2025届河北省保定市定州中学数学高三第一学期期末统考试题含解析

2025届河北省保定市定州中学数学高三第一学期期末统考试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，1
17DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）
A ．321-
B ．322-
C ．251-
D ．252-
2．函数()1cos f x x x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．复数的()
12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．函数()2ln x
f x x x
=-
的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
5．设i 是虚数单位，复数1i
i
+=（ ） A ．1i -+
B ．-1i -
C ．1i +
D ．1i -
6．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于
(,0)m ，则m 的最大值为( )
A ．322-
B ．233-
C ．23-
D ．22-
7．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+ B ．32i +
C ．32i --
D ．32i -
8．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )
A ．
B ．2
C ．3
D ．6
9．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A ．23
B ．43
C ．
23
3
D ．
43
3
10．已知
b a b
c a 0.2
12
1()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．b c a <<
11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2
4y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ） A ．1
B ．
1
2
C ．
22
D ．
52
12．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ
=->>，将函数()f x 的图象向左平移3
π个单位长度，得到函数()g x 的图象，
若函数()g x 的图象的一条对称轴是6
x π
=，则ω的最小值为 A ．
1
6
B ．
23 C ．
53
D ．
56
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，满足22(sin 3cos )40a a B B -++=，27b =，则ABC ∆的面积为__．
14．已知双曲线22
219x y b
-=的左、右焦点分别为12F F P ，，为双曲线上任一点，且12PF PF ⋅的最小值为7-，则该双
曲线的离心率是__________.
15．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________．
16．若曲线()ln x
f x ae x =-（其中常数0a ≠）在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则a =________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，4
CAD π
∠=
，72AC =
，2
cos 10
ADB ∠=-
.
（1）求sin C 的值；
（2）若5BD =，求AB 的长. 18．（12分）已知函数()ln f x x =． （1）求函数()()1g x f x x =-+的零点； （2）设函数()f x 的图象与函数1
a y x x
=+
-的图象交于()11A x y ，，()()1112B x y x x <，两点，求证：121a x x x <-； （3）若0k >，且不等式()()()2
211x f x k x --≥对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围． 19．（12分）设函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x 2
a
+|（a ＞0）． （1）若不等式f （x ）﹣| x 2
a
+
|≥4x 的解集为{x |x ≤1}，求实数a 的值； （2）证明：f （x
）≥
20．（12分）若不等式1240x x a ++⋅>在(]0,1x ∈时恒成立，则a 的取值范围是__________. 21．（12分）已知函数()1f x x =-. （1）解不等式()()48f x f x ++≥；
（2）若1a <，1b <，0a ≠，求证：()b f ab a f a ⎛⎫
>
⎪⎝⎭
. 22．（10分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中a ij (i ，j =1，2，3，…，n )表示位于第i 行第j 列的实数，且a ij ∈{1，-1}.记S (n ，n )为所有这样的数表构成的集合．对于()A n n ∈，，记r i (A )为A 的第i 行各数之积，c j (A )为A 的第j 列各数之积．令()()()1
1
n n
i
j
i j l A r A c A ===
+∑∑
（Ⅰ）请写出一个A ∈S (4，4)，使得l (A )=0；
（Ⅱ）是否存在A ∈S (9，9)，使得l (A )=0？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的A ∈S (n ，n )，求l (A )的取值集合．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由1
17DQ =知Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值．
【详解】
如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面
EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平
面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在
平面ABCD 上，∴P AC ∈．
正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴22111DQ D Q DD =-=，∴Q 在以D 为圆心1为半径的四
分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上， 显然M 关于直线AC 的对称点为E ，
22421251PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-=+=，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，
∴所求最小值为1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值． 2、D 【解析】
因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x
-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则
11
()()cos ()0f ππππππ
=-=--<，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象. 3、C 【解析】
所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.
【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题. 4、A 【解析】
根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项. 【详解】
因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.
