高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》真题汇编及答案解析

【最新】数学《集合与常用逻辑用语》高考知识点
一、选择题
1．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，
内单调递增，:5q m ≥-，则p 是q 的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
试题分析：2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在内单调递增，则，即
在(0)+∞，上恒成立，令,由于，则， ，则，则，设的最大值为N ，则必有，则的取值范围是，所以p 是q 的必要不充分条件． 考点：1．导数与函数的单调性；2．均值不等式；3．估算法；4．充要条件与集合的包含
关系；
2．下列三个命题中，真命题的个数为（ ）
①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，0002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02
x x ≤-； ②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件；
③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】C
【解析】
【分析】
对三个命题逐一判断即可.
【详解】 ①中p ⌝：()1
x ∀∈+∞，，02
x x ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题； ③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C .
【点睛】
本题考查命题的真假，属于基础题.
3．14
a =-是函数2()1f x ax x =--有且仅有一个零点的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】 将14
a =-
代入函数证明充分性，取0a =得到不必要，得到答案. 【详解】 当14a =-时，2
211()11042f x x x x ⎛⎫=---=-+= ⎪⎝⎭
，2x =-，充分性； 当0a =时，()10f x x =--=，1x =-，一个零点，故不必要.
故选：A .
【点睛】
本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.
4．已知下列四个命题
1P ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；
2P ：若()x x f x e e -=-，则,()()x R f x f x ∀∈-=-
3P ：若1()1
f x x x =++则()00(0,),1x f x ∃∈+∞= 4P ：在ABC V 中，若A B >，则sin sin A B >
其中真命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
【分析】
根据线面垂直关系判断1P 错误；根据函数奇偶性判定2P 正确，利用基本不等式性质判断3P 不正确，结合三角形边角关系判定4P 正确.
【详解】
解：1P ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥不一定成立，必须是任意直线；故命题1P 错误，
2P ：若()x x f x e e -=-，则()()x x f x e e f x --=-=-，即,()()x R f x f x ∀∈-=-成立；命题正确，
3P ：当1x >-时，11()11121111f x x x x x =+
=++-=-=++…， 当且仅当111
x x +=+，即2(1)1x +=，得0x =时取等号，则()00(0,),1x f x ∃∈+∞=不成立，故命题为假命题，
4P ：在ABC V 中，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin A B >，即命题为真命题. 则正确的命题的个数是2，
故选：B .
【点睛】
此题考查判断命题的真假，涉及知识面广，关键在于对每一个命题的真假性正确辨析.
5．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ）
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.
【详解】
22x y +≥Q 且224x y +≤ ，
422x y ∴≤≤⇒+≤ ，
等号成立的条件是x y =，
又x y +≥Q ，0,0x y >>
21xy ∴≤⇒≤ ，
等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤⇒≤， 反过来，当12,3
x y ==
时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.
故选:C
【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.
6．已知集合{}2log 1A x x =>，{}1B x x =≥，则A B =U （）
A ．(]1,2
B ．()1,+∞
C ．()1,2
D ．[
)1,+∞ 【答案】D
【分析】
解出对数不等式可得集合A ，根据并集的运算即可得结果.
【详解】 由{}{}2log 12A x x x x =>=>，{}1B x x =≥，则[
)1,A B ∞=+U ，
故选D.
【点睛】
本题主要考查了对数不等式的解法，并集的概念，属于基础题.
7．已知圆222:(1)(0)C x y r r +-=>，设:0p r <<q ：圆C 上至多有2个点到
直线30x y ++=p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】
【分析】
由圆C 的圆心为(0,1)，得到其到直线30x y ++=的距离为“,r d ”法，分析当
0r <<，r =r <<，r =r >时，圆C 上的点到直线30x y ++=
的个数，再根据逻辑条件的定义求解.
【详解】
圆C 的圆心为(0,1)，其到直线30x y ++=的距离为．
当0r <<；
当r =；
r <时，圆上有2；
当r =3；
当r >，圆上有4．
若圆C 上至多有2个点到直线30x y ++=的距离为2，则0r <<
所以p 是q 的充要条件．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查逻辑条件以及直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
8．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“
1x y <”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】
【分析】
x y <，不能得到1x y <， 1x y <成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】
因为x ，y R ∈， 当x y <时，不妨取11,2x y =-=-
，21x y =>， 故x y <时，1x y
<不成立， 当1x y
<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“
1x y <”的既不充分也不必要条件， 故选：D
【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.
9．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==
+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N =
B ．M N
C ．N M
D ．M N ⋂=∅ 【答案】C
【解析】
【分析】
化简集合2|,4k M x x k Z +⎧
⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭
，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解.
【详解】
由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
， 因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数，
所以集合,M N 的关系为N
M .
