风速情况下旋转斜抛球体的飞行轨迹分析

第41卷第3期玉林师范学院学报（自然科学）Vol.41,No.3 2020年6月Journal of Yulin Normal University(Natural Science)Jun.,2020
赵炳炎，刘伟俊，陈宗华.风速情况下旋转斜抛球体的飞行轨迹分析[J].玉林师范学院学报（自然科学），2020，41（3）:36-42.
风速情况下旋转斜抛球体的飞行轨迹分析
赵炳炎1，刘伟俊2*，陈宗华1
（1.玉林师范学院物理与电信工程学院，广西玉林537000；2.玉林师范学院体育健康学院，广西玉林537000）
摘要：本文建立了球体飞行时绕任意轴自旋情况下的动力学方程，分析球体在空气中飞行时的受力情况，并引入了风速影响，利用MATLAB软件编程对该动力学方程进行数值求解。

以高尔夫球为例，考虑了顺风、侧风、逆风对轨迹的影响，分别计算模拟了球体在几种典型自旋情况下的飞行轨迹。

本研究可为户外球类运动的理论研究提供一定参考。

关键词：旋转球体；香蕉球；电梯球；马格努斯力
中图分类号：O313.1文献标志码：A文章编号：1004-4671(2020)03-0036-07 DOI:10.13792/45-1300/z.2020.03.006
Analysis of the Flight Trajectory of a Spinning Oblique Sphere
under Wind Speed
Zhao Bingyan1,Liu Weijun2,Chen Zonghua1
（1.College of Physics and Telecommunications Engineering,Yulin Normal University,Yulin,Guangxi537000;
2.College of Sports and Health,Yulin Normal University,Yulin,Guangxi537000）
Abstract:This paper establishes the dynamic equation of the sphere spinning around any axis when flying,analyzes the force of the sphere flying in the air,and introduces the influence of wind speed.The dynamic equation is solved numerically by MATLAB software programming.Taking golf as an example and with the influence of tailwind,crosswind,and headwind on the trajectory considered,the flight trajectory of the sphere under several typical spin conditions is calculated and simulated.This article can provide a reference for the theoretical research of outdoor ball sports.
Key words:rotating ball;banana ball;elevator ball;Magnus force
在球类运动中，球体的飞行轨迹变化多端，如足球运动中的“香蕉球”，“电梯球”；棒球运动中“诡异的曲线球”，乒乓球运动中的各种“旋球”等，这是因为球体飞行时除了受重力作用，还会与空气有相互作用。

当前国内对球体飞行轨迹的研究中，均考虑了空气阻力和自旋产生的马格努斯力。

一般只考虑特殊自旋方向和马格努斯力均不变的几种情况，但缺乏对风速因素影响的探讨[1-5]。

球体实际飞行时，速度和自旋可产生各种方向，有时风速对轨迹的影响很大，且空气的阻力系数与升力系数也会随着速度和自旋变化。

而在室外球类运动中，风速的对球体飞行轨迹的影响不可忽略。

为了彻底分析和理解球体的各种飞行轨迹，本文对飞行球体绕任意轴自转时所受到的各种力进行建模分析，并在考虑风速影响的情况下，建立动力学方程。

利用MATLAB软件，对该动力学方程进行数值求解，并分析球体的飞行轨迹。

为了验证方程的实用性，本文以高尔夫球为例，分析了高尔夫球开球飞出后在多种情况下的各种轨迹，以期为研发各类发球机提供理论参考。

1旋转球体在空气中运动的动力学特征
球体在空气中飞行时，既受到重力作用又受到空气的浮力的作用，重力方向竖直向下，浮力方向竖直向上，对于高尔夫球，浮力相对于重力可忽略，竖直方向的重力记为mg 。

球体在相对地面静止的空气中运动时会受到阻力的作用，由于球体的对称性，阻力的方向应该与球体的运动速度相反，记为F D。

如果球体收稿日期：2020-02-03
基金项目：国家自然科学基金项目(51561031)，玉林师范学院博士科研启动基金项目（G2*******），2018年玉林师范学院高等教育本科教学工程项目（2018XJJG10）。

