湖州市2018届高考科目适应性考试

湖州市2018届高考科目适应性考试
数学试题卷
注意事项：
1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
第 Ⅰ 卷 （选择题，共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合{}123A =，，，{}
2
0B x x x =∈-=R ，则A
B =
A ．{}1
B ．{}01，
C ．{}123，，
D ．{}0123，，， 2．若复数z 满足方程(1)z z i =+(i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数z 对应的点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．一个棱锥的三视图如图（单位：cm ），则该棱锥的表面积是
A ．4+2cm
B ．4+2
cm
C ．
4
3
2cm D ．2+2
cm
4.下列命题正确的是
A ．若平面α内存在无数条直线平行于直线l ，则直线l 平行于平面α；
B ．若平面α内存在无数条直线垂直于直线l ，则直线l 垂直于平面α；
C ．若平面α内存在无数条直线平行于平面β，则平面α平行于平面β；
D ．若平面α内存在无数条直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β. 5．在()()()()5
6
1819
1111x x x x -+-+
+-+-的展开式中，含3
x 的项的系数是
A. 4840 B ．4840- C ．3871 D ．3871-
俯视图
侧视图
(第3题图)
6．已知实数x ，y 满足27025>0,x y x y x y +-≥⎧⎪+-⎪
⎨∈⎪⎪∈⎩N N ，，，
则34x y +的最小值是
A ．19
B ．17
C ．16
D ．14
7．已知函数[]1()()cos f x x x x x ππ=-⋅∈-，，且0x ≠，则下列描述正确的是 A ．函数()f x 为偶函数 B ．函数()f x 在()0π，上有最大值无最小值 C ．函数()f x 有2个不同的零点 D ．函数()f x 在()0π-，上单调递减
8．已知,R a b ∈，随机变量ξ满足()P x ax b ξ==+()1,0,1x =-．若1
3
E ξ=， 则()2
E D ξξ+=
A ．13
B ．2
3
C ．1
D ．43
9. 如图，已知三棱锥D ABC -满足AC >AB >BC ，D 在底面的投影O 为ABC ∆的外心，分别记直线DO 与平面ABD 、ACD 、BCD 所成的角为,,αβγ，则 A. αβγ<< B. αγβ<< C. αγβ<< D. βαγ<<
10. 正方体1111ABCD A B C D -
动点P 满足12PB PC +=，则1AP AD ⋅的取值范围是
A ．[]0,4
B ．[]1,4 C
．0,⎡⎣ D
．1,⎡⎣
(第9题图)
第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共110分）
注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）
11．双曲线2
214
x y -=的实轴长是 ▲ ，焦点到渐近线的距离是 ▲ ． 12．若实数1a b >>，且319log log 2
=
+a b b a ，则=a b log ▲ ，=3b
a
▲ ． 13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，63a S =，且k a a a ,,63成等比数列，
则=n S
▲ ，k
= ▲ ．
14．已知抛物线2:2C x y =，F 是其焦点，AB 是C 点A 的坐标为(2,2)-，点B 在第一象限上，且2BF =则直线AB 的斜率为 ▲ ，ABF ∆15．将不同颜色的2个小球放入5则三个空盒中恰有两个空盒相邻的方法共有 ▲ 种.（用数字回答） 16．在ABC ∆中，3
π
=
A ，3=BC ，点D 在线段BC 上，且DC BD 2=，
则AD 的最大值是 ▲ .
17．已知函数()()R ∈++=b a b ax x x f ,3
，若对任意的[]1,0,21∈x x ，
()()21212x x x f x f -≤-恒成立，则a 的取值范围是 ▲ .
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．(本小题满分14分)已知函数2()sin cos 2
f x x x x ωωω=
--
（0ω>） 的最小正周期为π. （Ⅰ）求(
)12
f π
的值；
（Ⅱ）当7[0,
]12
x π
∈时，求()f x 的单调区间及取值范围. 19. (本小题满分15分)
如图，三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为1，111AC B C ⊥．
（Ⅰ）求证：1A B AC ⊥； （Ⅱ）若11A B =，求直线11AC 和平面11ABB A
20．(本小题满分15分) 已知函数()()01>-=
-x x
e
x f x
．
（Ⅰ）求函数()x f 的单调区间； （Ⅱ）求证：()()02>>-x e x f x
．
21．(本小题满分15分)
椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
2
，其右焦点到椭圆C 外一点)1,2(P 的
距离为2，不过原点．．．．O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 的长度为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求AOB ∆面积S 的最大值.
