第5章附有条件的条件平差

按求条件极值的方法组成新的函数： 按求条件极值的方法组成新的函数： T ˆ ˆ Φ = V T PV − 2 K T ( AV + Bx − W ) − 2 K S (Cx − W x ) 分别对
V
和
ˆ x
求一阶偏导数并令一阶偏导数为零，得 求一阶偏导数并令一阶偏导数为零，
n×n n×1
∂Φ = 2V T P − 2 K T A = 0 ∂V
− − N bb = B T N aa1 B We = B T N aa1W u×u
u ×1
ˆ N bb x − C T K s − We = 0
− ˆ x = N bb1 (C T K s + We )
(d )
6
第五章 附有条件的条件平差
§5-2 精度评定
一、单位权方差估值的计算公式
V T PV V T PV ˆ σ = = r c−u + s
u×c c×1 u ×s s×1
基础方 程
B T K+ C T K S= 0
u ×c c×1
u× s
s×u u ×1
ˆ C x − Wx = 0
s×1
s×1
由（3 ）得： 改正数方 程 V = P −1 AT K = QAT K
n×1
法方程
法方程的矩阵形式： 法方程的矩阵形式：
代入（1）： 代入（
c×n n×n n×c
2010-11-15
− ˆ V T PV = W T N aa1W − WeT x + W xT K s
7
第五章 附有条件的条件平差
§5-2 精度评定
二、各种向量的协因数阵
ˆ ˆ 基本向量： L，W，X，K，K s，V，L 基本向量：
推导过程（部分）： 推导过程（部分）： Qww = AQll AT = N aa
2 0
而
所以 顾及
BT K + C T K S = 0
u×c c×1 u× s s×1
ˆ ˆ V T PV = W T K + x T C T K s = W T K + (Cx ) T K s
s×u u ×1
ˆ C x − Wx = 0
s×1
V PV = W K + W K s
T T T x
− ˆ V T PV = W T N aa1W − WeT x + W xT K s
∂Φ T = −2 K T B − 2 K S C = 0 ˆ ∂x 2010-11-15
P V − AT K = 0
n×c c×1
s×1 u× s
BT K + C T K S = 0
u×c c×1
第五章 附有条件的条件平差
§5-1 基础方程和它的解
二、基础方程和它的解
c×n n×1
s×u u ×1
4
第五章 附有条件的条件平差
§5-1 基础方程和它的解
二、基础方程和它的解
法方程的解： 法方程的解：
K N aa x = BT ˆ K s 0 B 0 0 CT C 0
−1
法方程
ˆ N aa K + B x − W = 0
− We = B T N aa1W
已知： 已知： QLL = Q = P 函数关系式： 函数关系式： L = EL
−1
− − − QWeWe = B T N aa1 N aa N aa1 B = B T N aa1 B = N bb
− − − − Q XX = ( N bb1 − N bb1C T N cc1CN bb1 ) N bb ˆˆ
ˆ A P −1 AT K + B x − W = 0
c×u u×1 c×1
令：
N aa = AP −1 AT
2010-11-15
N aa BT 0
B 0 K W ˆ 0 C T x − 0 = 0 C 0 K s Wx
ˆ N aa K + B x − W = 0
N cc = CN C
−1 bb
−1 bb
T
B T K+ C T K S = 0
u ×c c×1
u× s
s×u u ×1
c×c c×1
c×u u ×1
c×1
(a)
N cc K s + CN We − W x = 0
ˆ C x − Wx = 0
s×1
s×1
(b)
− − N bb = B T N aa1 B We = B T N aa1W u×u
u ×1
ˆ N bb x − C T K s − We = 0
− ˆ x = N bb1 (C T K s + We )
这是采用矩阵形式一次性求解的方法， 这是采用矩阵形式一次性求解的方法， 下面给出X 下面给出X和V的显性形式： 2010-11-15 的显性形式：
W 0 W x
c×c c×1 c×u u ×1
c×1
(a)
B T K+ C T K S = 0
u ×c c×1
u× s
s×u u ×1
ˆ C x − Wx = 0
s×1
s×1
(b)
(c )
将K代入改正数方程，求V： 代入改正数方程， V = P −1 AT K = QAT K
s×u u ×1
C ~ − Wx = 0 x
s×1
非线性形式
2010-11-15
线性形式
函数模型
2
第五章 附有条件的条件平差
§5-1 基础方程和它的解
二、基础方程和它的 u ×1 c×1
和
ˆ x
代入上式， 代入上式，则
W = −( AL + BX 0 + A0 )
c×1
S ×1
~ ~ F (L , X ) = 0
c×n n×1
~ ~ A L + B X + A0 = 0
c×u u ×1 c×1
~ Φ(X ) = 0
s×u u×1
~ C X + C0 = 0
s×1
~ X = X0 +~ x
~ L = L+∆
c×n n×1
A ∆ + B ~ −W = 0 x
c×u u ×1 c×1
u×1
− − − − ( N bb1 − N bb1C T N cc1CN bb1 ) T
W = −( AL + BX + A0 ) = − AL + W
0
0
− − − − − − = ( E − N bb1C T N cc1C )( N bb1 − N bb1C T N cc1CN bb1 )
− − − − − − − = ( N bb1 − N bb1C T N cc1CN bb1 − N bb1C T N cc1CN bb1 +
(c )
K s = N (W x − CN We )
