立体几何(初步)测试题

是两个平面，直线 l , l . 若以① l ，② l // ，③ 中两个为 7、已知 、
条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是（ ） （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个 答案:C 8．已知 ， 是平面， m ， n 是直线，给出下列结论： ①若 m ， m ，则 ． ②若 m ， n ， m ∥ ， n ∥ ，则 ∥ ． ③如果 m , n , m 、 n 是异面直线，那么 n与 相交． ④若 m ， n ∥ m ，且 n , n ，则 n ∥ 且 n ∥ ． 其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D.0 答案:B 9．下面给出四个命题： ①若平面 α∥平面 β，AB，CD 是夹在 α，β 间的线段，若 AB∥CD，则 AB＝CD；②若 a，b 是异面直线，b，c 是异面直线，则 a，c 一定是异面直线；③过空间任一点，可以做无数条 直线和已知平面 α 平行； ④平面 α∥平面 β， P∈α， PQ∥β， 则 PQ⊂α.其中正确的命题是( A．①② 答案 D B．①②③ C．①②④ D．①④ )

则 P 到 BC 的距离为( ) A. 5 2 答案: C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上． 13．设 x，y，z 是 空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若 x⊥z，且 y⊥z，则 x∥y”为真命题 的是_________ ． B. 5 3 C.
20、正三棱柱 ABC A B C 的底边长为 a 的正三角
形，
在侧棱 BB 上截取
BD
a 2 ，在侧棱 CC 上截取 CE= a ，
（1）求证：平面 ADE 平面 ACC A ； （2）求 ADE 的面积
王新敞
奎屯
新疆
证明、 （1）分别取 AE, AC 中点 F , G ，连结 DF , FG, BG ，
平面ACE，
所以 BD ^ 平面ACE, „„„„„„„„„„„„„„„8 分 而 BD Ì 平面BDE, 所以， 平面ACE ^ 平面BDE, 且平面ACE ? 平面BDE 因为 CG ^ EO, CG ? 平面ACE， 所以 CG ^ 平面BDE ,„„„„„„„„„„„„ 10 分 故在线段 EO 上存在点 G ，使 CG ^ 平面BDE . 由 G 为 EO 中点，得 18（本小题满分 12 分） 如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在 互 相 垂 直 ， △ ABE 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 平面
5 5
D. 5
(填所有正确条件的代号) ①x 为直线，y，z 为平面；②x，y，z 为平面；③x，y 为直线，z 为平面；④x，y 为 平面， z 为直线；⑤x，y，z 为直线． 答案 : ①③④ 14．正三棱台的上、下底面边长及高分别为 1、2、2，则它的斜高为________． 答案 7 3 6 斜高＝
3 2 2 7 3 ×2－1 ＋2 ＝ 6 .
15、下面是关于三棱锥的四个命题： ①各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥。 ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。 ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。 ④底面是矩形的平行六面体是长方体。 其中，真命题的编号是______________。 （写出所有真命题的编号） 答案 ③ 16、如图，平面 // ，线段 AB 分别交于，线段 AD 分别交 , 于 M、N，线段 AD 分 别交 、 于 C、D，线段 BF 分别交 、 于 F、E，若 AM=9，MN=11，NB=15， SFMC
立体几何初步测试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．已知两直线 m、n，两平面 α 、β ，且 m⊥α ，n⊂β ，下面有四个命题： ①若 α ∥β ，则 m⊥n； ②若 m⊥n，则 α ∥β ；
③若 m∥n，则有 α ⊥β ； ④若 α ⊥β ，则有 m∥n. 其中正确命题的个数是( A．0 B．1 ) C．2 D．3
∵平面 ADB⊥平面 ABC，OD⊂平面 ABD， 平面 ADB∩平面 ABC＝AB，∴OD⊥平面 ABC. ∵OC⊂平面 ABC，∴OD⊥OC. 在等边三角形 ABD 中，AB＝2，∴OD＝ 3. 在△ABC 中，AC＝BC＝ 2，AB＝2，∴OC＝1. 在 Rt△COD 中，CD＝ OC2＋OD2＝2. (2)当△ADB 转动的过程中，总有 OC⊥AB，OD⊥AB， ∴AB⊥平面 COD，∴AB⊥CD. 当△ADB 转动到与△ABC 共面时，仍有 AB⊥CD， 故△ADB 转动过程中，总有 AB⊥CD.
4.已知平面 外不共线的三点 A, B, B 到 的距离都相等，则正确的结论是 （ ） A．平面 ABC 必不垂直于 B.平面 ABC 必平行于
C.平面 ABC 必与 相交 答案:D
D.存在 ABC 的一条中位线平行于 或在 内
5、直线 l 是平面 M 的一条斜线（直线 l 与平面 M 相交，但不垂直） ，在直线 l 上任取两点， 在 M 上任取三点，则五点最多可以确定面（ ） A．6 个 B．7 个 C．9 个 答案:C 6．正四棱台的两底面的边长分别为 3 和 5，则它的中截面面积为( A．4 B．9 C．16 D．25 3＋5 答案: C 中截面的边长 ＝4，故 S＝4×4＝16. 2 D．10 个 )
BE 的中点.
（1）求证： DE ∥平面 ACF ； （2）若 AB =
2CE, 在线段 EO 上是否存在
使 CG 垂直平面 BDE？若存在，求出 答案: （1）连接 OF .
EG 的值，若不存在，请说明理由． EO
E F G C D O A B
由 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 中点. 又 F 为 BE 的中点， 所以 OF ∥ DE . „„„2 分 又 OF 趟平面ACF , DE 所以 DE ∥平面 ACF .
）
答案: B 设正四棱锥 S－ABCD 的高为 SO，如下图，过 O 作 OE⊥BC 于 E，则 E 为 BC 中 点，连接 OB，∴SO⊥OB，SO⊥OE.
∵BC＝4，∴BE＝OE＝2，∴OB＝2 2. 在 Rt△SOB 中，SO＝ SB2－OB2＝ 2 32－2 22＝2. 在 Rt△SOE 中，SE＝ SO2＋OE2＝ 22＋22＝2 2， ∴此棱锥的高为 2，斜高为 2 2. 9、 已知平行四边形 ABCD 中， AB BD， BCA= 30 ， AC=20 ， PA=5， 且 PA 面 ABCD，
如图，四棱锥 C1—AA1B1B 的棱长为 a，则高 h1＝
三棱锥 C—ABC1 棱长为 a，则 h2＝
6 a， 3 2 6 6 a: a: a＝ 2 3 3
而三棱柱 ABC—A1B1C1 的高等于三棱锥 C—ABC1 的高，故 h1:h2:h3＝ 3:2:2.
11.已知正四棱锥的底面边长为 4，侧棱长为 2 3，则它的高与斜高的长分别为（ A．2 2、2 2 B．2、 2 2 C．2、2 D．4 2、2

