沛县歌风中学(如皋办学)高三第二次调研数学试题

歌风中学(如皋办学）
2014届高三年级第一学期第二次调研测试
数 学 试 题 命题：周老师
一、填空题 (请将答案填写在答题纸相应的位置) 1、已知集合{},0M a =，{}2
230,N x x
x x =-<∈Z
,如果M
N ≠∅,则a = ．
2．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f (a ）＞f （b ），则f （﹣a ）_________f （﹣b ）（用“＞"或“＜"填空）． 3．12
cos
log 12
sin
log
22
π
π
+的值为 .
4．已知
)
0,2
(πα-∈，
5
3cos =
α，则
=+
)4
tan(π
α ．
5．已知函数y ＝sin(x ωϕ+）（ω＞0，0＜2
πϕ≤）
的部分图象如图所示,则ϕ的值为＿＿＿ 。

6．已知f （x)是定义在R 上的奇函数，且f （x ＋4)＝f(x ），当x ∈(0，
2）时，f （x) ＝x ＋2,则f （7）＝＿＿＿＿
7．已知0πy x <<<,且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -= ．
8．曲线
在点（1，f(1））处的切线方程为 ．
9.设,0.
(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________
10．由命题“存在x ∈R，使x 2+2x +m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是（a ，+∞），则实数a 的值是_________． 11．函数f (x ）=2s in (
)，x ∈[﹣π，0］的单调递减区间为__________．
12．在集合｛x |x =}中任取一个元素，所取元素恰好满足
方程cos x =的概率是__________． 13．已知函数f (x ）=
，当t∈［0，1]时，f （f （t ））
∈[0，1］，则实数t 的取值范围是__________．
14．已知函数f （x ）=||x ﹣1｜﹣1|,若关于x 的方程f (x ）=m （m ∈R）恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是__________．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题纸．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （本小题满分14分)
在锐角△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知
.3tan )(222bc A a c b =-+
（1）求角A ； （2）若a =2，求△ABC 面积S 的最大值.
16。

（本小题满分14分）
已知集合2
{|(33)2(31)0,},A x x
a x a x R =-+++<∈集合
2{|
0,}.(1)
x a
B x x R x a -=<∈-+
(1）求B ∉4时，求实数a 的取值范围； （2）求使A B ⊆的实数a 的取值范围.
17．（本小题满分14分）
如图,某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个游泳池,计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计），切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数2
2(02y x x =-+≤≤且点M 到边
OA 距离为24()3
3
t t ≤≤．
（1）当23
t =时，求直路l 所在的直线方程；
（2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多
少?
18. （本小题满分16分）
已知函数2()ln ,a f x x a x
=+∈R ．
(1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数,求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3,求实数a 的值．
19. （本小题满分16分）
设()f x 是偶函数，且当0x ≥时，
(3)
03()(3)()3x x x f x x a x x -≤≤⎧=⎨
-->⎩
. （1）当0x <时，求()f x 的解析式；
（2）设函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式；
20．（本小题满分16分)
已知)0()(>-=a x
a x x f ，bx x x g +=ln 2)(,且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相
切．
（1）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立,求实数a 的取值范围；
（2)当1=a 时,求最大的正整数k ，使得对]3,[e （ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）内的任意k 个实数k x x
x ,,,2
1
都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++- 成立;
(3）求证:)12ln(1
441
2
+>-∑
=n i i n
i )(*
N n ∈．
2014届高三数学第二次考试答案
一、填空题
1．1 2. ＜ 3。

—2 4．71
-
5。

π3 6。

—3 7．π3
8。

9。

1
ln 2
111(())(ln )22
2
g g g e
===
10.1 11.
12。

13.
14。

(﹣3，0）
二、解答题:
16. 解(1)若.433034,42
<<-<⇔<--∈a a a
a
B 或则……………4分
∴当a B 实数时,4∉的取值范围为).,4[]3,3[+∞- (6)
分 （2）∵2
{|(2)(31)0},{|1}.A x x x a B x a x a
=---<=<<+ (7)
分
①当).2,13(,3
1+=<a A a 时
要使;21
1,2
113,2
-≤≤-⎩⎨⎧≤++≥⊆a a a a A B 此时必须……………10分
②当;,,3
1不存在的使时a A B A a ⊆Φ==……………11分
③当)13,2(,3
1+=>a A a 时
要使.32,1
312
,2
≤≤⎩⎨⎧+≤+≥⊆a a a a A B 此时必须……………13分
综上可知，使A B ⊆的实数a 的取值范围是［2，3]⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡--21,1 ……………
14分
17. （1)022912:),9
14,32(=-+y x l M
（2）)2,(2
+-t t M ，过切点M 的切线)(2)2(:2
t x t t
y l --=+--
即222
++-=t
tx y ，令2=y 得2
t
x =
，故切线l 与AB 交于点)2,2
(t ；
令0=y ，得t t x 12+=，又t t x 12+=在]34,32[递减，所以]6
11,1217[12∈+=t t x
故切线l 与OC 交于点)0,12(t
t +。

