2021-2022年高二下学期第三次学情调查数学(文)试题 含答案

2021年高二下学期第三次学情调查数学（文）试题含答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答
案直接填空在答题卡相应位置上
．．．．．．．．．
1．已知集合A＝{1,3,9}，B＝{1,5,9}，则AB＝．
2．已知复数满足，则．
3．写出命题“”的否定：．
4．函数的定义域为 .
5．已知角的终边经过点,且,则的值为
6．“”是“”成立的（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）条件．
7．我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比是1:4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为．
8．在R上定义运算⊙：⊙，则关于实数的不等式：⊙的解集
．．为．
9．曲线在点(1，1)处的切线方程为．
10．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，则不等式的解集为．11．若是R上的单调减函数，则实数的取值范围为．
12．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]=1，[﹣1.5]=﹣2．若x0是函数f（x）=lnx﹣的零点，则[x0]= ．
13．已知，满足，不等式恒成立，则实数的取值范围是．
14．已知函数，，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为．
二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题14分）已知复数满足：.
复数满足：.
（1）求复数，；
（2）在复平面内，O为坐标原点，记复数，对应的点分别为A , B. 求△OAB的面积.
16.已知在△ABC中，．
（1）若，求；
（2）若，求的值．
17．（本小题满分14分）
设命题函数定义域为；
命题不等式对任意恒成立．
（1）如果是真命题，求实数的取值范围；
（2）如果命题“或”为真命题且“且”为假命题，求实数的取值范围．
18．（本小题满分16分）
我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g （x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．
（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N*）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？
19.本小题满分16分）已知函数
（1）判定并证明函数的奇偶性；
（2）试证明在定义域内恒成立；
（3）当时，恒成立，求m的取值范围.
20．（本小题满分16分）
已知（），（）.
（1）求函数的单调区间；
（2）设，讨论函数的图象与直线（）公共点的个数；（3）若数列的各项均为正数，，
在时，（），求证：.
高二数学（文科）试卷(参考答案)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1． 2． 3． 4．
5．10 6．“充分不必要7．1:27 8． 9． 10． 11． [12
，＋∞) 12．2 13．解：，()414551y x y x x y x y x y x
y ⎛⎫⎛⎫∴-=--=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤， 当且仅当即解得.令，则，
不等式在时恒成立.
当时，显然不成立；当时，恒成立，即，
所以，解得，则实数的取值范围是.
14．已知函数，，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、解：（1）由得，所以可设 ………………2分
∴， 解得 ∴
………………4分 而，∴ ………………7分
（2）由（1）知，又
由得， ………………11分
∴, ∴
∴△OAB 的面积
………………14分 16.解:（1）由条件，得 ．
． …………………………………………3分
化简，得 ．
．……………………………………………………………………………6分 又， ． ………………………………………………………………7分
（2），
sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B ∴+=-．
化简，得 ．…………………………………………………11分
又 ，
．又
．……………………………………………………………………………14分
17．（本小题满分14分）
设命题函数定义域为；
命题不等式对任意恒成立．
（1）如果是真命题，求实数的取值范围；
（2）如果命题“或”为真命题且“且”为假命题，求实数的取值范围．
解：（1）由题意对任意恒成立，
当时，不符题意，舍去；
当时，则，所以实数的取值范围是．（6分）
（2）设，，，
当为真命题时，有，（9分）
∵命题“或”为真命题且“且”为假命题，∴与一个为真，一个为假，
当真假，则，无解，（12分）
当假真，则．（13分）
综上，实数的取值范围是．（14分）
19．解：（1）依题意有p（x）=f（x）•g（x）
=（8+）（143﹣|x﹣22|）（1≤x≤30，x∈N*）
=；……6分
（2）①当1≤x≤22，x∈N*时，
p（x）=8x++976≥2+976=1152（当且仅当x=11时，等号成立）
∴p（x）min=p（11）=1152（千元），…………10分
②当22＜x≤30，x∈N*时，
p（x）=﹣8x++1312，
考察函数y=﹣8x+，可知函数y=﹣8x+在（22，30]上单调递减，
∴p（x）min=p（30）=1116（千元），…………14分
又1152＞1116，
∴日最低收入为1116千元．
该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（万元）．∵803.52（万元）＞800（万元），
∴该村在两年内能收回全部投资成本．…………16分
19.19. 解：（1）为偶函数，证明如下：
定义域为关于原点对称，……2分
对于任意有
()11212111()()()212212212
x x x x x f x x x x --+-=-+=-=---- 1111(1)()()212212
x x x x f x =+-=+=--成立 所以为偶函数 ……5分
（2）因为定义域为：，
当时，
，，恒成立， ……7分
当时，所以，由（1）可知： ……9分
综上所述，在定义域内恒成立 ……10分
（3）恒成立对恒成立，
∴ ，∴ ，
令
证明在[1,3]上为减函数,
∴对恒成立 ∴
所以m 的取值范围是 …………16分
20．（本小题满分16分）
已知（），（）.
（1）求函数的单调区间；
（2）设，讨论函数的图象与直线（）公共点的个数；
（3）若数列的各项均为正数，，
在时，（），求证：.
解：（1）求导，由得.
当时，；当时，.
所以函数在上是增函数，在上是减函数.（4分）
（2）当时，函数的图象与直线（）公共点的个数等价于曲线与直线 （）公共点的个数. 令，则，所以.
当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数.
所以，在上的最大值为，
且，.
如图：于是
① 当时，函数的图象与直线（）有2个公共点；
② 当时，函数的图象与直线（）有1个公共点；
③ 当时，函数的图象与直线（）有0个公共点.
（10分） （3）由题意，正项数列满足：，
由（Ⅰ）知：，即有不等式（）
由已知条件知，1ln 21221n n n n n n a a a a a a +=++≤-++=+，
故，所以当时，，，，，，以上格式相乘得: ，又，故，即，对也成立.所以有（）（）. （16分）。