A B A E ，

所以 AEB 45 又因为 AEF 45 ，所以 FEB 45 45 90 ，
即 EF ⊥ BE B ,所以 EF ⊥平面 BCE 。
„„„„„„„„„6 分
（Ⅱ）存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时，PM∥平面 BCE 取 BE 的中点 N，连接 AN,MN，则 MN∥＝ 所以 PMNC 为平行四边形，所以 PM∥CN 因为 CN 在平面 BCE 内，PM 不在平面 BCE 内， 所以 PM∥平面 BCE „„„„„„„„„„„„„„12 分
答案: C ①③正确． 2．如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AP＝AB，BP＝BC ＝2，E，F 分别是 PB，PC 的中点．求三棱锥 EABC 的体积 V. 1 2 1 A． . B．1 C． D． 3 2 2
答案：A
连接 AE，AC，EC，过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G， 1 则 EG⊥平面 ABCD，且 EG＝ PA. 2 在△PAB 中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2， 2 ∴AP＝AB＝ 2，EG＝ . 2 1 1 ∴S△ABC＝ AB· BC＝ × 2×2＝ 2. 2 2 1 ∴VE­ABC＝ S△ABC·EG 3 1 2 1 ＝ × 2× ＝ . 3 2 3 3.已知平面α 及α 外一条直线 m,下列命题中不正确的个数为( ) ①若 m 垂直α 内两条平行直线，则 m⊥α ②若 m 垂直α 内所有直线，则 m⊥α ③若 m 垂直α 内两条相交直线，则 m⊥α ④若 m 垂直α 内无数条线，则 m⊥α ⑤若 m 垂直α 内任意一条直线，则 m⊥α A．0 答案: C B．1 ②③⑤正确 C．2 D．3
EO，
EG 1 = . „„„„„„„„„„„ 12 分 EO 2
AB
A ,E F A , FE
A 4 E 5F
（I）求证： EF 平面BCE ； （II）设线段 CD 的中点为 P ，在直线 AE 上是否存在一点 M ，使得 PM∥平面 BCE ？若 存在，请指出点 M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； 解法一： （Ⅰ） 因为平面 ABEF ⊥平面 ABCD , BC 平 面 ABCD ， 平面 ABEF 平面 ABCD AB ， 所以 BC ⊥平面 ABEF 所以 BC ⊥ EF . 因为 ABE 为等腰直角三角形，
①中四边形 ABCD 是平行四边形，故①正确． ②中 a 与 c 的关系不能确定，可能平行、相交或异面，故②错误． ③中当空间内的任一点在平面 α 内时，则不成立，故③错误．
10．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且 底面边长与各侧棱长相等． 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等， 设四棱锥、 三棱锥、 三棱柱的高分别为 h1、h2、h3，则 h1:h2:h3 等于( A. 3 :1:1 答案 B B. 3 :2:2 C. 3 :2: 2 ) D. 3 :2: 3 a2－ 2 2 2 ＝ a， 2 a 2
78 ，
END 的面积
答案 100 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） E 在四棱锥 E - ABCD 中，底面 ABCD 是正 方形， AC与BD交于点O, EC 垂直底面 F C O D A 点G ， B
ABCD,F 为
1 AB ∥＝PC 2
19．(2011· 陕西扶风县法门高中模块检测)如图，A、B、C、D 是空间四点，在△ABC 中， AB＝2，AC＝BC＝ 2，等边△ADB 所在的平面以 AB 为轴可转动．
(1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时，求 CD 的长； (2)当△ADB 转动过程中，是否总有 AB⊥CD？请证明你的结论． 证明 (1)设 AB 中点为 O，连接 OC、OD，则 OD⊥AB，
平面ACF ,
„„„„4 分 .
G ^ 平面 B D E (2) 在线段 EO 上存在点 G ， 使C
理由如下： 如
图， 取 EO 中点 G ， 连接 CG .在四棱锥 E - ABCD 中，AB =
2CE, CO =
2 AB = CE ， 2
所以 CG ^ EO .„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 分 又由 EC ^ 底面ABCD，BD ? 底面ABCD，所以 EC ^ BD, 由 ABCD 是正方形可知, AC ^ BD, 又 AC 翘 EC =C, AC,EC