∴地块
OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，
面积t
t t t
t S 142)2
212
2(2
1--=⋅-+--=2)1(4≤+-=t
t ，等号1=t ，2max
=S
.
18。

(1)∵2()ln a f x x x
=+,∴2
12()a f x x
x '=-．
∵()f x 在[2,)+∞上是增函数,
∴2
12()a f x x x '=-≥0在[2,)+∞上恒成立，即a ≤2x 在[2,)+∞上恒成立．
令()2
x g x =,则a ≤[]min (),[2,)g x x ∈+∞．
∵()2
x g x =在[2,)+∞上是增函数，∴[]min ()(2)1g x g ==．∴a ≤1．所以实数a 的
取值范围为(,1]-∞．
（2）由（1)得2
2()x a f x x -'=，[1,]x e ∈．
①若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立,此时()f x 在[1,]e 上是增函数． 所以()min
(1)23f x f a ===⎡⎤⎣⎦
，解得3
2
a =
（舍去）． ②若12a e ≤≤，令()0f x '=，得2x a =．当12x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,2)a 上是减函数，当2a x e <<时，()0f x '>,所以()f x 在(2,)a e 上是增函数． 所以()()min
2ln(2)13f x f a a ==+=⎡⎤⎣⎦
，解得2
2
e a =
（舍去)．
③若2a e >，则20x a -<,即()0f x '<在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是减函数． 所以()()min
213a
f x f e e
==+
=⎡⎤⎣⎦
，所以a e =． 19。

解: (1）当30x -≤<时,()()()(3)(3)f x f x x x x x =-=-+=-+
同理,当3x <-时，()()(3)()(3)()f x f x x a x x a x =-=--+=-++,
所以，当0x <时,()f x 的解析式为(3),
30,()(3)(),3x x x f x x a x x -+-≤<⎧=⎨-++<-⎩
(2)因为()f x 是偶函数，所以它在区间[]5,5-上的最大值即为它在区间
[]0,5上的最大值,
①当3a ≤时，()
f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递减,所以39
()()24
g a f ==。