作者简介：赵炳炎，男，讲师，硕士，研究方向：计算物理和理论物理。

通讯作者：刘伟俊，男，副教授，研究方向：体育教学与训练。

第3期
赵炳炎，等：风速情况下旋转斜抛球体的飞行轨迹分析37在飞行时还有自旋，则会受到马格努斯效应的影响，记为F M[1]。

如图1所示的下旋球情况。

图1飞行球体受力图
Fig.1Force diagram of flying ball
1.1空气阻力的模型分析
球体飞行时受到的空气阻力与速度方向相反，阻力大小正比于速度的平方[6]。

引入无量纲空气阻力常数C
，空气阻力可表示为：
d
F D=-12C dρSv2v v，(1)其中，S为球体的最大截面，ρ为空气密度，v 为球的速度，阻力常数C d与球的材料和表面光滑程度有关，还与球的飞行速度和自旋角速度都有关，不同球体在不同条件下的阻力常数需要大量实验去测得。

这里我们采用文献[7-9]中测得的高尔夫球的阻力常数关系：
C
d=0.30+2.58×10-4ω，(2)上式中，不同球体会有不同的阻力系数C d关系。

只要能测得这个关系，并将其代入到后面的动力学方程，均不影响求数值解的复杂度。

1.2球体绕任意轴自旋引起的升力
自旋飞行的球体会受到马格努斯效应的影响，由于各面流速不同，会产生压强差，如图1所示的下旋球的情况，旋转的球体在空气中飞行时，旋转方向迎着气流的一面流速减慢，而顺着气流的一面流速加快，根据伯努利方程：
p1+12ρv21=p2+12ρv22=c，(3)式（3）中，v1=v+ωR,v2=v-ωR，于是两面压力差产生一个垂直与ω 和v 的马格努斯力，其大小为
|F M|=S(p2-p1)
=12πR2ρ(v21-v22)=2πρR3vω.(4)引入无量纲升力系数C l归化参数，使其形式与式（1）一致，方向为F M~ω ×v ：
F M=12C lρSv2ω ×v |
|ω ×v ，(5)式（5）中，升力系数C l与球体表面结构、空气粘度、空气密度、飞行速度和旋转速度均有关，也需要大量实验测得。

对于高尔夫球可以采用文献[6-8]中的实验结果：
F
M=0.064(1-e-0.00026N)，
其中，的N为每分钟球体自转圈数，代入式（5）（空气密度ρ=1.29kg/m3，高尔夫球的截面积S=0.0014m2）得到升力系数与自旋角速度关系为：
玉林师范学院学报（自然科学）第41卷
C l =0.318(1-e -2.48×10-3ω).
(6)
对不同球体的升力系数讨论较多，均可直接代入动力学方程，并不增加求解的复杂程度。

1.3
风速的影响
首先选定相对地面静止的坐标系，球体飞行的速度为V
和风速为W 均为相对于该静止坐标系，其中风速随时间和位置变化用矢量函数W (x ,y ,z ,t )表示。

而1.1和1.2中讨论的速度v 均为球体相对于空气的速度为：
v =V
-W .(7)这样，式（1）和式（5）可变为：
F
D =-12
C d ρS |
|V -W ·(V -W )，(8)F M =12C l ρS |
|V -W ·éëêêùû
úúω ×(V
-W )ω.(9)
2球体飞行的动力学方程
建立三维直角坐标系OXYZ ，其中X 轴和Y 轴为水平方向，Z 轴为竖直方向，根据牛顿第二定律建立球体飞行的动力学方程：
m d 2r dt
2=mg -12C d ρS ||
V
-W ⋅()
V -W +12C l ρS |
|V -W ⋅éëêêùû
úúω ×(V
-W )ω.(10)
飞行过程中，速度、自旋角速度和风速可以分别投影到三维坐标轴上：
ìíîïï
ïïV =V x i +V y j +V z k
ω
=ωx i +ωy j +ωz k W =W x i
+W y j +W z k ，(11)
其中
ω ×v =|
|||||||
|
|i j
k
ωx
ωy
ωz V x -W x
V y -W y
V z -W z =[ωy (V z -W z )-ωz (V y -W y )]i +[ωz (V x -W x )-ωx (V z -W z )]j +[ωx (V y -W y )-ωy (V x -W x )]k
.(12)
将球体动力学方程分解到各坐标轴方向上，得到3个二阶常微分方程：
ìí
î
ïïïïïïïïï
ïïïïïïïïïïïïïïïïïïïd 2x dt
2=-12m C d ρS |
|V -W (V x -W x )+12m C l
ρS ||V -W éëêùûúωy (V z -W z )-ωz (V y -W y )ωd 2y dt
2
=-12m C d ρS |
|V -W (V y -W y )+12m C l ρS ||V -W éëêùûúωz (V x -W x )-ωx (V z -W z )ωd 2
z dt 2=-g -12m C d ρS |
|V -W (V z -W z )v z +12m C l
ρS |
|
V -W éëêùûúωx (V y -W y )-ωy (V x -W x )ω.(13)
其中
38
第3期ìíîïïïï|
|V -W =[](V x -W x )2+(V y -W y )2+(V z -W z )21
2ω=(ω2x +ω2y +ω2z )
12.(14)
该二阶常微分方程组无法直接求解析解，需用数值分析法来求数值解。

