随机过程第二章 平稳过程

n (n 0,1,2, )
同分布, n ( n 0,1,2, )
同分布, E n E n 0, D n D n 2 0. 设
X n n n ( 1) n ( n n )
, } 则加密序列 { X n , n 0,1,2是平稳序列 .
平稳过程.
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五.两个平稳过程的关系 下文中广义平稳过程简称平稳过程. 定义3 设 X (t ) 和 Y (t )是两个平稳过程,如果互相关 函数 E[ X (t )Y (t )] R XY ( ) 仅是参数间距 的函数,则称

X (t ) 与Y (t ) 平稳相关,或称其为
联合平稳的. 此时
C XY ( ) cov( X (t ), Y (t ))
E[ X (t )Y (t )] E[ X (t )]E[Y (t )]
RXY ( ) X Y
定义4
XY ( )
C XY ( ) C X ( 0) C Y ( 0)
称为标准互协方差函数. 特别当 XY ( ) 0 时,称两个平稳过程与不相关.
例2 设 X , Y 是相互独立的标准正态随机变量,
Z (t ) ( X 2 Y 2 )t , t 0
试验证随机过程
Z (t ) 不是严平稳过程, Z (t )
的数字特征也不具有平稳性.
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第二节 广义平稳过程
(一) 广义平稳过程的定义
定义2 设随机过程
X (t ) ,对于任意 t T ,满足:
( | |) k | | P{N (t ) N (t ) k} e k!
0, k 0,1,2,
四.严平稳过程与广义平稳过程的关系 推论 存在二阶矩的严平稳过程必定是广义平稳过程.
1.广义平稳过程,不一定是严平稳过程. 2.严平稳过程,(如果二阶矩不存在),不一定是广义
f ( x1 , x 2 , , x n ; t1 , t 2 , , t n )
f ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn )
一维概率密度函数
f1 ( x1 ; t1 ) f1 ( x1 ; t1 ) f1 ( x1;0) f1 ( x1 )
(1)
E[ X (t )] X
2 E[ X 2 (t )] X
2 D[ X (t )] X
均为常数,与参数
t
无关;
(2)
E[ X (t ) X (t )] R X ( )
E{[ X (t ) EX (t )][ X (t ) EX (t )]} C X ( )
二维概率密度函数
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )
f 2 ( x1 , x2 ;0, ) f 2 ( x1 , x2 ; )
四.严平稳过程的数字特征的性质 以{ X (t ), t T } 为连续状态严平稳过程为例
二维分布函数
F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )
F2 ( x1 , x2 ;0, ) F2 ( x1 , x2 ; )
1
上式表明:严平稳过程的一维分布函数 F1 ( x1 ) 不依赖 于参数 t , 二维分布函数 而与
F2 ( x1 , x2 ; ) 仅依赖于参数间距
t .
三.(1)离散状态随机过程 X (t ) , 严平稳性条件
P{ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 , , X (tn ) xn }
P{ X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x2 , , X (t n ) xn } X (t ) , 严平稳性条件 (2)连续状态随机过程 条
E[ X (t ) X (t )]

(仅依赖于



x1 x 2 f 2 ( x1 , x 2 ; t , t )dx1 dx2



x1 x 2 f 2 ( x1 , x 2 ; )dx d 1 dx d 2 R X ( )
, 而不依赖于t );
二. 正态平稳过程 设{ X (t ), t T } 是正态过程, X (t )服从正态分布,则
则称 X (t ) 为严平稳过程,或称狭义平稳过程.
n 1,2,
严平稳过程的含义是:过程的任何有限维概率分布 与参数的原点选取无关, 二. 严平稳过程的一维,二维分布函数的性质 特殊地,取
t1 , t 2 t1
一维分布函数
F1 ( x1 ; t1 ) F1 ( x1 ; t1 ) F1 ( x1 ;0) F1 ( x1 )
仅依赖于参数间距

,而不依赖于 .
t
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数字特征的这一性质也称为平稳性. 定理一的逆定理是不成立的. 例1 (Bernoulli序列) 独立重复地进行某项试验,每次 试验成功的概率为
p (0 p 1) ,失败的概率为 1 p .
以表示 X n 第n 次试验成功的次数, 试验 试验证 { X n , n 1,2,3, } 是严平稳过程.
2 C X (0) cov( X (t ), X (t )) E[ X (t ) EX (t )]2 DX (t ) X
2 CY (0) cov(Y (t ), ) Y (t )) E[Y (t ) EY (t )]2 DY (t ) Y
(均为 常数).
(1) E [ X 2 (t )] 存在且有限; (2) E[ X (t )] X 是常数; (3) E[ X (t ) X (t )] R X ( )
平稳过程. 参数集 仅依赖于 ,而与 t 无关, 则称 X (t ) 为广义平稳过程, 或称宽平稳过程,简称
T
为整数集或可列集的平稳过程又称为平稳
( X 1 , X 2 , , X n ), 概率密度
1 (2 ) 2 (det C )
n
1
2
1 exp{ ( x ) ' C 1 ( x )} 2
x1 x2 x xn
1 2 n