当0x >时，()2ln x x f x x =-，()33
2ln 1
'x x f x x
=+-， 令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题. 5、D 【解析】
利用复数的除法运算，化简复数1i
1i i
+=-，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，复数()1i (i)
1i 1i i i (i)
+⋅-+==-⨯-，故选D ． 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 6、A 【解析】
求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，2111(1)4x m
m
x x
+-=
+++， 求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【详解】
解：由题意可得，焦点F （1，0），准线方程为x ＝−1， 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，
由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |＝x ＋1， 记∠KPF 的平分线与x 轴交于(m,0),
(1m 1)H -<<
根据角平分线定理可得||||||
=||||||
PF PM FH PK PK KH =， 211(1)4m
m
x x
-=
+++， 当0x =时，0m =，
当0x ≠时，
2
1
12,142(1)4112
x x x
x x
⎡⎫+=∈⎪⎢⎪++⎣⎭+
++，
211032221m
m m
-∴
≤<⇒<≤-+， 综上：0322m ≤≤-． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题． 7、B 【解析】 由题意得,13i
23i
z =+,求解即可. 【详解】
因为(23i)13i z +=,所以13i 13i(23i)26i 39
32i 23i (23i)(23i)49
z -+====+++-+. 故选:B. 【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题. 8、A 【解析】
由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】
双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r ＝
.
答案：A 【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题. 9、A 【解析】
根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积. 【详解】
由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：
其中，底面为直角三角形，2AD =，3AE =2AB =.
∴该几何体的体积为1
232232
V =⨯= 故选：A. 【点睛】
本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题. 10、B 【解析】
利用函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
与函数
12
log y x =互为反函数，可得01a b <<<，再利用对数运算性质比较a,c 进而可得结论.
【详解】
依题意，函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
与函数12
log y x =关于直线y x =对称，则0.2
12
10log 0.22⎛⎫<< ⎪⎝⎭，
即01a b <<<，又0.2
112
2
0.2log 0.2
log 0.20.2
0.2
0.2
11110.22252b c a a ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<= ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，
所以，c a b <<. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题. 11、A 【解析】
设200(,),(,)2y P y M x y p ，因为PM MF =，得到20
0,442
y y p x y p =+=，利用直线的斜率公式，得到
02
0002
2
44OM y k y p y p y p
p
=
=
++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
由题意，抛物线2
4y x =的焦点坐标为(
,0)2
p
F ， 设20
0(,),(,)2y P y M x y p
， 因为PM MF =，即M 线段PF 的中点，所以22
00
01(),222442
y y y p p x y p p =+
=+=， 所以直线OM
的斜率02
0022
144OM y k y p y p y p
p
=
=
≤
=++，
当且仅当0
0y p y p
=，即0y p =时等号成立， 所以直线OM 的斜率的最大值为1. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 12、C 【解析】
将函数()f x 的图象向左平移3
π个单位长度，得到函数()2sin()33g x x ωωππ
=+
-的图象，因为函数()g x 的图象的一条对称轴是6
x π=，所以sin(
)163
3
ωωπππ+-=±，即,6
3
3
2
k k ωωππππ+-=+π∈Z ，所以5
2,3
k k ω=+∈Z ，又0>ω，所以ω的最小值为5
3
．故选C ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
、 【解析】
由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入
1sin 2
ABC S ac B ∆=，计算可得所求． 【详解】
解：把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程，
则0∆≥，即24(sin )160B B +-≥， 即为242sin 1603B π⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 化为2sin 13B π⎛
⎫+≥ ⎪⎝⎭，而2sin 13B π⎛⎫+≤ ⎪⎝
⎭， 则2sin 13B π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
， 由于0B π<<，可得
4333B πππ<+<， 可得32B ππ
+=，即6B π
=，
代入方程可得，2440a a -+=，
2a ∴=，
由余弦定理可得，2428cos 6222c c π
+-==⨯，
解得：c =，
111
sin 2222
ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=．
故答案为
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题． 14、43
【解析】
根据双曲线方程，设()1,0F c -,()2,0F c 及()P m n ,，将()P m n ,代入双曲线方程并化简可得22
291n m b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意12PF PF ⋅的最小值为
7-，结合平面向量数量积的坐标运算化简，即可求得c 的值，进而求得离心率即可.