我们采用MATLAB 软件包中四阶龙格库塔算法函数ode45对该方程组进行降阶计算。

龙格库塔法降阶求数值解时，会得到6个待解方程，需要给出6个初始条件，即t =0时，x (0),y (0),z (0)和V x (0),V y (0),V z (0)。

此处，风速是用一个常矢量表示，虽然实际的风速并不均匀且多变，但只要能够获得风速的矢量函数表达式，再代入方程后，同样可求解。

另外，在编程计算时球体自旋角速度大小ω作为分母则不能取0，所以，在程序编程计算无自旋情况时，可直接消除马格努斯力一项。

3球体飞行轨迹模拟结果与分析
以高尔夫球为例，在不同初始条件、不同风速下，编程求解动力学方程组（13），并模拟出相应的轨迹。

高尔夫球是室外运动，球体质量较小，受到空气环境和风速的影响较大，可较好展示各种力和风速对球体飞行轨迹的影响。

选用的高尔夫球符合国际比赛标准：m =4.59×10-2kg ，S =1.4×10-3m 2。

由于球体可以绕任意轴旋转，风速方向较多，本文只对几种典型的自旋方向和风速情况讨论，自旋与风速命名如表1所示。

表1自旋与风速的命名
Tab.1The naming of spin and wind speed
自旋种类上旋下旋削球（右侧旋）削球（左侧旋）上旋右削球下旋左削球风速分类顺风逆风左侧风右侧风
ωx
000000W x
+W -W 00
ωy
+ω-ω00
+ω-ωW y
00
+W -W ωz
00
+ω-ω+ω-ωW z
0000
注：表中ω和W 分别表示自旋角速度大小和风速大小。

3.1上旋和下旋球体的飞行轨迹
球体上、下旋时，马格努斯力和重力、空气阻力均在一个平面上，球体不会发生侧向位移，球体的飞
行轨迹应该在XZ 平面内。

设球体从坐标原点以15°角向上，初速度V =50m/s 射出球体，假设自旋角速度大小为ω=314rad/s ，并将风速考虑进来，求解动力学方程（13），作竖直和前进方向的轨迹图2。

