新高中数学二轮核心突破专三 立体几何 空间几何体的表面积和体积配套精选

专题三立体几何
第1讲空间几何体的外表积和体积
高考定位简单几何体的外表积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问
真题感悟
12021·全国Ⅰ卷A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆假设⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，那么球O的外表积为
π π π π
解析如下图，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以错误!＝2r，解得AB＝2错误!，故OO1＝2错误!，所以R2＝OO错误!＋r2＝2错误!2＋22＝16，所以球O的外表积S ＝4πR2＝
答案A
22021·全国Ⅲ卷圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥内半径最大的球的体积为________
解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，，如下图，那么△2为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，那么这个圆锥的底面半径单位：cm是__________解析如图，设圆锥的母线长为，底面半径为r，那么圆锥的侧面积S侧＝πr＝2π，即r·＝2由于侧面展开图为半圆，可知错误!π2＝2π，可得＝2，因此r＝1
答案1
7如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，那么四棱锥A1－BB1D1D的体积
为________
解析法一连接A1C1交B1D1于点E，那么A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，那么A1E ⊥平面BB1D1D，所以A1E为四棱锥A1－BB1D1D的高，且A1E＝错误!，矩形BB1D1D的长和宽分别为错误!，1，故VA1－BB1D1D＝错误!×1×错误!×错误!＝错误!法二连接BD1，将四棱锥A1－BB1D1D分成两个三棱锥B－A1DD1与B－A1B1D1，VA1－BB1D1D＝VB－A1DD1＋VB－A1B1D1＝错误!×错误!×1×1×1＋错误!×错误!×1×1×1＝错误!
答案错误!
82021·沈阳一监农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽籺〞，故称“角黍〞，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原如图1的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图2的粽子形状的六面体，那么该六面体的体积为________；假设该六面体内有一球，那么该球的体积的最大值为________
解析由对称性可知该六面体是由两个全等的正四面体合成的，正四面体的棱长为1，那么正四面体的高为错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!为∥平面ABD的体积
1证明取N，AN
∵M为N∥BC且MN＝错误!BC，
又AD∥BC，且AD＝错误!BC，得MNAD∴ADMN为平行四边形，∴DM∥AN 又AN⊂平面⊄平面∥平面－ABD＝错误!·S△ABD·错误!PO＝错误!
B级能力突破
112021·全国Ⅰ卷三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，那么球O的体积为
π π
π π
解析因为点E，F分别为P A，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE
取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，
所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面P AC，所以PB⊥平面P AC，所以PB⊥P A，PB⊥PC，因为P A＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以P A⊥PC，即P A，PB，PC两两垂直，将三棱锥P－＝2，所以该正方体的棱长为错误!，所以该正方体的体对角线长为错误!，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝错误!所以球O的体积V＝错误!πR3＝错误!π错误!错误!＝错误!π
答案D
122021·江南十校联考如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝错误!，△P AB为等腰直角三角形，P A＝PB，平面P AB⊥底面ABCD，E为PD的中点
1求证：AE∥平面PBC；
2求三棱锥P－EBC的体积
1证明如图，取PC的中点F，连接EF，BF，
∵PE＝DE，PF＝CF，
∴EF∥CD，CD＝2EF，
∵AB∥CD，CD＝2AB，
∴AB∥EF，且EF＝AB
∴四边形ABFE为平行四边形，∴AE∥BF
∵BF⊂平面PBC，AE⊄平面PBC
故AE∥平面PBC
2解由1知AE∥平面PBC，
∴点E到平面PBC的距离与点A到平面PBC的距离相等，
∴V P－EBC＝V E－PBC＝V A－PBC＝V P－ABC
如图，取AB的中点O，连接PO，
∵P A＝PB，∴OP⊥AB
∵平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，OP⊂平面P AB，∴OP⊥平面ABCD
∵△P AB为等腰直角三角形，P A＝PB，AB＝2，
∴OP＝1
∵四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝错误!，∴梯形ABCD的高为1，
∴S△ABC＝错误!×2×1＝1
故V P－EBC＝V P－ABC＝错误!×1×1＝错误!。