②当37a <≤时,()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与33,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦与3,52a +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减,
所以此时只需比较39()24f =与2
3(3)()24a a f +-=的大小.
（A)当36a <≤时， 39()24f =≥23(3)()24a a f +-=,所以39
()()24
g a f == （B)当67a <≤时， 39()24f =<23(3)()24
a a f +-=,所以2
3(3)()()24a a g a f +-==
③当7a >时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与[]3,5上单调递增,在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，且39
()24
f =〈(5)2(5)f a =-，所以()(5)2(5)
g a f a ==- 综上所述，
29
,
64(3)(),6742(5),
7a a g a a a a ⎧≤⎪⎪-⎪=<≤⎨⎪
->⎪⎪⎩
20.解：(1）设点),(0
y x 为直线22-=x y 与曲线)(x g y =的切点,则有 22ln 20
-=+x bx x ． (＊）
b x
x g +='2
)( ，220
=+∴b x ． （**）
由（*)、（**）两式,解得0=b ，x x g ln 2)(=．
由)()(x g x f ≥整理,得x x x
a ln 2-≤,
1≥x ，∴要使不等式)()(x g x f ≥恒成立，必须x x x a ln 22-≤恒成立．
设x x x
x h ln 2)(2
-=，2ln 22)1
(ln 22)(--=⋅+-='x x x
x x x x h ，
x
x h 2
2)(-='' ，∴当1≥x 时，0)(≥''x h ,则)(x h '是增函数，
0)1()(='≥'∴h x h ,)(x h 是增函数，1)1()(=≥h x h ，1≤a ．
因此，实数a 的取值范围是10≤<a ． (2）当1=a 时，x
x x f 1)(-=，
011)(2
>+
='x
x f ，)(x f ∴在]3,[e 上是增函数，)(x f 在]3,[e 上的最大值为38
)3(=f ． 要对]3,[e 内的任意k 个实数k x x
x ,,,2
1
都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++-
成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,
当3121====-k x x x 时不等式左边取得最大值,e x k =时不等式右边取得
最小值．
2163
8
)1(⨯≤⨯
-∴k ，解得13≤k ．因此，k 的最大值为13．
（3）证明:当1=a 时,根据（1）的推导有，),1(+∞∈x 时，)()(x g x f >,
即)1(2
1ln x
x x -<． 令1
212-+=k k x ，得)1
2121
212(211
212ln +---+<-+k k k k k k ，
化简得1
44)12ln()12ln(2-<
--+k k
k k ，
∑
∑==-<--+=+n
i n i i i
i i n 1
2
1
1
44)]12ln()12[ln()12ln(．
附加题部分
1、若点A （２,２)在矩阵cos sin sin cos M α
ααα-⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
对应变换的作用下得到的点为B （－２，２)，求矩阵M 的逆矩阵
2．已知圆的极坐标方程为：
2
cos 60
4πρ
θ⎛
⎫--+= ⎪⎝
⎭．
⑴将极坐标方程化为普通方程；
⑵若点P （x ，y ）在该圆上,求x ＋y 的最大值和最小值．
3．（本小题满分10分）
如图（1），等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线
段AC 上，DE⊥AB
于E ，现将△ADE 沿DE 折起到△PDE 的位置（如图（2))． (Ⅰ)求证：PB⊥DE；
(Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD 与平面PBC 所成的角为30°，求PE 长．
4.已知集合{}n a a a a A ,,,,321⋅⋅⋅=，其中()2,1>≤≤∈n n i R a i ,()A l 表示
()n j i a a j i ≤<≤+1的所有不同值的个数．
（1)已知集合{}8,6,4,2=P ，{}16,8,4,2=Q ，分别求()P l ,()Q l ;
（2）求()A l 的最小值．
附加题参考答案
1．由题意知,2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦M ,即2cos 2sin 22sin 2cos 2αααα--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦ ， 所以cos sin 1,sin cos 1,
αααα-=-⎧⎨+=⎩ 解得cos 0,sin 1.αα=⎧⎨=⎩所以0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．..................5分 由11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M M ，解得10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 。

(10)
分 另解：矩阵M 的行列式01||1010==≠-M ，所以10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 。

2．⑴224460x y x y +--+=； ⑵圆的参数方程为22cos ,22sin ,
x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ 所以42sin 4x y πα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
,那么x ＋y 最大值为6,最小值为2． 3。

（Ⅰ)∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，
∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB ，
又∵PB ⊂平面PEB ，∴BP⊥DE；
（Ⅱ）∵PE⊥BE,PE⊥DE，DE⊥BE，
∴分别以DE 、BE 、PE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图）,
设PE=a ，则B （0，4﹣a ，0),D （a ，0，0)，C （2，2﹣a ，0）， P （0,0，a ），…（7分)
可得
，， 设面PBC 的法向量
， ∴
令y=1，可得x=1，z= 因此
是面PBC 的一个法向量， ∵，PD 与平面PBC 所成角为30°,
∴，即，
解之得:a=，或a=4(舍），因此可得PE的长为．
4。

解:(1）由2＋4＝6,2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10,4＋8＝12，6＋8＝14，
得l(P）＝5
由2＋4＝6,2＋8＝10,2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，得l（Q)＝6
(3）不妨设a1＜a2＜a3＜…＜a n，可得
a1＋a2＜a1＋a3＜…＜a1＋a n＜a2＋a n＜a3＋a n＜…＜a n－1＋a n，
故a i＋a j (1≤i＜j≤n）中至少有2n－3个不同的数，即l（A）≥2n－3．
事实上,设a1，a2，a3，…,a n成等差数列，考虑a i＋a j （1≤i＜j≤n），根据等差数列的性质，当i＋j≤n时，a i＋a j＝a1＋a i＋j－1;当i＋j＞n 时，a i＋a j＝a i＋j－n＋a n；
因此每个和a i＋a j(1≤i＜j≤n）等于a1＋a k(2≤k≤n)中的一个,或者等于a l＋a n(2≤l≤n－1)中的一个．故对这样的集合A，l(A)＝2n－3，所以l(A)的最小值为2n－3．。