湖南师大附中05-06学年度高三年级月考试题——数学(理)

湖 南 师 大 附 中
2005—2006学年度高三年级月考试题
数学（理科）
说明：本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 考试时间120分钟，满分150分
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且
只有一项是符合题目要求的
1．若复数i a a a a z )2()2(2
2--+-=的纯虚数，则
（ ）
A ．12≠≠a a 或
B ．12≠≠a a 且
C ．a =0
D ．a =2或a =0 2．若|)|1)(1(,x x R x -+∈那么是正数的充要条件是
（ ）
A ．1||<x
B ．1<x
C ．1||>x
D ．111<<--<x x 或
3．设全集I=R ，.}0)(|{},0)(|{R Q P x g x Q x f x P ≠
≠
≠
⊂⊂⊂>=<=φ且满足则集合
}0)(0)(|{≤≥=x g x f x M 且等于 （ ）
A ．C I P
B ．
C I Q
C ．φ
D ．（C I P ）∪（C I Q ）
4．已知随机变量p n D E p n B 与则且,4.2,12),,(~==ξξξ的值分别是 （ ）
A ．15与0 8
B ．16与0 8
C ．20与0 4
D ．12与0 6
5．在等差数列{a n }中，若a 2+ a 6+ a 16为一个确定的常数，则下列各个和中也为确定的常数
的是 （ ） A ．S 8 B ．S 10 C ．S 15 D ．S 17
6．已知实数),(,2|
1|)3()1(,22y x P y x y x y x 则点满足条件++=-+-的运动轨迹是（ ）
A ．抛物线
B ．双曲线
C ．椭圆
D ．圆
7．已知f (x )是奇函数，且当x >0时，)(,0),1()(x f x x x x f 时那么当<+=的解析式是（ ）
A ．)1(x x --
B ．)1(x x -
C ．)1(x x +-
D ．)1(x x +
8．设函数f (x )是可导函数，并且='=∆-∆-→∆)(,2)
()2(lim
0000
x f x
x f x x f x 则
（ ）
A ．
2
1
B ．－2
C ．0
D ．－1
9．设函数)12(),()(1
-==-x f y x f x f y 现将函数的反函数为的图象向左平移2个单位，
再关于x 轴对称后，所对应的函数的反函数是
（ ）
A ．2)
(31x f y --=
B ．2
)
(31x f y ---=
C ．2
)
(31x f y -+-=
D ．2
)
(31x f y -+=
10．给出下列4个命题： ①若sin2A=sin2B ，则△ABC 是等腰三角形； ②若sinA=cosB ，则△ABC 是直角三角形； ③若cosAcosBcosC<0，则△ABC 是钝角三角形；
④若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A)=1，则△ABC 是等边三角形
其中正确的命题是 （ ）
A ．①③
B ．③④
C ．①④
D ．②③
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分
11．函数2
1)|lg(|x
x x y --=
的定义域为
12．已知,)1(x e f x
=+则函数)(x f 的解析式是)(x f =
13．已知函数-+-++≠>+=
)41
()21()41()21(),10(1
1)(f f f f a a a x f x
则且
14．设向量||3||),sin ,(cos ),sin ,(cos y y x x =+==若，则
-)c o s (y x
15．求值： 2222
三 解答题：本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤
16．（12分）已知βα,为锐角，且试求,02sin 22sin 3,1sin 2sin 32
2=-=+βαβα
)23
c o s (βαπ
++的值
17．（12分）已知双曲线21122
22+>=-e b
y a x 的离心率，左 右焦点分别为F 1 F 2，
左准线为l ，试推断在双曲线上的左支上是否存在点P ，使得|PF 1|是点P 到l 的距离d
与|PF 2|的等比中项？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由
18．（14分）一袋中装有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个黑球，现从中随机摸出
3个球
（Ⅰ）求至少摸到一个红球的概率；
（Ⅱ）求摸到黑球个数ξ的概率分布和数学期望 19．（14分）在三棱锥P —ABC 中，底面△ABC 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，点
P 在底面ABC 上的射影H 在线段AC 上且靠近C 点，AC=4，14 PA ，PB 和底面所成角为45°
（Ⅰ）求点P 到底面ABC 的距离 （Ⅱ）求二面角P —AB —C 的正切值
20．（14分）已知函数))1(,1()(,)(2
3f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线
方程为y=3x +1
（Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围
21．（14分）已知数列{a n }满足：*).(02,2,81241N n a a a a a n n n ∈=+-==++且 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）求和2
221224232221n n a a a a a a -++-+-- ；
（Ⅲ）设n n n n b b b T N n a n b +++=∈-=
21*),()
12(1
，若存在整数m ，使对任意n
∈N*，均有32
m
T n >成立，求m 的最大值
高三数学（文）参考答案
一 选择题：
1 C
2 D
3 B
4 A
5 C
6 A
7 B
8 D
9 C 10 B 二 填空题
11．（－1，0） 12．)1ln(-x 13．2 14．8
2
3 15．2 三 解答题：
16．解：由⎩⎨⎧==βαβ