−1 cc
−1 bb
− ˆ 由（a)得： K = N aa1 (W − Bx) a)得
T −1 T ˆ 代入(b): 代入(b): B N aa (W − Bx) + C K s = 0
− − − − − − ˆ x = ( N bb1 − N bb1C T N cc1CN bb1 )We + N bb1C T N cc1W x
V T PV = W T K + W xT K s
考虑到： 考虑到：
− ˆ K = N aa1 (W − Bx)
推证如下： 推证如下： 因为
V =P A K
T n×1 −1
− ˆ V T PV = W T N aa1 (W − Bx ) + WxT K s −1 −1 ˆ = W T N aaW − W T N aa Bx + WxT K s
~ ~ ~ （5-1-3） ~ F ( L , X ) = 0，线性形式为：AL + BX + A0 = 0
~ ~ Φ( X ) = 0，线性形式为：CX + C 0 = 0
前三类方程中都含有观测量或同时含有观测量和未知参数， 前三类方程中都含有观测量或同时含有观测量和未知参数，而最后一种方程则只 含有未知参数而无观测量，为了便于区别起见，特将前三类方程统称为一般条件 含有未知参数而无观测量，为了便于区别起见，特将前三类方程统称为一般条件 方程，而最后一类条件方程称为限制条件方程 限制条件方程。 方程，而最后一类条件方程称为限制条件方程。 条件平差：不选未知数； 条件平差：不选未知数；
第五章 附有条件的条件平差
§5-1 基础方程和它的解
一、四种方法的综述
从函数模型上看，四种平差方法总共包含如下四类的方程： 从函数模型上看，四种平差方法总共包含如下四类的方程：
~ ~ F ( L ) = 0，线性形式为：AL + A0 = 0 ~ ~ ~ ~ （5-1-1） X + d L = F ( X )，线性形式为： L（5-1-2） =B
n×1
− ˆ 由（a)得： K = N aa1 (W − Bx) a)得
T −1 T ˆ 代入(b): 代入(b): B N aa (W − Bx) + C K s = 0
求平差值： 求平差值：
ˆ L = L +V
ˆ ˆ X = X0 +x
改正数方 程
即： 令： 则：
− − ˆ B T N aa1 Bx − C T K s − B T N aa1W = 0
所以V T PV = V T P( P −1 AT K ) = V T AT K = ( AV )T K 而
c×n n×1
− We = B T N aa1W u ×1
ˆ A V + B x −W = 0
c×u u ×1 c×1
所以 V T PV = (W − Bx) T K = W T K − x T B T K ˆ ˆ
c×n n×1
s×u u ×1
ˆ A V + B x −W = 0
ˆ C x − Wx = 0
s×1
函数模型
W x = −(CX 0 + C 0 )
如何求解？按最小二乘原理： 如何求解？按最小二乘原理：
Φ = V T PV = min
与函数模型 联合称为： 联合称为： 基础方程 求解它可以 得到解
3
n×n n×1
T
续左： 续左：
ˆ A V + B x −W = 0
c×u u ×1 c×1
(1)
( 2)
ˆ C x − Wx = 0
P V−A K =0
n×c c×1
T
ˆ N aa K + B x − W = 0
c×c c×1 c×u u ×1
c×1
s×1 T
(3)
(4)
B K + C KS = 0
即： 令： 则：
− − ˆ B T N aa1 Bx − C T K s − B T N aa1W = 0
求改正数V 求改正数V： − ˆ V = P −1 AT N aa1 (W − Bx ) 实际计算时，列出函数模型后， 实际计算时，列出函数模型后，便计算 Naa Nbb2010-11-15 及其逆阵，代入上式即可 Ncc We 及其逆阵， 。
(d )
5
第五章 附有条件的条件平差
§5-1 基础方程和它的解
续右
CN − （d)代入（c）： bb1 (C T K s + We ) − W x = 0 d)代入（ 代入
法方程
即： 令： 有： 得： 代入（d): 代入（
− − CN bb1C T K s + CN bb1We − W x = 0
− − − − − N bb1C T N cc1CN bb1C T N cc1CN bb1 )
2010-11-15
间接平差：u=t 且独立 间接平差：
附有参数的条件平差：u<t 且独立； 附有条件的间接平差：u>t 且包含t个独立 且独立； 附有条件的间接平差： 且包含t 附有参数的条件平差：
1
第五章 附有条件的条件平差
§5-1 基础方程和它的解
二、基础方程和它的解
但在很多情况下，即使我们选了u<t u=t个参数 但它们之间却是相关的， 但在很多情况下，即使我们选了u<t或u=t个参数，但它们之间却是相关的，即使 u<t或 个参数， 我们选择了u>t个参数，也不一定就包含t个独立参数，那么针对这种情况， u>t个参数 我们选择了u>t个参数，也不一定就包含t个独立参数，那么针对这种情况，采用 什么样的函数模型和平差方法，正是本章所要讨论的内容。 什么样的函数模型和平差方法，正是本章所要讨论的内容。 附有条件的条件平差的模型建立方法 该方法也要增选 个参数， 附有条件的条件平差的模型建立方法，该方法也要增选u个参数，方程的总数为 模型建立方法， 增选u r+u个 如果在u个参数中有s个是不独立的，或者说在这u个参数中存在着s r+u个。如果在u个参数中有s个是不独立的，或者说在这u个参数中存在着s个函 数关系式，则建立平差模型时应列出s个限制条件方程，除此之外再列出c=r+u c=r+u数关系式，则建立平差模型时应列出s个限制条件方程，除此之外再列出c=r+u-s 个一般条件方程，因此方程总数也可以认为是c+s c+s个 形成如下的函数模型： 个一般条件方程，因此方程总数也可以认为是c+s个，形成如下的函数模型：