北京市昌平区2011-2012学年度第二学期高三年级第二次统一练习理(昌平二模理)-含答案

昌平区2011－2012学年度第二学期高三年级第二次统一练习数 学 试 卷（理科） 2012. 4考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U = R ，集合}{42≤-=x x |x A ，}2{<=x |x B ，则B A =A. {0≥x |x } B . {20<≤x |x } C. {42≤<x |x } D. {40≤≤x |x } 2. 在复平面内，与复数i+11对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. “1=a ” 是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的A. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 已知直线l ：为参数）t t y tx (1⎩⎨⎧+==，圆C ：2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离是 A. 2 B.3 C.2 D. 15.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有 A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3 个左视图6. 某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有 A. 60种 B. 120种 C. 144种 D. 300种7．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A 的中点，Q 为11B A 上 任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是 A. 点P 到平面QEF 的距离B . 直线PQ 与平面PEF 所成的角 C. 三棱锥QEF P -的体积 D.二面角Q EF P --的大小8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是A ．20122012S =，20127a a <B ．20122012S =，20127a a >C ．20122012S =-，20127a a <D ．20122012S =-，20127a a >第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在∆ABC 中，4,2,2π===A b a 那么角C =_________.10.已知双曲线的方程为1422=-y x ，则其渐近线的方程为____________,若抛物线px y 22=的焦点与双曲线的右焦点重合，则_______p =.C 1A 1C11. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值,若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 ___________个.12. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点D ，CA 切⊙O 于点A ，CD 交AB 的延长线于点E .若3AC =，2ED =，则BE =________;AO =________.13. 若变量 x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤400x y y x 表示平面区域M ，则当-42≤≤a 时，动直线a y x =+所经过的平面区域M 的面积为_____________.14. 若对于定义在R 上的函数f (x ) ,其图象是连续不断的，且存在常数λ(∈λR )使得 f (x +λ) +λf (x ) = 0对任意实数x 都成立，则称f (x ) 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①f (x ) =0 是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；②f (x ) = x 不是“λ—伴随函数”；③f (x ) = x 2是一个“λ—伴随函数”； ④“21—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确．．．的序号是________________（填上所有不．正确．．的结论序号）．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知向量a (cos ,sin ),θθ= b = (13-,), 22π≤θ≤π-. （Ⅰ）当b a ⊥时，求θ的值; （Ⅱ）求||b a +的取值范围.EA某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是：每位选手可以选择在A 区射击3 次或选择在B 区射击2次，在A 区每射中一次得3分，射不中得0分; 在B 区每射中一次得2分，射不中得0分. 已知参赛选手甲在A 区和B 区每次射中移动靶的概率分别是41和)10(<<p p .(Ⅰ) 若选手甲在A 区射击，求选手甲至少得3分的概率；(Ⅱ) 我们把在A 、B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B 区射击，求p 的取值范围.17.（本小题满分14分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中, 122AA AB ==,E 为AD 中点,F 为1CC 中点.（Ⅰ）求证:1AD D F ⊥； （Ⅱ）求证://CE 平面1AD F ；(Ⅲ) 求平面1AD F 与底面ABCD 所成二面角的余弦值.18．（本小题满分13分） 已知函数∈+--=a x a xax x f ,ln )1()(R . （Ⅰ）当1>a 时，求)(x f 的单调区间;（Ⅱ）若)(x f 在]1[e ,上的最小值为2-，求a 的值.如图，已知椭圆M :)0(12222>>=+b a by a x ,离心率36=e ,椭圆与x 正半轴交于点A ，直线l 过椭圆中心O ，且与椭圆交于B 、C 两点，B (1,1).(Ⅰ) 求椭圆M 的方程；（Ⅱ）如果椭圆上有两点Q P 、,使PBQ ∠的角平分线垂直于AO ，问是否存在实数)0(≠λλ使得AC PQ λ=成立？20. (本小题满分13分)实数列 3210a ,a ,a ,a ，由下述等式定义123,0,1,2,3,.n n n a a n +=-=（Ⅰ）若0a 为常数，求123,,a a a 的值； （Ⅱ）求依赖于0a 和n 的n a 表达式；（Ⅲ）求0a 的值，使得对任何正整数n 总有1n n a a +>成立.昌平区2011－2012学年度第二学期高三年级第二次统一练习数学( 理科)试卷参考答案及评分标准 2012.4一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9．127π 10. x y 21±= , 52 11. 3 12. 1 ， 2313． 714. ① ③ 注：10,12题第一空2分三、解答题(本大题共6小题，共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） a ⊥b ∴b a ⋅0sin cos 3=-=θθ ……… 2分得3tan =θ 又∵22π≤θ≤π-……… 4分 即：θ=3π………6分 （Ⅱ）||b a +=4)sin cos 3(21||2||22+-+=+⋅+θθb b a a )3sin(45π--=θ ……… 9分22π≤≤π-θ 6365π≤π-≤π-∴θ ……… 11分 21)3s i n (1≤π-≤-∴θ 4)3sin(42≤π--≤-∴θ∴33≤+≤||b a ……… 13分16．