【详解】
设点()10F c -，
,()()20,0F c c >，，()P m n ,， 则22219m n b
-=，即22291n m b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵()1PF c m
n =---，，()2PF c m n =--，， 2
2222212291n PF PF m c n n c b ⎛⎫⋅=-+=++- ⎪⎝⎭ 22229199n c c b ⎛⎫=++-≥- ⎪⎝⎭
， 当0n =时，等号成立，
∴297c -=-，
∴4c =， ∴43
c e a ==. 故答案为：
43. 【点睛】
本题考查了双曲线与向量的综合应用，由平面向量数量积的最值求离心率，属于中档题.
15、13
. 【解析】
分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.
详解：由题意可知了，比赛可能的方法有339⨯=种，
其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马，
田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马， 结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为3193
p ==. 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
16、2e
【解析】
利用导数的几何意义，由'(1)1f =解方程即可.
【详解】 由已知，'1()e x f x a x
=-，所以'1(1)e 11f a =-=，解得2e a =. 故答案为：
2e
. 【点睛】 本题考查导数的几何意义，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1)
45
；（2
）AB =【解析】
（1）由两角差的正弦公式计算；
（2）由正弦定理求得AD ，再由余弦定理求得AB ．
【详解】 （1
）因为cos ADB ∠=
sin 10ADB ∠==. 因为4
CAD π
∠=，所以4C ADB π∠=∠-， 所以sin sin sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ⎛
⎫=∠-=∠⋅-∠⋅ ⎪⎝
⎭45
==. （2）在ACD ∆中，由sin sin AD AC C ADC
=∠
，得74sin sin 10
AC C AD ADC ⨯⋅===∠， 在ABD ∆中，由余弦定理可得
2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⋅
∠(
225253710⎛⎫=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以AB =
.
【点睛】 本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，属于中档题．
18、 (1)x=1 (2)证明见解析 (3) 02k <
【解析】
（1）令()1g x lnx x =-+，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；
（2）转化思想，要证1a x < 21x x -，即证1x 212121(1)lnx lnx x x x x --<- 21x x -，即证2112
()1x x ln x x >-，构造函数进而求证； （3）不等式22(1)()x lnx k x -- 对一切正实数x 恒成立，222(1)(1)(1)(1)[]1k x x lnx k x x lnx x ----=--
+，设(1)()1
k x h x lnx x -=-+，分类讨论进而求解． 【详解】
解：（1）令()1g x lnx x =-+，所以11()1x g x x x
-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,1)上单调递增；
当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减；
所以()()10min g x g ==，所以()g x 的零点为1x =．
（2）由题意11122211a lnx x x a lnx x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩
， 211221(1)lnx lnx a x x x x -∴=--， 要证121a x x x <- 21x x -，即证211212121(1)lnx lnx x x x x x x x --<--，即证2112()1x x ln x x >-， 令211x t x =>，则11lnt t >-，由（1）知1lnx x -，当且仅当1x =时等号成立，所以111ln t t
<-， 即11lnt t >-，所以原不等式成立． （3）不等式22(1)()x lnx k x -- 对一切正实数x 恒成立，
222(1)(1)(1)(1)[]1
k x x lnx k x x lnx x ----=--
+， 设(1)()1k x h x lnx x -=-+，222122(1)1()(1)(1)k x k x h x x x x x +-+'=-=++， 记2()2(1)1x x k ϕ=+-+，△24(1)44(2)k k k =--=-，
①当△0时，即02k <时，()0h x '恒成立，故()h x 单调递增．
于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故22(1)(1)x lnx k x ->-，
当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 又当1x =时，22(1)(1)x ln k x -=-，
因此，当02k <时，22(1)(1)x lnx k x --，
②当△0>，即2k >时，设22(1)10x k x +-+=的两个不等实根分别为3x ，434()x x x <，
又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<，
故当(1,1)x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在(1,1)k -单调递减；
当(1,1)x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是2(1)()0x h x -<，
即22(1)(1)x lnx k x -<- 舍去，
综上，k 的取值范围是02k <．
【点睛】
（1）考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；（2）考查转化思想，构造函数求极值；（3）考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；属于难题.
