河北省唐山一中2011至2012学年高二第二次调研考试数学试题

2011---2012学年度第一学期高二年级第二次调研考试
数学试卷
命题人：张同江
说明：
1． 考试时间120分钟，满分150分。

2． 将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.
3． Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)
一、选择题.（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1.平面内有两个定点F 1(－5，0)和F 2(5，0)，动点P 满足条件|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P
的轨迹方程是 （ ）
（A ）16x 2－9y 2＝1 (x ≤－4) （B ）9
x 2－16y 2
＝1(x ≤－3) （C ）16x 2－9y 2＝1 (x >≥4) （D ）9
x 2－16y 2
＝1 (x ≥3) 2. 圆x 2＋y 2
＝2的经过点P (2,2－2)的切线方程是 （ ） （A ）x ＋y ＝2 （B ）x ＋y ＝2 （C ）x ＝2或x ＋y ＝2 （D ）x=2或x ＋y ＝2
3.已知圆(x －2)2+(y+1)2
=16的一条直径通过直线x －2y+3=0被圆所截弦的中点，则该直径
所在的直线方程为： （ ） （A ）2x+y －5=0 （B ）x －2y=0 （C ）2x+y －3=0 （D ）x －2y+4=0
4.已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是 （ ）
（A ）5x 2＋3y 2＝1 （B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9
x 2＋25y 2
＝1 5.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是 （ ）
（A ）2
1 （B ）2
2 （C ）2
3 （D ）33 6.椭圆122=+y mx 的离心率是
2
3，则它的长半轴的长是 （ ） （A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）21或1
7. P(x, y)是椭圆16
x 2＋9y 2
=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线PD ，D 是垂足，M 是PD 的中点，则M 的轨迹方程是 （ ）
（A ）4x 2＋9y 2=1 （B ）64x 2＋9y 2=1 （C ）16x 2＋9y 42=1 （D ）16
x 2＋36y 2
=1 8.设双曲线1b
y a x 22
22=-(b >a >0)的半焦距为c ，直线l 过(a , 0)、(0, b )两点，已知原点到直线l 的距离是
4
3c ,则双曲线的离心率是 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）332 9.曲线y ＝1＋24x -与直线y ＝k(x －2)＋4有两个交点时，实数k 的取值范围是（ ） （A ）(125,＋∞) （B ） (125,43 ] （C ）(0，12
5) （D ）(31, 43) 10. 给出方程c b
y a x =-22
22(,,)a b c ∈R 和三个结论：①方程的曲线是双曲线；②方程的曲线是椭圆或圆；③方程无轨迹．下面的说法一定正确的是 （ ） （A ）只有①正确 （B ）只有②正确
（C ）③不正确 （D ）①②③都有正确的可能
11. 直线y ＝x ＋3与曲线4
y 4x
x 2
+-=1的交点的个数是 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 12. 已知椭圆22122:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线2
22:14
y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段AB 三等分， 则 ( ) （A ）2132a = （B ）213a = （C ）212
b = (D ) 22b =
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上）
13. 双曲线36x 2－49
y 2＝1的渐近线方程是 ______。

14. 已知方程k 3x 2
++k
2y 2-=1表示双曲线，则k 的取值范围是 。

15. 与两条平行直线x ＋3y －5=0, x ＋3y －3=0相切，且圆心在直线2x ＋y ＋3=0上的圆的标准方程是 。

16. 已知椭圆12
22
=+y x 的两焦点为F 1, F 2,上顶点为B ，那么△F 1B F 2的外接圆方程为 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、（本小题满分10分） 在椭圆40
x 2＋10y 2
=1内有一点M(4, －1),使过点M 的弦AB 的中点正好为点M ，求弦AB 所在的直线的方程。

18、（本小题满分10分）椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为3
54，求此椭圆的方程。

19、（本小题满分12分） 已知经过点A （0，1）和点B （4，a ），且与x 轴相切的圆只有一个，求此时a 的值及相应的圆的方程。

20、（本小题满分12分）设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35
， （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为
45
的直线被C 所截线段的中点坐标.
21、（本小题满分12分）
已知点M(－2,0),N(2,0),动点P 满足条件|PM|－|PN|=22.记动点P 的轨迹为W. (Ⅰ)求W 的方程;
(Ⅱ)若A,B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OA OB •的最小值.
22、（本小题满分14分） 如图，已知椭圆2222
1(0)x y a b a b +=＞＞2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为21)。

一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异
于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交
点分别为B A 、和C D 、.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线1PF 、
2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·
1k k =；
参考答案
1D ；2C ；3C ；4B ；5B ；6B ；7C;8A;9B;10C;11A;12;C 13 .
6x ±7
y ＝0 14. k <－3或k >2 15.(x ＋513)2＋(y －511)2=101； 16.x 2＋y 2=1 17.答案： x －y －5=0
提示：设直线的斜率为k ，则y ＋1=k(x －4), 与椭圆40
x 2＋10y 2
=1联立，
消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2
＋8k )－40＝0，∴ x 1＋x 2=22k 41k 8k 32++=8, 解得k=1, ∴AB 的方程是x －y －5=0
20. 解：（Ⅰ）将（0，4）代入C 的方程得2161b
= ∴b=4又35c e a == 得222925a b a -=即2169125
a -=， ∴5a = ∴C 的方程为2212516x y += （ Ⅱ）过点()3,0且斜率为
45的直线方程为()435y x =-， 设直线与Ｃ的交点为Ａ()11,x y ，Ｂ()22,x y ，将直线方程()435y x =-代入Ｃ的方程， 得()2
2312525
x x -+=，即2380x x --=， ∴ AB 的中点坐标12322x x x +==， ()1212266255y y y x x +==+-=-，即中点为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭。

1212()()x x kx m kx m =+++
221212(1)()k x x km x x m =++++
2222
222(1)(2)211k m k m m k k
++=++-- 22221k k +=-2421
k =+-. 又因为120x x >,所以210k ->,从而 2.OA OB ⋅>
综上,当A B ⊥x 轴时, OA OB ⋅取得最小值2.
22.椭圆方程： 22184x y += 双曲线方程： 22144
x y -=。