α2sin 22sin 32cos sin 32
∵.02sin ,02sin ,2,20,2
,0≠≠∴<<∴<
<βαπβαπ
βα
①÷② .2c o t t a n βα= 即 .2cot )2
cot(βαπ=- …………6分
又∵2
20παπ<-<，∴.0)2cot(2cot >-=απ
β
∴2,22,220βαβαππβ=+∴=-∴<< …………10分
∴.2
3)32cos()23cos(
-=+=++ππβαπ
…………12分 17．设在左支上存在P 点使|PF 1|2=|PF 2|·d ，则
,|
||
|||121PF PF d PF = 又
||||,|
|121PF e PF e d
PF =∴= ① …………4分 又|PF 2|－|PF 1|=2a ② 由① ②得.1
2||,12||21-=-=
e ae
PF e a PF …………8分 ① ②
因在△PF 1F 2中有 |PF 1|+|PF 2|≥2c ，∴c e ae
e a 21
212≥-+- ③ …………10分 利用,a
c
e =
代入③得.2121,0122+≤≤-∴≤--e e e 212111
+>+≤<∴>e e e 与 矛盾
∴符合条件的点P 不存在 …………12分
18．（1）至少摸到一个红球的概率 5655
13
8
3505=-=C C C P …………4分 （2）ξ表示摸到黑球个数，则
2815)1(;285
)0(3
82
513383503======C C C P C C C P ξξ； …………6分 56)3(;5615)2(3
8
535381523======C C C P C C C P ξξ …………8分 ∴摸到黑球个数ξ的概率分布为：
∴E ξ=.8
…………14分
19．（1）∵P 在底面ABC 上的射影H 在线段AC 上，过P 作PH ⊥底面ABC ，则H 在AC
上且靠近C 点，∴面PAC ⊥面ABC …………2分 在等腰Rt △ABC 中，连结BH 取AC 中点O ，连BO
设PH=h ，由已知∠PBH=45°，则BH=h …………4分
在△OHB 中BO ⊥AC ，OB=
222,22
1
-==h OH AC 在Rt △PAH 中，PA 2=HA 2+PH ∴5,14)24(222=∴=+-+h h h
∴P 到底面ABC 之距离为5 ………7分 （2）在H h OH h ∴=-=
=,12,522时是CO 中点 ……9分
在△ABC 中，过点H 作HM ⊥AB 于垂足为M ，连PM 则∠PMH 为二面角P —AB —C (12)
分
∵.31022
35tan ,223224343==∠∴=⋅==
PMH BC HM …………14分
20．（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得
过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：
).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即 …………2分
而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上
故⎩⎨
⎧-=-=+⎩⎨
⎧-=-=++3023
3
23c a b a c a b a 即 ∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③ 由①②③得 a =2，b=－4，c=5
∴.542)(23+-+=x x x x f ………………5分 （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f
当;0)(,3
2
2;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时
13)2()(.0)(,13
2
=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 …………8分 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13 …………9分
（3）y=f (x )在[－2，1]上单调递增，又,23)(2
b ax x x f ++='由①知2a +b=0
依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032
≥+-b bx x ……10分
①当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=
b b b f x f b
x 时； ②当φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f b
x ,0212)2()(,26
min 时；
③当.60,012
12)(,1622
min ≤≤≥-=
'≤≤-b b b x f b 则时 …………13分 ①
②
综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞ …………14分 21．（1）∵n n n n n n n a a a a a a a -=-=-=+++++112120
2即
∴数列{a n }成等差数列 ………………2分 由n a a a d a a n 210,23
2,81
441-=∴-=-=
==得公差 ……4分 （2）2
221224232221n n a a a a a a -++-+--
)
())(())(())((212432121221243432121n n n n n n a a a a a a d a a a a a a a a a a a a ++++++-=-++++-++-=---
).29(42
)
(2221n n a a n n -=+⋅
= …………9分
（3）∵).1
1
1(21)1(21)12(1+-=+=-=
n n n n a n b n n …………10分
∴n n b b b T +++= 21 ]1
113121211[21+-++-+-=n n =
.)
1(2)111(21+=+-n n n …………11分 ∴0)
1)(2(21
)111(21)211(211>++=+--+-=
-+n n n n T T n n ∴{T n }是递增数列 ∴4
1
1=T 是T n 的最小值 …………13分 由832
41<⇒>m m ∴满足条件的最大整数m=7 …………14分。