19、（1）a ＝1；（2）见解析
【解析】
（1）由题意可得|x ﹣a |≥4x ，分类讨论去掉绝对值，分别求得x 的范围即可求出a 的值．（2）由条件利用绝对值三角不
等式，基本不等式证得f （x ）．．
【详解】
（1）由f （x ）﹣|x 2a
+
|≥4x ，可得|x ﹣a |≥4x ，（a ＞0）， 当x ≥a 时，x ﹣a ≥4x ，解得x 3a ≤-， 这与x ≥a ＞0矛盾，故不成立，
当x ＜a 时，a ﹣x ≥4x ，解得x 5a ≤
， 又不等式的解集是{x |x ≤1}，故5
a =1，解得a ＝1． （2）证明：f （x ）＝|x ﹣a |+|x 2a +|≥ |x ﹣a ﹣（x 2a +）|＝|a 2a
+|，∵a ＞0，
∴| a 2a +|＝a 2a +≥=，当且仅当a =
故f （x ）≥
【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式，基本不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．
20、34
a >-
【解析】 原不等式等价于1142x x a ⎛⎫>-+
⎪⎝⎭在(]0,1恒成立，令12x t =，()2f t t t =+，求出()f t 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上的最小值后可得a 的取值范围.
【详解】 因为1240x x
a ++⋅>在(]0,1x ∈时恒成立，故1142x x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭在(]0,1恒成立. 令12x t =，由(]0,1x ∈可得1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
. 令()2f t t t =+，1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则()f t 为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上的增函数，故()min 34f t =. 故34
a >-. 故答案为：34a >-
. 【点睛】
本题考查含参数的不等式的恒成立，对于此类问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，本题属于基础题.
21、（1）(]
[),53,-∞-+∞；（2）证明见解析. 【解析】
（1）分3x <-、31x -≤≤、1x >三种情况解不等式()()48f x f x ++≥，即可得出该不等式的解集； （2）利用分析法可知，要证()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-，只需证明2210ab a b --->即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.
【详解】
（1）()()22,34134,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩
.
当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-，此时5x ≤-；
当31x -≤≤时，()8f x ≥不成立；
当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥，此时3x ≥.
综上所述，不等式()4f x ≤的解集为(]
[),53,-∞-+∞； （2）要证()a b f ab a f ⎛>⎫ ⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-， 因为1a <，1b <，所以，21a <，21b <，
()()2222222
22212121ab a b a b ab a ab b a b a b ∴---=-+--+=-+-()()()()2222211110a b b a b =---=--<.
所以，1ab a b ->-.故所证不等式成立.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.
22、（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析；（Ⅲ）{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=⋯
【解析】
（Ⅰ）可取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意；
（Ⅱ）用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论；
（Ⅲ）通过分析正确得出l (A )的表达式，以及从A 0如何得到A 1，A 2……，以此类推可得到A k ．
【详解】
（Ⅰ）答案不唯一，如图所示数表符合要求.
（Ⅱ）不存在A ∈S (9，9)，使得l (A )=0，证明如下:
假如存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =.
因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}129)3(j c A i j ∈-=⋯，,
,,,， 所以1()r A ，2()r A ，...，9()r A ，1()c A ，2()c A ，...，9()c A 这18个数中有9个1，9个-1.
令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋯⋅⋅⋯.
一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而9
(1)1M =-=-①，
另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋯表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；
129()()()c A c A c A ⋅⋯也表示m ，从而21M m ==②，
①，②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =.
（Ⅲ）记这2n 个实数之积为p .
一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋯；
另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋯；
从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋯=⋅⋯③，
注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}(1,1)j c A i n j n ∈-≤≤≤≤，
下面考虑1()r A ，2()r A ，...，()n r A ，1()c A ，2()c A ，...，()n c A 中-1的个数，
由③知，上述2n 个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤，则1的个数为2n -2k ，
所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-，
对数表0:1(,1,2,3,,)ij A a i j n ==⋯，显然()02l A n =.
将数表0A 中的11a 由1变为-1，得到数表1A ，显然()124l A n =-，
将数表1A 中的22a 由1变为-1，得到数表2A ，显然()228l A n =-，
依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为-1，得到数表k A ，
即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ==⋯==-≤≤，其余1ij a =，
所以12()()()1k r A r A r A ==⋯==-，12()()()1k c A c A c A ==⋯==-，
所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-，
由k 的任意性知，l （A ）的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=⋯.
【点睛】
本题为数列的创新应用题，考查数学分析与思考能力及推理求解能力，解题关键是读懂题意，根据引入的概念与性质进行推理求解，属于较难题.。