2014届高考数学(重庆专用理科)一轮复习题库2.7《幂函数》Word版含解析

课时作业10 幂函数
一、选择题
1．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭
⎫2，22，则f (4)的值为( )． A ．16 B ．116 C ．12
D ．2 2．设12＜⎝⎛⎭⎫12b ＜⎝⎛⎭
⎫12a ＜1，则下列不等关系成立的是( )． A ．a a ＜a b ＜b a B ．a a ＜b a ＜a b
C ．a b ＜a a ＜b a
D ．a b ＜b a ＜a a
3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )．
A ．y ＝x 3
B ．y ＝cos x
C ．y ＝1x
2 D ．y ＝ln |x | 4．设2535a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，3525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25
25c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a
5．下列说法正确的是( )．
A ．幂函数一定是奇函数或偶函数
B ．任意两个幂函数图象都有两个以上交点
C ．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个幂函数相同
D ．图象不经过(－1,1)的幂函数一定不是偶函数
6．幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如下图所示)，那么幂函数12
y
=x 的图象经过的“区域”是
( )．
A ．④，⑦
B ．④，⑧
C ．③，⑧
D ．①，⑤ 7．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)
＝3，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于( )． A ．－3 B ．－13 C ．3 D ．13
二、填空题 8．若函数f (x )＝1
21
2,0,2,0,3,0,
x x x x x -⎧>⎪⎪-=⎨⎪⎪(+)<⎩则f (f (f (0)))＝__________．
9．若249
a a y x －－＝是偶函数，且在(0，＋∞)内是减函数，则整数a 的值是__________．
10．给出下列四个命题：
①函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与函数y ＝log a a x (a ＞0，且a ≠1)的定义域相同；
②函数y ＝x 3与y ＝3x 的值域相同；
③函数y ＝12＋12x －1与y ＝(1＋2x )2x ·2x
都是奇函数； ④函数y ＝(x －1)2与y ＝2x －1在区间[0，＋∞)上都是增函数．
其中正确命题的序号是__________．
三、解答题
11．已知f (x )＝(m 2＋m )·221m m x
－－，当m 取什么值时， (1)f (x )是正比例函数；
(2)f (x )是反比例函数；
(3)在第一象限内它的图象是上升曲线．
12．函数f (x )＝2x 和g (x )＝x 3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜x 2．
(1)请指出示意图中曲线C 1，C 2分别对应哪一个函数？
(2)若x 1∈[a ，a ＋1]，x 2∈[b ，b ＋1]，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a ，b 的值，并说明理由；
(3)结合函数图象示意图，请把f (8)，g (8)，f (2 011)，g (2 011)四个数按从小到大的顺序排列．
参考答案
一、选择题
1．C 解析：由已知，得
22＝2α， 即2α＝1
22-，∴α＝－12
， ∴f (x )＝1
2
x -． ∴f (4)＝12
4-＝12
． 2．C 解析：12＜⎝⎛⎭⎫12b ＜⎝⎛⎭⎫12a ＜1⇒1＞b ＞a ＞0，在A 和B 中，y ＝a x (0＜a ＜1)在定义域内是单调递减的，则a a ＞a b ，所以结论不成立；在C 中，y ＝x n (n ＞0)在(0，＋∞)内是单调递增的，又a ＜b ，则a a ＜b a ，即a b ＜a a ＜b a ．
3．D 解析：y ＝x 3是奇函数，排除A 选项；y ＝cos x 在(0，＋∞)不单调，排除B ；y ＝1x
2＝x －2在(0，＋∞)单调递减，排除C ．故选D ．
4．A 解析：构造指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x (x ∈R )，
由该函数在定义域内单调递减，所以b ＜c ；
又y ＝⎝⎛⎭⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝⎛⎭⎫35x (x ∈R )之间有如下结论成立： 当x ＞0时，有⎝⎛⎭⎫35x ＞⎝⎛⎭⎫25x ， 故2535⎛⎫
⎪⎝⎭＞25
25⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴a ＞c ，故a ＞c ＞b ．
5．D
6．D 解析：对幂函数y ＝x α，当α∈(0,1)时，其图象在x ∈(0,1)的部分在直线y ＝x 上方，且图象过点(1,1)，当x ＞1时其图象在直线y ＝x 下方，故经过第①⑤两个“卦限”．
7．D 解析：依题意设f (x )＝x α(α∈R )，则有4α2
α＝3，即2α＝3，得α＝log 23，则f (x )＝2log 3x ，于是f ⎝⎛⎭⎫12＝2log 3
12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2log 32-＝21log 32＝13
． 二、填空题
8．1 解析：f (f (f (0)))＝f (f (－2))＝f (1)＝1．
9．1,3,5或－1 解析：由题意得，a 2－4a －9应为负偶数，
即a 2－4a －9＝(a －2)2－13＝－2k (k ∈N *)，(a －2)2＝13－2k ，
当k ＝2时，a ＝5或－1；
当k ＝6时，a ＝3或1．
10．①③ 解析：①中y ＝a x 与y ＝log a a x ＝x 的定义域均为R ；
②中y ＝x 3的值域为R ，而y ＝3x 的值域为(0，＋∞)；
③y ＝12＋12x －1
是奇函数， y ＝(1＋2x )2x ·2x ＝1x (2x ＋12
x ＋2)也是奇函数； ④y ＝(x －1)2在[0，＋∞)上不单调，y ＝2x －1在[0，＋∞)上是单调递增函数，故①③正确．
三、解答题
11．解：(1)由题意知
⎩
⎪⎨⎪⎧ m 2＋m ≠0，m 2－2m －1＝－1，解得m ＝1±3． (2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋m ≠0，m 2－2m －1＝－1， 解得m ＝0(舍)或2，∴m ＝2．
(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋m >0，m 2－2m －1>0， 解得m ∈(－∞，－1)∪(1＋2，＋∞)．
12．解：(1)由题中图象可知C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x ．
(2)a ＝1，b ＝9，
因为f (1)＝2＞g (1)＝1，
f (2)＝4＜
g (2)＝8，
所以x 1∈[1,2]，即a ＝1．
f (3)＝8＜
g (3)＝27，f (4)＝16＜g (4)＝64，f (5)＝32＜g (5)＝125，…，f (9)＝512＜g (9)＝729，f (10)＝1 024＞g (10)＝1 000，
所以x 2∈[9,10]，即b ＝9．
(3)由题意可得，f (8)＜g (8)＜g (2 011)＜f (2 011)．。