22．(本小题满分15分)
设数列{}n a 满足0>n a ，)(12
1*
+∈-+=
N n n a na a n n n ，记n n a a a S +++= 21． （Ⅰ）证明：当*∈N n 时，1
+=
n n a n S ； （Ⅱ）证明：当*∈N n 且2≥n 时，n S n ≥．
2018年5月高三数学调研测试卷参考答案
一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只
(第19
题图)1
（第19题图）
有一项是符合题目要求的。

二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.4， 1 ； 12.3，1；
13.22n n + ，12； 14.12， 22
1131252416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
15.12； 16.13+； 17.[]
1,2--．
三、解答题:本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．(本题满分14分)
已知函数2()sin cos 2
f x x x x ωωω=
--
（0ω>） 的最小正周期为π. （Ⅰ）求(
)12
f π
的值；（Ⅱ）当7[0,
]12
x π
∈时，求()f x 的单调区间及取值范围. 解：
（Ⅰ）1()sin 22f x x ω=
…………………………2分
1
sin 222
x x ωω=
-cos(2)6x πω=+…………………4分
22T π
πω
=
=，1ω∴=.……………………5分 ()cos(2)6
f x x π
∴=+…………………………6分
1
(
)122
f π
∴=
………………………………7分
（Ⅱ）当7[0,]12x π∈时，42[,]663x πππ
+∈……………………8分 ∴当2[,]66x πππ+∈即5[0,]12
x π
∈时()f x 单调递减，所以()f x 的减区间为
5[0,]12
π
,……10分
当42[,
]6
3x π
ππ+
∈即57[,]1212
x ππ
∈时()f x 单调递增，所以()f x 的增区间为57[
,]1212
ππ
,…12分
()[f x ∴∈-.…………………………14分 19．（本题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为1，111AC B C ⊥． （Ⅰ）求证：1A B AC ⊥；
（Ⅱ）若11A B =，求直线11AC 和平面11ABB A 所成角的余弦值． 19.（Ⅰ）证明：取AC 中点O ，连接BO O A ,1，
AC BO ⊥∴………………………………………2分
连接1AB 交1A B 于点
M ，连接OM ，则1//B C OM 11//AC AC ，111AC
B C ⊥ AC OM ∴⊥； ……………………………4分
又
1O OM A B ⊆面，⊆OB 面BO A 1，
BO A AC 1面⊥∴，………………6分
所以，1A B AC ⊥. …………………………………7分 （Ⅱ）
11//AC AC ∴直线11AC 和平面11ABB A 所成的角等于直线
AC 和平面11ABB A 所成的角.……………8分
因为三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为1，故11AB B A ⊥
，
11111A B AB A B AC A B AB C ⊥⊥∴⊥,面，
111AB C ABB A ∴⊥面面.…………………………………10分
1111
AB C ABB A AB =面面，
111AC ABB A AB ∴在平面的射影为，
1B AC ∴∠为直线AC 和平面11ABB A 所成的角.…………12分
12AB AM ===
由于C B C A 111⊥，所以C B AC 1⊥，∴在1Rt ACB ∆
中，11cos 3AC B AC AB ∠=
==
. ∴直线AC 和平面11ABB A 所成角的余弦值为
33
. 即直线11AC 和平面11
ABB A 所成的角的余弦值为3
. ……………………15分
(第19
题图)1
（第19题图）
1
20.(本题满分15分)已知函数()()01>-=
-x x
e x
f x
．
（Ⅰ）求函数()x f 的单调区间；（Ⅱ）求证：()()02
>>-x e x f x
．
考点分析：1.导数的概念及求导公式；2.导数在研究函数中的应用；
解：（Ⅰ）已知函数()()01>-=
-x x
e x
f x
，导函数为()f x 'x x
e
x e
x 21-+=． ..............3分
令()1--=x e x h x
，()1-='x
e x h ，
当0<x 时，()01<-='x
e x h ；当0>x 时，()01>-='x
e x h ，
所以()()00min ==h x h ，即1+≥x e x
，当且仅当0=x 时等号成立.
