洛必达课件

x0
x0
利用 例5
e0 1
例8. 求
lim
x0
tan x x x2 sin x
.
0型 0
解: 注意到 ～
原式
lim
x0
tan x x3
x
lim
x0
sec2 x 3x2
1
lim
x0
tan2 x 3x2
sec2 x 1 tan2 x
1 3
例9. 求 lim n ( n n 1).
n
解: 原式
1
cos
x
～
1 2
x2
3. 求
解: 令 t 1 , 则 x
原式 lim
t0
1 2t 2 t2
1t 1
lim
(1
2
t
)
1 2
(1
t
)
1 2
t0
2t
lim
(1
2t
)
3 21 2ຫໍສະໝຸດ (1 t)
3 2
1
t0
2
4
5. 求下列极限 :
1) lim [x2 ln(1 1) x];
x
x
2)
lim
x0
1 x100
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
例4.
求 lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
从而 由(1)
xk xn xk 1
xk ex
xn ex
x k 1 ex
lim
x
xk ex
lim
x
xk 1 ex
0
lim
x
xn ex
0
用夹逼准则
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 的速度更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
例3. lim
x
ln x xn
0
(n 0).
而
例4.
lim
x
xn e x
(洛必达法则)
例2. 求
0型
0
解: 原式 lim
1
1 x
2
x
1 x2
lim
x
1
x
2
x
2
lim 2x x 2x
型
1
例3. 求
型
解:
1
原式
lim
x
x
n x n 1
lim
x
1 nxn
0
例4.
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
解: (1) n 为正整数的情形.
原式
lim
x
nxn1
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
2.
1
6
分析:
原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
0型
11
lim n2 (nn 1)
n
lim
n
1
en
ln
n
1
n
1 2
n
n
e
1 n
ln
n
1
eu 1～ u
lim
n
1 n
ln
n
n
1 2
lim
n
ln n
1
n2
0
内容小结
洛必达法则
型
f
g
1 g
1 f
1 g
1 f
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
令 y fg
取对数
0 型
f
g
f
1
g
思考与练习
3 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
lim 6x
x1 6x 2
lim 6 1 x1 6
二、 型未定式
定理 2.
2) f (x)与F (x) 在 (a)内可导, 3) lim f (x) 存在 (或为∞)
xa F (x) lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F (x)
0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例5. 求 lim xn ln x (n 0).
x0
解: 原式
lim
x0
ln x xn
1
lim
x0
n
x
x n 1
lim ( xn ) 0 x0 n
0 型
0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例6. 求 lim (sec x tan x).
解:
原式
=
lim ln[(1 x2 )2 x2 ] x0 sec x cos x
lim ln (1 x2 x4 ) lim x2 x4 x0 sec x cos x x0 sec x cos x
lim
2x 4x3
x0 sec x tan x
lim
x0
x sin
x
2 4x2 sec2 x 1
(洛必达法则)
洛必达法则
推论1. 定理 1 中x a 换为 x a ,
x ,
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
推论 2. 若 lim f (x) F ( x)
理1条件, 则
例1. 求
0型
0
解: 原式 lim 3x 2 3 x1 3x 2 2 x 1
lim 6x 3 x1 6x 2 2
第二节 洛必达法则
一、0 型未定式
0
二、 型未定式 三、其他未定式
第三章
本节研究:
函数之商的极限
( 或 型)
转化 洛必达法则
导数之商的极限
一、0 型未定式
0
定理 1.
2) f (x)与F (x) 在 (a)内可导,
3)
lim f (x) xa F (x)
存在 (或为
)
lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F (x)
2)
lim
x0
1 x100
e
1 x2
;
解:
令
t
1 x2
,
则
原式 = lim t50et
t
lim
t
t50 et
(用洛必达法则)
lim
t
50t 49 et
(继续用洛必达法则)
t
lim
50 et
!
0
3) lim ln(1 x x2 ) ln(1 x x2 )
x0
sec x cos x
e
1 x2
;
3) lim ln(1 x x2 ) ln(1 x x2 ).
x0
sec x cos x
解: 1) lim [x2 ln(1 1) x]
x
x
(令t 1) x
lim
t0
1 t2
ln(1
t
)
1 t
lim
t0
ln(1
t) t2
t
lim
1 1t
1
lim
t
1
t0 2t t0 2 t (1 t) 2
0
(n 0 , 0).
3) 若 lim f (x) 不存在 ( )时, F ( x)
lim f (x) lim f (x) .
F ( x)
F ( x)
例如, lim x sin x
lim 1 cos x
x x
x 1
极限不存在
lim (1 sin x) 1
x
x
三、其他未定式:
解决方法:
x2
型
解: 原式 lim ( 1 sin x ) lim 1 sin x x2 cos x cos x x2 cos x
lim cos x x2 sin x
0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例7. 求 lim x x.
x0
00 型
解: lim x x lim ex ln x