E[ X (t )] xf1 ( x, t )dx xf1 ( x)dx X (常数);
2 (常数); E[ X 2 (t )] x 2 f1 ( x, t )dx x 2 f1 ( x)dx X

2
2 2 2 D[ X (t )] E[ X 2 (t )] ( E[ X (t )]) 2 X X X (常数);
{ X (t ), t T } 为独立正态过程.
{ X (t ), t T } ,如果 T 是可列集,
T {t1, t2 , , tn , }, 记 X (t ) X t ; 那么,
{ X t , t t1 , t 2 , , t n , } 是正态序列.
例3(白噪声序列) 互不相关的随机变量序列
{ X n , n 0,1,2, }, EX n 0, DX n 2 0
是一个平稳序列. 例4通讯系统中的加密序列 设 { 0 , 0 , 1 ,1 , , n , n , } 是相互独立的随机 变量序列.
第二章
第一节 第 节 严平稳过程
平稳过程
平稳过程是一类特殊的随机过程,它的应用极为广泛.
} 一．定义1 随机过程 { X (t ), t T，如果对任意
分布函数,任意实数 ,满足:
维
n
F ( x1 , x 2 , , x n ; t1 , t 2 , , t n )
F ( x1 , x 2 , , x n ; t1 , t 2 , , t n )
E{[ X (t ) EX (t )][ X (t ) EX (t )]} E[ X (t ) X (t )] E[ X (t )]E[ X (t )] 2 R X ( ) X C X ( )
于是得到
t
定理一 设 { X (t ), t T } 是严平稳过程,如果过程的二 阶矩存在,那么
序列,或称平稳时间序列.
(二) 广义平稳过程的数字特征的性质
设 { X (t ), t T } 是平稳过程,则
(1) E[ X (t ) X (t )] R X ( ) 仅依赖于 , 而与 t 无关; (2) E[ X (t )] X 是常数;
2 (3) X E [ X 2 (t )] E[ X (t ) X (t 0)] RX (0) 是常数;
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正态平稳过程 一.正态过程 正态随机变量复习： 一维正态随机变量
X ~ N ( , 2 ) ,概率密度
( x )2
1 2 f ( x) e 2 , x 2 2 二维正态随机变量 ( X , Y ) ~ N ( 1 , 12 ; 2 , 2 ; )
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t
例5 随机电报信号
I 或 I 给出, 任意时刻 t 的电报 1 信号 X (t ) 为 I 或 I的概率各为 .又以 N (t )表示
电报信号用电流
[0, t ) 内信号变化的次数,已知
泊松过程的定义
2 {N (t ), t 0} 是一泊松
过程,则 { X (t ), t 0} 是一个平稳过程.
1 (x1)2 2(x1)(y 2) (y2)2 f (x, y) exp{ [ 2 ]} 2 2 2 2 ( 1 ) 2 1 2 1 1 2 1 2 1
n 维正态分布
f ( x1 , x 2 , , x n )
其中
协方差矩阵
C (Cij ) nn , Cij Cov( X i , X j )
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定义5 如果随机过程
X (t )
,对任意正整数
n,
t1 , t 2 , , t n T , ( X (t1 ), X (t 2 ), , X (t n )) 服从正态分布
则称 X (t ) 为正态过程,又称高斯(Gauss)过程. 独立正态过程: 如果 { X (t ), t T } 是正态过程,同时又 是独立过程,则称 正态序列：正态过程
(仅依赖于

,而与 t 无关)。
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三.平稳过程的例子 例1随机相位正弦波 和 X (t ) a cos(t ) ,式中 a ) 是常数, 是(0,2上服从均匀分布的随机变量 .
验证 X (t是平稳过程 . ) 例2 随机振幅正弦波
Z (t ) X cos 2t Y sin 2t ,其中 X 和 Y 都是随机变量,且 EX EY 0, DX DY 1 . E ( XY ) 0. 验证 Z (是平稳过程 t)
2 2 2 (4) D[ X (t )] EX 2 (t ) [ EX (t )] 2 X X X 是常数;
(5) C (t , t ) cov(X (t ), X (t )) X
E[ X (t ) X (t )] E[ X (t )]E[ X (t )] 2 R X ( ) X C X ( )