高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.1 充分条件与必要条件教案 北师大版选修2-1

1．2.1充分条件与必要条件
一、教学目标:1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
二、教学重点与难点
重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)
难点：判断命题的充分条件、必要条件
关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、创设情境
当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件. （二）、活动尝试
问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？
（1）若x＝y，则x2＝y2（2）若ab = 0，则a = 0（3）若x2>1，则x>1（4）若x＝1或x ＝2，则x2－3x＋2＝0
推断符号“⇒”的含义：“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p q.
简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）.
（三）、师生探究
命题(1)、 (4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“p⇒q”，命题(2)、（3）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“p q.”
说明：“p⇒q”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q 成立，即表示“p蕴含q”。

（四）、归纳概括
1.什么是充分条件？什么是必要条件？
一般地，如果已知p⇒q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果已知p⇒q，且q⇒p，那么就说：p是q的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知p，那么就说：p不是q的充分条件；q不是p的必要条件；
回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系.
命题(1)中因x＝y⇒ x2＝y2，所以“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件，“x2＝y2”是“x＝y”的必要条件；x2＝y2＝y，所以“x2＝y2”不是“x＝y”的充分条件，“x＝y”不是“x2＝y2”的必要条件；
命题(2)中因 a = 0⇒ ab = 0，，所以“a = 0”是“ab = 0”的充分条件.“ab = 0”是“a = 0”的必要条件. ab = 0 a = 0，所以“ab = 0”不是“a = 0”的充分条件，“a = 0”不是“ab = 02”的必要条件；
命题(3)中，因“x>1⇒x2>1”，所以“x>1”是x2>1的充分条件，“x2>1”是“x>1”的必要条件. x2>1 x>1，所以“x2>1”不是“x>1”的充分条件，“x>1”不是“x2>1”的必要条件.
命题4)中，因x＝1或x＝2⇔ x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要分条件.
由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即p⇒q，而q p.(2)必要不充分条件，即：p q，
而q⇒p.
(3)既充分又必要条件，即p⇒q，又有q⇒p.(4)既不充分又不必要条件，即p q，又有
q p.
2.充分条件与必要条件的判断：（1）直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）（2）利用等价命题关系判断：“p⇒q”的等价命题是“⌝q⇒⌝p”。

即“若┐q⇒┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必
要条件”。

（五）、巩固运用
例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
（1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0. （2） p：两条直线平行；q：内错角相等.
（3） p：a>b；q：a2>b2（4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形.
分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.
解：⑴由p⇒q，即x-1=0⇒(x-1)(x+2)=0，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.
⑵由p⇒q，即两条直线平行⇔内错角相等，知p是q的充要条件，q是p的充要条件；
⑶由p，即a>b2>b2，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；q，即a2>b2a>b，知q不是p的充分条件，p不是q的必要条件.综述：p是q的既不充分条件又不必要条件。

⑷由q⇒ p，即四边形是正四边形⇒四边形的四条边相等，知q是p的充分条件，p是q 的必要条件. 由p q，即四边形的四条边相等四边形是正四边形，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；综述：p是q的必要不充分条件。

以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.
例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：
⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”
的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.
⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”
的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.
解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色⇒B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是
“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵如图2⑴，∵“红点在B内⇒红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是
“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”.
∵“B不为绿色⇒ A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；
“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点
不在A内⇒红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明. 先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即p⇒q）的形式.
再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q⇒┐p）的形式.
总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.
例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.
给定两个条件p ,q，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：A={x|x满足条件q},B={x |x满足条件p}①A⊆B,则p为q的充分条件，q为p的必要条件；②B⊆A, 则p为q的充要条件，q为p的充要条件；
（六）、回顾反思
本节主要学习了推断符号“⇒”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.（1）若p⇒q（或若┐q⇒┐p），则p是q的充分条件；若q⇒p （或若┐p⇒┐q），则p是q的必要条件.（2）条件是相互的；（3）p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；
③ p是q的充要条件；④ p是q的既不充分也不必要条件。

（七）、练习巩固：P12 练习第1、2、3、4题
（八）、作业： P14：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题
注：（1）条件是相互的；（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；③ p是q的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件．
五、教后反思：。