故选：C .
【点睛】
本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关
键，着重考查了推理与运算能力.
10．已知实数a b 、满足0ab >，则“
11a b <成立”是“a b >成立”的（ ） A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件 【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】 由11b a a b ab
--=， 0ab >Q ，∴若
11a b < 成立, 则0b a -< ，即a b >成立，反之若a b >，
0ab >Q ，110b a a b ab
-∴-=<， 即11a b
<成立， ∴“11a b
<成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】
本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
11．“a b >”是“a a b b >”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】 首先判断y x x =的单调性，再根据单调性判断充分必要条件.
【详解】 22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩
，函数是奇函数，并且在R 上单调递增，
所以a b >时，a a b b >， 反过来，若满足a a b b >时，根据函数y x x =是单调递增函数，所以a b >， 所以a b >”是“a a b b >”的充要条件.
故选：C
【点睛】
本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型.
12．给出下列说法：
①“tan 1x =”是“4x π
=”的充分不必要条件；
②定义在[],a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30；
③命题“0001,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x
∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】C
【解析】
【分析】
利用充分条件与必要条件的定义判断①；利用函数奇偶性的性质以及二次函数的性质判断②；利用特称命题的否定判断③，进而可得结果.
【详解】
对于①，当4x π
=时，一定有tan 1x =，但是当tan 1x =时，,4x k k π
π=+∈Z ，
所以“tan 1x =”是“4x π
=”的必要不充分条件，所以①不正确；
对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域[],a b 关于原点对称，所以5b =，
所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为()()5530f f -==，所以②正确；
对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+
≥R ”的否定形式是“1,2x x x
∀∈+<R ”，所以③不正确； 故错误说法的个数为2.
故选：C.
【点睛】 本题考查了特称命题的否定、充分条件与必要条件，考查了函数奇偶性的性质，同时考查了二次函数的性质，属于中档题..
13．集合{}|12A x x =-<，1393x B x
⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B I 为( ) A ．()1,2
B ．()1,2-
C ．()1,3
D ．()1,3-
【答案】B
【解析】
【分析】 计算得到{}13A x x =-<<，{}
12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案.
【详解】 18{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭
， 故()1,2A B =-I .
故选：B .
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.
14．已知集合{|21
}A x x =->，2{|lg(2)}B x y x x ==-，则()R C A B =I （ ） A ．(1,2)
B ．[1,2)
C ．(2,3)
D ．(0,1]
【答案】B
【解析】
【分析】 由绝对值不等式的解法和对数函数的性质，求得{3,1
}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，再根据集合的运算，即可求解．
【详解】 由题意，可求得{3,1
}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，则[]1,3R C A =， 所以()[)1,2R C A B ⋂=.故选B.
【点睛】
本题主要考查了对数的混合运算，其中解答中涉及到绝对值不等式的求解，以及对数函数的性质，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
15．已知集合{}260A x x x =--≤，(){}
lg 2B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．[)2,2-
B ．[]2,3
C ．(]2,3
D ．()3,+∞
【答案】C
【解析】
【分析】 根据一元二次不等式的解答和对数函数的性质，求得,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解．
【详解】 由题意，集合{}{}
26023A x x x x x =--≤=-≤≤，(){}{}lg 22B x y x x x ==-=>，
所以(]2,3A B =I ．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了集合运算及性质，其中解答中熟记集合交集的概念及运算是解答的关键，着重考查数学运算能力．
16．若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记
(),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）条件．
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要 【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据(),0a b ϕ=,证明0a ≥，0b ≥且0ab = ，再证明0a ≥，0b ≥且0ab =时，(),0a b ϕ= .
【详解】
若(),0a b ϕ=，
0a b -=a b =+
两边平方后可得20ab =，即0a =或0b =
当0a =0b b b =-= ，
0b ∴≥ ，即a 与b 互补，
同理0b =时，a 与b 互补，
反过来，当0ab =时，
0a b -= ，
即(),0a b ϕ= ，
故(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件.
故选：C.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断和证明，意在考查逻辑推理和分析证明的能力，属于中档题型，本题的关键需根据充要条件的判断证明(),0a b a ϕ=⇒与b 互补，a 与b 互补(),0a b ϕ⇒=.
17．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.
【详解】 Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，
由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >.
因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.
18．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）
A ．3(3,)2
-- B ．3(3,)2- C ．3(1,)2 D ．3(,3)2
【答案】D
【解析】 试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以
3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭
,故选D. 考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.
19．对于非零向量，，“
”是“//a b ”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】 不一定有，若，则一定有//a b . 考点：判断必要性和充分性.
20．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ） A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 当
，得a <1时方程有根．a <0时，，方程有负根，又a =1时，方程根为，所以选B ．。