出最大面积.
解:如图(1)所示,设正方形 DEFG 的边长为 x m.
图(1)
1
2
1
2
过点 C 作 CM⊥AB 于 M,交 DE 于 N,因此 S△ABC= AC·
BC= AB·
CM.
=k,即 =k,所以 =k.
''
'
2'
因为☉O 的周长为 2π·
OD,☉O'的周长为 2π·
O'D',
☉的周长
所以
=k.
☉'的周长
2
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因为☉O 的面积=π(OD) ,☉O'的面积=π(O'D') ,
☉的面积
=
所以
☉'的面积
于是结论得证.
2
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2 =k .
探究一 相似的问题
等于相似比的平方.下面给出这个结论的证明.
已知△ABC∽△A'B'C',☉O 和☉O'分别为△ABC 和△A'B'C'的内切圆,
相似比为 k.
2
求证:☉O 和☉O'的直径比为 k,周长比为 k,面积比为 k .
证明:连接 O 和切点 D,O'和切点 D',
所以 OD⊥AB,O'D'⊥A'B'.
连接 OA,OB,O'A',O'B'.
周长比等于相似比
外接(内切)圆的面积
比等于相似比的平方
2.两个相似三角形外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于
相似比的平方.
思考 2 两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比
与相似比有怎样的关系?并试着证明.
提示:两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比等于相似比,面积比
在相似三角形中,与相似比相等的有:对应高的比,对应中线的比,对应
角平分线的比、周长的比,外接(内切)圆的半径比、直径比、周长比,常利用
比相等列方程来解决问题.
【典型例题 1】 已知△ABC∽△A'B'C',△ABC 的周长为 60 cm,△A'B'C'
的周长为 72 cm,AB=15 cm,B'C'=24 cm,求:
相似三角形的性质
1.相似三角形的性质定理
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于
相似比.
(2)相似三角形周长的比等于相似比.
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
思考 1 相似三角形与全等三角形的性质有哪些不同?
提示:如下表所示.
全等三角形
对应边相等
对应角相等
对应中线相等
因为△ABC∽△A'B'C',所以∠BAC=∠B'A'C'.
1
2
1
2
又∠DAO= ∠BAC,∠D'A'O'= ∠B'A'C',
所以∠DAO=∠D'A'O'.
同理∠DBO=∠D'B'O'.
所以△AOB∽△A'O'B',相似比为 k.
因为 OD,O'D'分别为△AOB 和△A'O'B'的高,
所以
∴AC·
BC=AB·
CM.
∴CM=
·
=
4×3
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=
12
.
5
∵DE∥AB,∴△CDE∽△CBA.
12
-x
5
∴ = ,即 12
5
5
60
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= .∴x= .
如图(2),设正方形 CDEF 的边长为 y m.
图(2)
∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.
∴ =
4-
∴AC=60-AB-BC=60-15-20=25(cm).
同理可得 A'C'=30 cm.
cm.
5
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= .
探究二 面积比问题
转化思想在数学解题中有着广泛的应用,关键是利用转化思想把三角
形的面积比与相似比进行转化.
【典型例题 2】 如图所示,已知 D 是△ABC 中 AB 边上一点,DE∥BC
且交 AC 于点 E,EF∥AB 且交 BC 于点 F,且 S△ADE=1,S△EFC=4,则四边形 BFED
(1)BC,A'B';
(2)AC,A'C'.
思路分析:由周长的比得到相似比,再利用相似比解决.
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解:∵△ABC∽△A'B'C',∴
=
60
=
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72
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= ,∴A'B'=18
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6
(1)∵AB=15 cm,∴
24
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∵B'C'=24 cm,∴ = ,∴BC=20 cm.
(2)∵AB+BC+AC=60 cm,
的面积等于多少?
思路分析:由平行关系推导出△ADE∽△EFC,根据面积比得到对应边
的比,再利用相似比转化解决.
解:因为 AD∥EF,DE∥FC,
所以△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,
所以△ADE∽△EFC.
又因为 S△ADE∶
S△EFC=1∶
4,
所以 AE∶
EC=1∶
2.所以 AE∶
AC=1∶
,即
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= .∴y= .
∵x2<y2,故按第(2)种方法裁剪时正方形面积最大,且最大面积为
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m.
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对应角平分线相等
对应高相等
周长相等
面积相等
外接(内切)圆
的直径相等
外接(内切)圆
的周长相等
外接(内切)圆
的面积相等
相似三角形
对应边成比例
对应角相等
对应中线的比等于相似比
对应角平分线的比等于相似比
对应高的比等于相似比
周长比等于相似比
面积比ห้องสมุดไป่ตู้于相似比的平方
外接(内切)圆的
直径比等于相似比
外接(内切)圆的
3.
所以 S△ADE∶
S△ABC=1∶
9.
因为 S△ADE=1,所以 S△ABC=9.
所以 S 四边形 BFED=S△ABC-S△ADE-S△ EFC=9-1-4=4.
探究三 实际应用问题
此类问题是利用数学模型解实际问题,关键在于认真分析题意转化成
数学问题,构造相似三角形求解.
【典型例题 3】 如图所示,已知一块直角三角形木板的三边 AB=5
m,BC=3 m,AC=4 m,一加工车间要把它加工成一块面积最大的正方形木板.
如何设计才能使木板的面积最大,并求出最大面积.
解:如图(1)所示,设正方形 DEFG 的边长为 x m.
图(1)
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过点 C 作 CM⊥AB 于 M,交 DE 于 N,因此 S△ABC= AC·
BC= AB·
CM.