高高2019届高2016级高2016级福建省福州八县一中高三上学期期中考试文科数学试题

2019届福建省福州八县一中高三上学期期中考试
高中三年文科数学试卷
考试日期：11月15日 完卷时间：120分钟 满 分：150分
第I 卷(选择题共60分)
一、选择题：每小题各5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的.
1. 已知集合{}1,3,5A =-, {}13B x x x =≤->或,则A B =( ) A. {}1,5- B. {}1,3,5- C. {}15x x x ≤-≥或 D. {}13x x x ≤-≥或
2. 若复数1
1i z a i
-=+
+的实部与虚部相等,其中a 是实数,则a =( ) A.1 B.0 C.1- D.2
3. 已知函数()f x 满足()()3f x f x -=,当03x <≤时,()1f x x =+,
则()8f =( )
A.2
B.3
C.2
D.3 4. 已知45
2a =,15
25b =,27
4c =,则( )
A.b a c <<
B.a c b <<
C.c b a <<
D.c a b <<
5. 已知平面向量a ,b 满足1a =,2b a -=,且2a b ⋅=,则a 与()b a -的夹角为( ) A.
3
π
B.
4π
C.
6π
D.
23
π 6. 已知函数()21
cos 21
x x
f x x +=⋅-,则函数()y f x =的图象大致是( )
A. B. C. D.
7. 已知一次函数21y x =+的图象过点(,)P a b (其中0,0a b >>),则2b
a
的最小值是( )
A. 1
B. 8
C. 9
D. 16
8. 若函数()cos(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移3π
个单位后得到的图象关于原点对称,
则函数()y f x =的单调递增区间是( )
学校 班级 姓名 座号 准考号： .
A. 7[,]()1212k k k Z ππππ-
-∈ B. 5[,]()1212k k k Z ππ
ππ-+∈ C. [,]()36k k k Z ππππ-+∈ D. 2[,]()
63k k k Z ππ
ππ++∈
9. 在ABC ∆中,E 为边BC 上的点,且2BE EC =,F 为线段AE 的中点,则 CF =( )
A.2736AB AC -
B.25
36AB AC -
C.1536AB AC -
D.12
63
AB AC -
10. 函数()3sin cos f x a x a x ωω=+(0a >,0ωπ<<)的部分图象如下图所示,则ω的值为( )
A. 1ω=
B.2
π
ω=
C. 2ω=
D.3ω=
11. 某个团队计划租用A ,B 两种型号的小车安排40名队员(其中多数队员会开车且有驾驶证,租用的车辆全部由队员驾驶)外出开展活动,若A ,B 两种型号的小车均为5座车(含驾驶员),且日租金分别是200元/辆和120元/辆.要求租用A 型车至少1辆,租用B 型车辆数不少于A 型车辆数且不超过A 型车辆数的3倍,则这个团队租用这两种小车所需日租金之和的最小值是( )
A. 1280元
B.1120元
C. 1040元
D.560元
12. 已知函数()2cos (sin )3f x x m x x =⋅--在(,)-∞+∞上单调递减,则实 数m 的取值范围是( )
A.[1,1]-
B.1
[1,]2- C.11[,]22- D.11(,)22
-
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题：每小题各5分, 共20分.把答案填在答题卡的相应位置上.
13. 曲线2x
y e x =+在点(0,1)处的切线方程是 ________________.
14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若530S =,且45316a a -=,则数列{}n a 的公差是________.
15. 若向量(1,4)AC =,(,1)BC a =,且AC AB ⊥,则实数a 的值是_____.
16.已知函数()21
2 1
x x f x x ⎧>=⎨≤⎩，， , 则满足()()212f x f x +>的x 的取值范围
是________.
三、解答题：本大题共6题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34a =,33S =.
(Ⅰ)求1a ,2a ;
(Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和. 判断n S ,n a ,1n S +-是否为等差数列,并说明理由.