（本小题满分13分)解：（Ⅰ）设“选手甲在A 区射击得0分”为事件M ,“选手甲在A 区射击至少得3分”为事件N ,则事件M 与事件N 为对立事件, 6427)411(41)(3003=-⋅⋅=)(C M P ………2分6437642711=-=-=)M (P )N (P ………4分 (Ⅱ) 设选手甲在A 区射击的得分为ξ,则ξ的可能取值为0，3，6,9.6427)41-(10)(3===ξP ;6427)411(41C 3)(213=-⋅⋅==ξP ; 649)411()41(6)(223=-==ξC P ; 641)41(9)(3===ξP 所以ξ的分布列为49641964966427364270=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E 设选手甲在B 区射击的得分为η，则η的可能取值为0，2，4.2)-(10)(p P ==η；)1(2)1(C 2)(12p p p p P -=-⋅⋅==η;24)(p P ==η所以η的分布列为p p )p (p )p (E 441221022=⋅+-⋅+-⨯=η∴根据题意， 有 ξηE E > ∴1169494<<∴>p ,p ……… 13分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中四边形ABCD 是正方形, AD CD ∴⊥1DD ABCD AD ABCD ⊥⊂平面，平面1AD DD ∴⊥ 1DD CD D = 11AD CDD C ∴⊥平面111D F CDD C ⊂平面 1A D D F∴⊥ ……… 4分 （Ⅱ）证明：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,连结1A D ,交1AD 于点M ,连结,ME MF .M ∴为1AD 中点.E 为AD 中点，F 为1CC 中点. 111//2ME DD ME DD ∴=且……… 6分 又1121DD CF DD //CF =且 ∴四边形CEMF 是平行四边形. MF //CE ∴ ……… 8分CE ⊄平面1AD F ,MF ⊂平面1AD F .//CE ∴平面1AD F . ………9分(Ⅲ)解：以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图. 则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C D F……… 10分∴平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =………11分设平面1AD F 的法向量为(,,)x y z =n .1(1,1,1),(1,0,2)AF AD =-=-，分则有10,0.AF AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 0,20.x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩取1z =，得(2,1,1)=n .1116cos ,DD DD DD ⋅〈〉==n n n . ………13分平面F AD 1与平面所成二面角为锐角.所以平面1AD F 与底面ABCD ……… 14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f (x )的定义域为｛x |0>x ｝……………1分.2222))(1()1(11)(xa x x x x a a x x a x a x f --=+-+=+-+='…………3分 1>a 令0)(>'x f ，即a x x x a x x ><>--或得1,0))(1(2，∴)(x f 的增区间为（0，1），),(+∞a ……………4分 令0)(<'x f ，即a x xa x x <<<--1,0))(1(2得， ∴)(x f 的减区间为),1(a ………………5分（Ⅱ）①当1≤a 时， 0)(≥'x f 在]1[e ,上恒成立，∴)(x f 在]1[e ,恒为增函数. ……… 6分21)1()]([min -=-==∴a f x f ，得.(3舍去）=a ……… 7分②当e a <<1 时，令0)(='x f ，得1或a x =. 当a x <<1时，0)(<'x f ∴)(x f 在),1(a 上为减函数； 当e x a <<时，0)(>'x f ∴)(x f 在),(e a 上为增函数；2)ln()1(1)()]([min -=+--==∴a a a a f x f ，得（舍）……… 10分③当e a >时，0)(≤'x f 在],1[e 上恒成立，此时)(x f 在],1[e 恒为减函数.2)1()()]([min -=+--==∴a eae ef x f ，得 .e a = ………12分 综上可知 .e a = ……… 13分19．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)由题意可知2)(136abe -==,得 223b a = ……… 2分 )11(,B 点 在椭圆上11122=+ba 解得：34422==b ,a ……… 4分 故椭圆M 的方程为：143422=+y x ……… 4分 （Ⅱ）由于PBQ ∠的平分线垂直于OA 即垂直于x 轴，故直线PB 的斜率存在设为k ，则QB 斜率为 - k ，因此PB 、QB 的直线方程分别为y = k (x -1)+1， y = -k (x -1) +1 ……… 6分由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 得01631631222=--+--+k k x )k (k x )k (①由0>∆ ，得31-≠k ……… 8分 点B 在椭圆上，x =1是方程①的一个根，设),(),,(Q Q p p y x Q y x P13163122+--=⋅∴k k k x P 即1316322+--=∴k k k x P ，同理1316322+-+=k k k x Q ………10分∴=PQk 311312213)13(22)(222=+--+-⋅=--+=--k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P)1,1(),0,2(--C A 31=∴AC k 即：AC PQ k k =∴向量//，则总存在实数λ使λ=成立. ………13分20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）0131a a -=,0291a a +-=,03277a a -= ……… 2分（Ⅱ）由123,nn n a a +=-得1112(3)(3)(3)nn n n n n a a +++-=--- ……… 3分 令(3)n n na b =-，所以112(3)nn n n b b ++-=-所以121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-23112342222(3)(3)(3)(3)n nb -=+++++---- 2111222()[()()()]3333n b -=+--+-++-1122()(1())133()231()3n b ----=+--- 1122(1()),153n b -=+-- ……… 6分所以1122(1())(3)3153n n n a a -=+---- ……… 7分 所以1112(3)[(3)32]15n n n n a a --=⋅-+-+⋅ 1102(13)(3)[(3)32]15n n n a --=--+-+⋅101[2(1)3](1)35n n n n n a -=+-⋅+-⋅⋅ ……… 8分（Ⅲ）1111101[2(1)3](1)35n n n n n n n a a a +++++-=+-⋅+-⋅⋅101[2(1)3](1)35n n n n n a --+-⋅--⋅⋅ 0112(1)43()55n n n a =⋅+-⋅⋅- 所以101121()()(1)4()3535n n n n n a a a +-=+-⋅⋅- ……… 10分 如果0105a ->，利用n 无限增大时，2()3n 的值接近于零，对于非常大的奇数n ，有10n n a a +-<；如果0105a -<，对于非常大的偶数n ，10n n a a +-<，不满足题目要求.当015a =时，112,5n n n a a +-=⋅于是对于任何正整数n ，1n n a a +>，因此015a =即为所求. ……… 13分【 以上答案仅供参考，若有其它解法，请酌情给分】。