图2显示，15°角开球时，下旋球升力竖直方向上的分量基本向上，球体在空中飞行更长的时间，飞行距离比无旋增加20m 。

高尔夫球开球时一般均会选择使球体下旋的击球技术，以追求更大距离。

同时，由图2可见，即使微风对球飞行轨迹也会产生明显影响，下旋球飞行时间较长，受到风力的影响最大。

但如果以较大角度如60°开球，下旋球飞行的距离反而比无旋的要短（图3）。

这是因为大角度时，升力在水平方向上，阻力分量很大，即使空中飞行更长时间，但是水平向前的速度下降很快。

逆风时这种现象
赵炳炎，等：风速情况下旋转斜抛球体的飞行轨迹分析
39
玉林师范学院学报（自然科学）第41卷
更加明显，球体后段接近竖直下落，像电梯一样。

在一些球类运动中会运用到这种技术，比如篮球运动中，投篮时压腕产生下旋，篮球更容易入框。

上旋100
80
60
40
20
0510下旋无旋120
无风情况上、下旋的轨迹
x 前进/m
z 高度/m
上旋100
80
60
40
20
0510下旋无旋120
顺风对上、下旋轨迹的影响（风速：5.4m/s ）
x 前进/m
z 高度/m
上旋100
80
60
40
20
0510下旋
无旋120
逆风对上、下旋轨迹的影响（风速：5.4m/s ）
x 前进/m
z 高度/m
图2球体上、下旋时的运动轨迹图（风速为5.4m/s ）
Fig.2The trajectory of the ball spinning upward and downward (with wind speed at 5.4m/s)
图3出射角60°时下旋球的飞行轨迹
Fig.3The trajectory of the ball spinning downward at 60°angle
图4上旋、下旋、无旋球受到侧风影响时的轨迹
Fig.4The trajectories of topspin,backspin and Non-spin ball under the influence of crosswind
40
第3期图4给出的是有无侧风时[左侧风W =(0,5.4,0)，右侧风W =(0,-5.4,0)，无风W =(0,0,0)]考虑上旋ω=(0,314,0)、下旋ω=(0,-314,0)和无旋ω=(0,0,0)情况的轨迹图。

中间3条黑色线分别表示在风速为0时旋转速度方向为上、无和下旋的轨迹图；3条红色线是考虑右侧风情况下3种不同旋转的轨迹图；3条蓝色线是考虑左侧风情况下3种不同旋转的轨迹图。

侧风会吹动球体向着风速的方向发生侧移，但是因为空中停留时间较长，所以下旋球受风速影响较大。

3.2
侧旋球的飞行轨迹
图5为球体侧旋从坐标原点射出的轨迹，初速度和出射角与图2一致。

侧旋会产生一个侧向的马格努斯力，让轨迹在前进方向上转弯。

右旋ω=(0,0,300)会向左边偏转，左旋ω=(0,0,-300)
会向右边偏转。

图5球体左、右旋射出后的飞行轨迹
Fig.5The trajectories of the left-spin and right-spin ball
图6显示，相同初始条件时，自旋角速度越大，侧向的位移也会越大，“香蕉球”现象越明显。

所以当
ω值越大，马格鲁斯力前面的修正系数就越大，偏转效果越明显。

图6无风时不同自旋角速度的侧向位移轨迹图7风速对侧旋球侧移轨迹的影响
Fig.6Lateral displacement trajectories of different
Fig.7The influence of wind speed on the sideslip
of a spinning sphere
trajectoryspin angular velocities without wind
由图7可见，风速对球体侧移的影响，与实际情况也是相符的。

3.3
上旋右削球和下旋左削球的轨迹
只考虑无风的情况，如图8、9所示，下旋左削球，下旋产生的升力会让球体在空中飞行更长的时间，侧旋让球体向右侧移，侧移的距离较远，而且向左侧移动的距离也较大。

上旋右削球，球下落时间很快，虽然侧移的马格努斯力一样大，但是因为作用时间较短，所以侧移距离也较短。

赵炳炎，等：风速情况下旋转斜抛球体的飞行轨迹分析41
玉林师范学院学报（自然科学）第41
卷
图8上旋右削球和下旋左削球的轨迹
Fig.8The track of the top right slice and the bottom left
slice
图9上旋右削球和下旋左削球的轨迹俯视图
Fig.9Top view of the trajectory of top right and bottom left slice
4小结
（1）将空气与球体的相互作用模型简化成空气阻力和升力，并引入风速建立的动力学方程，可较好地
模拟出球体绕任意轴自旋时的飞行轨迹，结论与实际情况基本相符。

（2）本文讨论的风速均匀不变的情况，而实际的风速更为复杂，但只要能够给出风速场的函数W
=W
(x ,y ,z ,t )，代入动力学方程后，一样可利用MATLAB 软件求得数值解。

（3）以往的研究会把阻力系数和升力系数作为常数处理，自旋角速度的大小对飞行轨迹无影响。

本文在引入了修正的阻力系数和升力系数后，进一步探讨角速度大小对轨迹的影响。

本研究有助于从事各种球类运动的从业人员更好的理解球体飞行轨迹，同时也为各种发球机的研发提
供了理论依据。

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【责任编辑王开胜】
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