18. (本小题满分12分)
已知2:12p m a m <+<+；q ：函数()2log =-f x x a 在区间1
(,4)4上有零点.
(Ⅰ)若1m =,求使()p q ⌝∧为真命题时实数a 的取值范围；
(Ⅱ)若p 是q 成立的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.
19. (本小题满分12分)
已知函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤<,满足3()12f π
ω
=,且函数()y f x =图象上相
邻两个对称中心间的距离为π. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式；
(Ⅱ)若(,)2πθπ∈--,
且()4f πθ-=,求tan()4πθ+的值.
20.(本小题满分12分)
在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且
222()sin (sin sin )a b C c C B -⋅=⋅-. (Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)若1a =,求ABC ∆周长l 的最大值.
21. (本小题满分12分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n S a =-. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若2211log 2n n b a +=,且数列{}n b 的前n 项和为n T ,求12
11
1
n
T T T ++
+
.
22. (本小题满分12分)
已知函数()ln ()f x a x x a R =-∈.
(Ⅰ)若3是()f x 的一个极值点,求函数()f x 表达式, 并求出()f x 的单调区间； (Ⅱ)若(0,1]x ∈,证明当2a ≤时,()10f x x
+≥.
2018-2019学年度第一学期八县(市)一中期中联考
高中三年文科数学试卷(答案)
一．选择题：(各5分, 共60分) 二. 填空题
(各5分,
共20分)
13.
310x y -+= ； 14. 4； 15. 13； 16. 1
(,)2
+∞.
三、解答题：共70分
17. 解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公比为q ,则
212
14(1)3a q a q q ⎧=⎨++=⎩ …………………………………2分 解得2q =-, ……………………………………3分
11a = ……………………………………4分 212a a q ∴==- ……………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,2q =-,11a =
则1(1)1(2)11
(2)1333
n n n n a q S q ---===--- ………………………7分
数列n S ,n a ,1n S +-是等差数列,证明如下： ………………………8分 n S 11()(2)2n n n n n S a a q a a +++-=-=-=-⋅-=,
n S ∴,n a ,1n S +-成等差数列 ……………………………………10分
18.解：(Ⅰ)当1m =时,:02p a <<, ……………1分 则:0p a ⌝≤或2a ≥ ……………2分
函数()2
log =-f x x a 在区间1
(,4)4上单调递增 ……………3分 且函数()2log =-f x x a 在区间1
(,4)4
上有零点
()1()0440f f ⎧<⎪∴⎨⎪>⎩
解得 22a -<<,则:22q a -<<. ………………5分
()p q ⌝
∧为真命题,02
22a a a ≤≥⎧∴⎨-<<⎩
或 解得20a -<≤
则a 的取值范围是(2,0]-. ………………6分
(Ⅱ)2:11p m a m -<<+,:22q a -<<,且p 是q 成立的充分条件
212
(1)12
(2)m m -≥-⎧∴⎨+≤⎩ ………………8分
11m ∴-≤≤ ………………10分 又因为p 是q 成立的不必要条件,所以(1)、(2)等号不能同时成立
1m ∴≠- ………………11分 综上得,实数m 的取值范围是(1,1]-. ………………12分
19. 解：(Ⅰ)∵
3()12f πω=, 3cos()12
π
ϕ∴+=,即sin 1ϕ=, ………………………………2分
又0ϕπ≤<, 2
π
ϕ∴=
. ……………………………………3分 ∵函数()y f x =图象上相邻两个对称中心间的距离为π.
