河北省保定市第一高级中学2018-2019学年高二数学文期末试卷含解析

河北省保定市第一高级中学2018-2019学年高二数学文
期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
2. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（）
A B C D
参考答案：
A
3. 若变量满足约束条件，则的最小值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
4. 下列函数是奇函数的是（）
A．f（x）=x2+2|x| B．f（x）=x?sin x C．f（x）=2x+2﹣x D．f（x）=
参考答案：
D
【分析】运用奇偶性的定义，逐一判断即可得到结论．
【解答】解：A，f（x）=x2+2|x|，由f（﹣x）=x2+2|﹣x|=f（x），为偶函数；
B，f（x）=x?sinx，由f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；
C，f（x）=2x+2﹣x，由f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），为偶函数；
D，f（x）=，由f（﹣x）==﹣=﹣f（x），为奇函数．
故选：D．
5. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）
A．B．C．4 D．
参考答案：
B
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．
【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）
∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，
∴2+=3
∴p=2
∴抛物线方程为y2=4x
∵M（2，y0）
∴
∴|OM|=
故选B．
6. 函数f（x）=x﹣x3的递增区间为（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）
参考答案：
B
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求函数导数，令导数大于等于0，解得x的范围就是函数的单调增区间．
【解答】解：对函数y=x﹣x3求导，得，y′=1﹣x2，
令y′＞0，即1﹣x2＞0，解得，﹣1＜x＜1
∴函数y=x﹣x3的递增区间为（﹣1，1），
故选：B．
7. 直线t为参数)被曲线所截的弦长是
A. B. C. D.
参考答案：
C
本题主要考查参数方程与极坐标，考查了参直与极直互化、参数的几何意义、弦长公式.化简可得，即，再将公式===代
入上式可得,将代入上式可得,设t1,t2分别为两个交点的参数，则，,则弦长
=
8. 设m，n是自然数，条件甲：m3+n3是偶数；条件乙：m﹣n是偶数，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】阅读型；定义法；简易逻辑．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若m3+n3是偶数，则m，n同时是奇数或者同时是偶数，则此时m﹣n是偶数成立，
若m﹣n是偶数，则m，n同时是奇数或者同时是偶数，则m3+n3是偶数成立，
故甲是乙的充要条件，
故选：C
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查学生的推理能力，比较基础．9. 已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：（，）的左、右焦
点，双曲线C上一点P满足，且，则双曲线C的离心率为（）
A. B. 2 C. D.
参考答案：
D
设P为双曲线右支上一点,=m,=n,|F1F2|=2c，
由双曲线定义可得m?n=2a，
点P满足,可得m2+n2=4c2，
即有(m?n)2+2mn=4c2，
又mn=2a2，
可得4a2+4a2=4c2，
即有c=a，
则离心率e=
故选：D .
10. 下列函数是偶函数的是（）
①f（x）=lg|x|；②f（x）=e x+e﹣x；③f（x）=x2（x∈N）；④f（x）=x﹣．
A．①②B．①③C．②④D．①④
参考答案：
A
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】利用偶函数的定义，分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①f（﹣x）=lg|﹣x|=lg|x|=f（x），所以函数是偶函数；
②f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），所以函数是偶函数；
③f（x）=x2（x∈N）定义域不关于原点对称，不是偶函数；
④f（x）=x﹣=x﹣|x|，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数．
故选A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，则sinα=．
参考答案：
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题；函数思想；直线与圆．
【分析】求出倾斜角的正切函数值，利用同角三角函数的基本关系式求解即可．
【解答】解：直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，可得tanα=，α是锐角．
即：=，又sin2α+cos2α=1，解得sinα=．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的倾斜角与同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．12. 某中学高中部有三个年级，其中高一年级有学生400人，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，那么高中部的学生数为
_________.
参考答案：
900
【分析】
由样本容量为45，及高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，得在高一年级抽取样本容
量为20，又因为高一年级有学生400人，故高中部学生人数为人
【详解】因为抽取样本容量为45，且高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，那么高一
年级抽取人，设高中部学生数为，则，得
人
13. 已知集合,集合,且,则___________.
参考答案：
14. 若的二项展开式中，的系数为则二项式系数最大的项
为
参考答案：
略
15. 复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为．参考答案：
1
因为，复数（是虚数单位）是纯虚数，
所以，，解得，，
故答案为1.
16. 某班有52有,男女各半,男女各自平均分成两组,从这个班中选出4人参加某项活动,这4人恰好来自不同的组别的概率是__________.
参考答案：
17. 若平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），则l与α所成角的正弦值为．
参考答案：
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【分析】设l与α所成角为θ，由sinθ=|cos＜＞|，能求出l与α所成角的正弦值．
【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），
设l与α所成角为θ，
则sinθ=|cos＜＞|===．
∴l与α所成角的正弦值为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）设函数，曲线过P（1,0），且在P 点处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）证明：
参考答案：
（1）
由已知条件得，解得
（2），由（1）知
设
则g/(x)=-1-2x+=-
而
19. 已知A、B是双曲线C：的左、右顶点，P是坐标平面上异于A、B的一点，设直线PA、PB的斜率分别为k1，k2.
求证：k1k2 =是P点在双曲线C上的充分必要条件.
参考答案：
证明：设P(x0,y0)，易知A (－2,0)，B (2,0)
（1）充分性：由k1k2 = 知：，
所以，即，
故点P在双曲线上；
（2）必要性：因为点P在双曲线C上，
所以，故
由已知x0≠±2，故k1k2 =
综上（1）（2）知k1k2 =是P点在双曲线C上的充分必要条件.
略
20. （本题12分）设函数
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于的方程有3个不同实根，求实数a的取值范围.
参考答案：
解:（Ⅰ）
∴当，
∴的单调递增区间是，单调递减区间是
当；当
（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知图象的大致形状及走向（图略）
∴当的图象有3个不同交点，
即方程有三解.
21. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和极坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为：，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于极点，且，求实数的值．参考答案：
（Ⅰ）；．（Ⅱ）或．
【分析】
（Ⅰ）由曲线的参数方程为，消去参数可得,
曲线的极坐标方程为,,可得，整理可得答案. (Ⅱ)由曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于极点，且，可得，，，，可得的值.
【详解】解：（Ⅰ），
（Ⅱ），联立极坐标方程，
得，，
，，
，或.
【点睛】本题主要考查简单曲线的极坐标方程及参数方程化为普通方程，注意运算的准确性.
22. （本小题满分12分）已知函数，在时取得极值．
（I）求函数的解析式；
（II）若时,恒成立，求实数m的取值范围；
（III）若，是否存在实数b，使得方程在区间上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由．
参考答案：
解：（I） (2)
依题意得，所以，从而 (4)
（II）令，得或（舍去），
当时，当
由讨论知在的极小值为；最大值为或，因为，所以最大值为，所以
………8分
（III）设,即，．
又，令，得；令，得．
所以函数的增区间，减区间．ks5u
要使方程有两个相异实根，则有
，解得……．．12分略。