由已知0>x ，得1+>x e x
，
012<-+x
x
e x e x ，所以()0<'x
f . ...............6分 所以，函数()x f 的单调递减区间为()+∞,0. ...............7分 (Ⅱ)()()02
>>-x e x f x 等价于()0012><-+--x xe e x
x ...............9分
令()12
-+=--x x
xe e
x g ，0>x ，
()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-='-----12212222
x e e e x e
e x g x
x x x x
，..............12分 由第1小题，易得12
2
+->-x
e
x
，所以，()0<'x g . ..............14分
所以，当0>x 时，有()g x ()00=<g ，即()00
12
><-+-
-x xe
e x x
，
故()()02
>>-x e
x f x . ..............15分
21. (本小题共15分)
椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
2
，其右焦点到椭圆C 外一点)1,2(P 的距
离为2，不过原点．．．．O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 的长度为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求AOB ∆面积S 的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆右焦点为()0,c ，则由题意得
()⎪
⎩⎪⎨⎧==+-,22
,
21222a
c c 得⎩⎨
⎧==,
2,
1a c 或 ⎩⎨
⎧==,
23,3a c （舍去）…………4分
所以椭圆方程为12
22
=+y x ． …………5分 (Ⅱ)方法一：
因为线段AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A O B 、、能构成三角形，直线l 不过原．．．点．O ，则弦AB 不能与x 轴垂直，故可设直线AB 的方程为y kx m =+，
由22
,1.2
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，并整理，得 222(12)4220k x kmx m +++-=. …………7分
设),(11y x A ，),(22y x B ，又2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+->,
所以122412km x x k +=-+，2122
2(1)
12m x x k -=+ …………9分
因为2||=AB ,所以2))(1(2122=-+x x k ，即4]4))[(1(212
122=-++x x x x k
所以2
22
22
48(1)(1)41212km m k k k ⎡⎤-⎛⎫+--=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，即2212(1)1m k =-+， …………11分
因为2
11k +≥，所以
21
12
m ≤<．
又点O 到直线AB 的距离h =
，因为1
||2
S AB h =
⋅h =，
所以22
S h =222(1)m m =-2
2
11
2()2
2
m =--+
…………14分 所以2
102S <≤
，即S
． …………15分 (Ⅱ)方法二：
因为线段AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A O B 、、能构成三角形，直线l 不过．．原．点．O ，则弦AB 不能与x 轴垂直，故可设直线AB 的方程为y kx m =+，
由22
12
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理，得222
(12)4220k x kmx m +++-=. 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，又2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+->，
所以122412km x x k +=-+，2122
2(1)
12m x x k
-=+. …………9分 因为||2AB =
2=.
因为221212(1)()44k x x x x ⎡⎤++-=⎣⎦，所以2
22
2248(1)(1)41212km m k k k ⎡⎤-⎛⎫+--=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦
， …
11分
所以22
221
2(1)k m k +=+，又点O 到直线AB
的距离h =，所以1||2S AB h =⋅h =. 所以2
2
S h =2
21m k =+()2221212k k ++=
()
2
2212111k k +-+=. 设211t k =
+，则
2
21(01)2
S t t t =-+<≤， …………14分 所以2
102S <≤
，即S
的最大值为2
． …………15分 22．(本题满分15分)设数列{}n a 满足0>n a ，)(1
2
1*
+∈-+=
N n n a na a n n n ，记
n n a a a S +++= 21．
（Ⅰ）证明：当*∈N n 时，1
+=
n n a n
S ； （Ⅱ）证明：当*∈N n 且2≥n 时，n S n ≥． 解：（Ⅰ）因为)(1
2
1*
+∈-+=
N n n a na a n n n ， 所以)(1
12
1*+∈-+=-+=N n a n a a n a a n n
n n n n ，……………3分
故)(1
1*+∈--=N n a n a n a n
n n ，……………5分 所
以
1
12312211.1201++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n n n n a n
a n a n a a a a a a a S ．……………7分
也可用数学归纳法证明1
+=
n n a n
S ，酌情给分． （Ⅱ）下面用数学归纳法证明：当*∈N n 且2≥n 时，n S n >． （1）当2=n 时，01
1
2>=
a a ，显然2111212≥+=+=a a a a S ，命题成立．
（2）假设2,≥=k k n （*
∈N k ）时，k S k ≥成立，……………9分 那么1+=k n 时，因为11+++=k k k a S S ，
若11≥+k a ，则111+≥+=++k a S S k k k ．……………11分 若101<<+k a ，则11
111111
1+++++++++-=+=
+=k k k k k k k k a a a k a a k a S S ，
高三数学调研卷（共4页）——第 11 页 因为101<<+k a ，所以111->-+k a k k ，且2111>+++k k a a ，……………13分 故()12111+=+->+=++k k a S S k k k ． ……………14分 由（1）、（2）可知，对一切*∈N n 且2≥n 时，n S n ≥成立． ……………15分 也可用利用第一小题结论1
+=
n n a n S ，再去证明()31≥≤n a n 成立，酌情给分．。