高中数学知识点求数列的通项公式

求数列的通项公式
知识要点：
求数列的通项公式是认识数列进而研究数列的关键，实际上，当数列的各项，如果能用项数n 的解析式来表示即：()a f n n =，找到这个解析式就得到了数列的各项，又因为数列是一类特殊的函数，作为函数来研究数列的性质时，若有解析式：()a f n n =，设法求得这个通项公式则与之有关的问题应刃而解。

由于数列的类型多，每个数列的通项公式表现是不同的，有的是“显性”在给出的数列中只要认真观察，联想便可得到，有的数列实际上是等差数列或等比数列，其通项公式已有定式，也有的数列其a n 与项数n 的规律必须从题目中设法挖掘出来。

为此，依求通项公式的方法可以有以下几种。

1、观察法：
一些数列给出前n 项便可归纳出通项公式，有的数列观察前几项便可分析出是等差数列或等比数列，由等差、等比数列的通项公式，直接写出通项公式。

如：写出下列各数列的一个通项公式：
①2，－6，18，－54，162，－486，……
这可以分析依等比数列（公比为（－3））的通项公式得到：
()a n n =--231 ②1121213131414151516-----，，，，，…… 观察规律：n a n ==-----123451121213131414151516………… 归纳得出：a n n n =-+111
③15，25，35，45，55，……
观察，数列各项间有：a a a a a a 21324310-=-=-==…
这是个等差数列：()a n n n =+-=+15110105
2、已知数列{}a n 的前n 项的和S n ，求通项公式a n 。

这是又一种数列的给出形式即：()S g n n =型一般是以a n 与S n 的关系考虑：
()a S a S S n n n n 1112==-≥-
如：已知数列{}a n 的前n 项的和S n n n =+-31求它的通项公式。

解法是：a S 111111==+-=
()()()[]n n n n n n a S a n n n =+---+--=-+===-+3321121111
332
2332此时∴为所求数列的通项公式
3、已知递推关系式求通项公式
如果一个数列若干项后的任一项都可以用与它相邻的前面若干项表示出来。

则这个关系式叫数列的递推公式。

如a a d n n +=+1（d 为常数）a ba d n n +=+1（b b d ≠0，,为常数）等等，它又分为以下几种类型：
①形如a a d n n +=+1 已知a 1求通项公式。

∵a a d n n +-=1 d 为常数，由等差数列的通项公式（d 为数列的公差）
得到()a a n d n =+-11
②形如a q a n n +=1· （q 为常数且q ≠0）a 1也已知
解法为：∵a a q n n +=1 ∴{}a n 是以a 1为首项，q 为公比的等比数列
∴a a q n n =-11·
③形如a ca d n n +=+1 （c d ≠10、，也为常数）a 1已知
解法是：在等式两边 同时加d c -1得 a d c c a d c n n ++-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪111然后设辅助数列 {}b a d c b cb b b a d c n n n n n =+-==+-+11111则则是以
为首项，c 为公比的等比数列 b b c n n =-11 ∴a b d c a d c c n n n =--=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111为所求的通项公式
如①已知数列{}a n 中()a a a n N n n 1123==+∈+,求通项公式。

解法为：∵a a n n +=+13
∴a a n n +-=13
则{}a n 是以a 12=为首项，3为公差的等差数列。

∴()a n n n =+-=-21331为所求的通项公式。

②又如，已知{}a n 中a 13=-且a a n n =+-211求此数列的，通项公式。

解法为：两边同加()12111211-=+=+-则a a n n
设b a n n =+1 ∵即b b n n =-21
∴{}b n 是以b a 1112=+=-为首项，2为公比的等比数列
()∴为所求的通项公式a b n n n n =-=--=---1221211
4、待定系数法求通项公式
在 数列的综合题中题解的主要方法是求数列的通项公式但通项公式的模式题中已答只需求出相关的待定系数便可时，使用的就是待定系数法。

5、归纳、猜想、证明。

有的数列很难用以上各法，求出通项公式时，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。

如：已知数列{}a n 中()a a a a n N n n n 1111
==+∈+且求数列的通项公式。

解法是：由a a a n n n +=+11
算出前几项分别为： a a a 234121314
===，，…… 猜想：a n
n =1 再由数学归纳法进行证明：
①n a ==111时等式成立
②假设n k =时等式成立，即a k
k =1 那么n k a a a k k
k k k k =+==+=+++11
111111 即n k =+1时等式也成立
综合①②对任意n N ∈都有a n
n =1成立。

另外此例也可用设辅助数列方法来求a n ，具体解法如下： ∵a a a n n n ++=11
∴11111a a a a n n n n
+=+=+
{}()设则∴是以为首项，为公差的等差数列
则∴b a b b b b a b n n
a b n
n n
n n n n n n ==+===+-===+1
1
1
11111
1
111
这个解法比用猜测证明的前面解法简便。

综上，各种数列求通项公式的方法因题设条件而定，比较灵活。