122π
πω
∴⋅=, 1ω∴=, ……………………………………5分 则()cos()sin 2
f x x x π
=+=-. ……………………………………6分
(Ⅱ)
∵()
4
f πθ-
=sin()4πθ∴-= ……………………7分
θθ=
……………………8分 即 cos()4πθ+=……………………9分
(,)2
πθπ∈--, 3444πππ
θ∴-
<+<- ……………………10分 sin(
)4πθ∴+== ………………………11分
则sin()4tan()24cos()
4π
θπθπθ++===-+ …………………………12分 20.解：(Ⅰ)由正弦定理得,222()()a b c c c b -⋅=⋅- ………………1分 0c ≠ 222b c a bc ∴+-= ………………2分
2221
cos 22
b c a A bc +-∴== ………………4分
又在ABC ∆中,0A π<< ………………5分
3
A π
∴= . ………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)及1a =,得
221b c bc +=+,即2()31b c bc +=+ ………………8分
因为2
()2b c bc +≤,(当且仅当b c =时等号成立) ………………9分 所以223
()()14
b c b c +≤++.
则2b c +≤(当且仅当1b c ==时等号成立) ……………11分
所以l =3a b c ++≤.
则当1b c ==时,ABC ∆周长l 取得最大值3. ……………12分
法二:(Ⅱ
)由正弦定理得b B =,c C = …………8分
则l =21sin(B)]3a b c π++=+-12sin(B )6
π
=++ ……10分
因为2(0,)3B π∈,所以5666B πππ
<+< ………………11分
当3
B π
=时,ABC ∆的周长l 取得最大值3. ………………12分
21. 解：(Ⅰ)由已知,
当2n ≥时,11(22)(22)n n n n n a S S a a --=-=--- ………………1分 即()122n n a a n -=≥. ………………3分 又当1n =时,1122a a =-,即120a =≠ ………………4分
()122n n a
n a -∴=≥
所以{}n a 是以2为首项,公比为2的等比数列,则2n n a =. ……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,2121211
log 2222
n n n b n ++===+ …………7分
11n n b b +∴-=, 则{}n b 是以3
2
为首项,公差为1的等差数列
3521(2)
2222
n n n n T ++∴=+++=
. ……………8分 所以12111n T T T +++()2222132435
2n n =++++⨯⨯⨯+ …………9分
1111111
(1)()()()324352n n =-+-+-++-+ ……………10分
111
1212n n =+--
++ ………………11分 311323
2122(1)(2)
n n n n n +=--=-
++++ ………………12分 22. 解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(0)+∞，
, ………………1分 ()1a
f x x
'=-. ………………2分
由题设知,()30f '=,所以3a =. ………………3分 经检验3a =满足已知条件,
从而()3ln f x x x =-. ()331x
f x x x
-'=-= ………………4分
当03x <<时,()0f x '>；当3x >时,()0f x '<.
所以()f x 单调递增区间是(03)，
,递减区间是(3)+∞，. …………6分 (Ⅱ)设()()11
ln g x f x a x x x x =+=-+,(0,1]x ∈
则()222
11
1a x ax g x x x x
-+'=--=- ……………7分 ⑴当0a ≤时,(0,1]x ∈,1
ln 0,0x x x
∴≤-≥
()0g x ∴≥,即()
1
0f x x
+≥ ……………9分 ⑵当02a <≤时,
2
104a -≥ ()2
22()1240a a x g x x -+-
'∴=-≤ ………………10分 ()g x ∴在区间(0,1]上单调递减
()()10g x g ∴≥=,即()1
0f x x
+
≥ ………………11分 综上得, 当(0,1]x ∈且2a ≤时,()1
0f x x
+≥成立. ……………12分
(Ⅱ)解法二：⑴若1x =,则()1f x =-
()1
110f x x
∴+=-+= ……………7分
⑵若01x <<,则ln 0x <
当2a ≤时,()111
ln 2ln f x a x x x x x x x +=-+≥-+ ……………9分
设()1
2ln g x x x x
=-+,(0,1)x ∈
()2
22
21(1)10x g x x x x -'∴=--=-< ………………10分
()g x ∴在区间(0,1]上单调递减
()()10g x g ∴>=,则()1
0f x x
+> ………………11分
综上得, 当(0,1]x ∈且2a ≤时,()
1
0f x x
+≥成立. ………………12分。