上海民办尚德实验学校选修一第二单元《直线和圆的方程》测试(答案解析)

一、选择题
1．若平面上两点()2,0A -，()10
B ,，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．与实数k 的取值有
关
2．过点()1,0P 作圆22(2)(2)1x y -+-=的切线，则切线方程为（ ） A ．1x =或3430x y +-= B ．1x =或3430x y --= C ．1y =或4340x y -+=
D ．1y =或3430x y --=
3．我国东南沿海一台风中心从A 地以每小时10km 的速度向东北方向移动，离台风中心
15km 内的地区为危险地区，若城市B 在A 地正北20km 处，则B 城市处于危险区内的时
间为（ ）小时. A ．0.5 B ．1 C ．1.5 D ．2
4．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）
A B ．C
D ．5．若圆222(3)(5)x y r -+-=上有且只有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ） A ．(4,6)
B ．[4,6]
C ．(,4)-∞
D ．(6,)+∞
6．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+=
B ．310x y +-=
C ．3240x y -+=
D ．230x y --=
7．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．2x －y ＋1＝0
D ．2x ＋y ＋1＝0
8．已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（ ） A ．2
B ．
1
2
C ．2-或
12
D ．2或12
-
9．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（ ） A ．9
B ．4
C ．
12
D ．
14
10．设点M 为直线2x =上的动点，若在圆22:3O x y +=上存在点N ，使得
30OMN ∠=︒，则M 的纵坐标的取值范围是（ ）
A ．[1,1]-
B ．11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．[-
D ．⎡⎢⎣⎦
11．圆心为1,32C ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的圆与直线:230l x y +-=交于P ､Q 两点，O 为坐标原点，且满足0OP OQ ⋅=，则圆C 的方程为（ ）
A ．22
15()(3)22x y -+-=
B ．22
15()(3)22x y -++=
C ．22
125()(3)24
x y ++-=
D ．22
125()(3)24
x y +++=
12．设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ︒∠=，则0x 的取值
范围是（ ）
A ．[0,1]
B ．[1,1]-
C ．22⎡-⎢⎣⎦
D ．2⎡⎢⎣⎦
二、填空题
13．已知点(1,0)P 在直线l 上，且直线l 与圆2
2
:(1)(1)1C x
y 相切于点A ，则
||AP =________.
14．已知三条直线的方程分别为0y =0y -+=0y +-，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为___________．
15．如果圆22()()1(0)x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3，则实数a 的取值范围为________．
16．已知直线l 经过点(2,1)，且和直线30x --=的夹角等于30，则直线l 的方程是_________．
17．已知两条平行直线1:3460l x y -+=与2:340l x y c -+=间的距离为3，则c 的值为______.
18．已知直线3x ＋4y -12＝0与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0上移动，则△ABC 面积的最大值和最小值之差为________.
19．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）
① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点； ③ 如果直线l 经过两个不同的整点，则直线l 必经过无穷多个整点； ④ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数．
20．若实数,a b ∈R 且0b ≠，则()2
2
1a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝
⎭的最小值为_______.
三、解答题
21．在ABC 中，(2,5)A ，()1,3B （1）求AB 边的垂直平分线所在的直线方程；
（2）若BAC ∠的角平分线所在的直线方程为30x y -+=，求AC 所在直线的方程. 22．已知圆C 的圆心在直线l ：20x y -=上，且过点()0,0O 和()2,6A . （1）求圆C 的方程.
（2）求证：直线1l ：()130m x y m -+-=，m ∈R 与圆C 恒相交. （3）求1l 与圆C 相交所得弦的弦长的最小值及此时对应的直线方程. 23．已知(1,0)A -，(2,0)B ，动点M 满足||1
||2
MA MB =，设动点M 的轨迹为C ， （1）求动点M 的轨迹方程； （2）求
2
y
x -的最小值． 24．已知点(1,0)M -，(1,0)N ，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 距离的3倍．
（1）求曲线E 的方程：
（2）已知0m ≠，设直线1l ：10x my --=交曲线E 于A 、C 两点，直线2l ：
0mx y m +-=交曲线E 于B 、D 两点，C 、D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为1
-时，求线段AB 的长．
25．在平面直角坐标系中，圆C 过点()1,0E 和点()0,1F ，圆心C 到直线0x y +=的距离等于2.
（1）求圆C 的标准方程；
（2）若圆心C 在第一象限，M 为圆C 外一点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为
A 、
B ，四边形MACB 的面积为3，求点M 的轨迹方程.
26．△ABC 中∠C 的平分线所在直线方程为y x =，且A （－1，
5
2
），B （4，0）.
（1）求直线AB 的截距式．．．
方程； （2）求△ABC 边AB 的高所在直线的一般式．．．
方程.
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1．C 解析：C 【分析】
首先利用直接法求点P 的轨迹方程，则转化为直线()1y k x =-与轨迹曲线的交点个数. 【详解】 设(),P x y ，
2PA PB =，
=
整理为：()2
2224024x y x x y +-=⇔-+=， 即点P 的轨迹是以()2,0为圆心，2r
为半径的圆，
直线():1l y k x =-是经过定点()1,0，斜率存在的直线，点()1,0在圆的内部，所以直线
():1l y k x =-与圆有2个交点，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为
2个. 故选：C 【点睛】
方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：
直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.
定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.
相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.
2．B
解析：B 【分析】
按照过点P 的直线斜率是否存在讨论，结合直线与圆相切的性质及点到直线的距离公式即可得解. 【详解】
圆2
2
(2)(2)1x y -+-=的圆心为()2,2，半径为1，点P 在圆外，
当直线的斜率不存在时，直线方程为1x =，点()2,2到该直线的距离等于1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-即kx y k 0--=，
1=，解得34
k =，
所以该切线方程为3430x y --=； 所以切线方程为1x =或3430x y --=.
【点睛】
方法点睛：求过圆外一点()00,x y 的圆的切线方程的方法
几何法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即
000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程;
代数法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=，求得k ，切线方程即可求出.
3．B
解析：B 【分析】
建立直角坐标系，过点B 作BC AF ⊥，交AF 于点C ，以点B 为圆心，15为半径的圆交
AF 于点E ，F ，连接BE ，BF ，利用勾股定理求出BC 的值，进而求出EF 的值，再结合台风中心的运动速度即可求出B 城市处于危险区内的时间． 【详解】
以A 为原点，正北方向为纵轴正方向，正东方向为横轴正方向，建立如图所示直角坐标系，
因为台风中心从A 地以每小时10km 的速度向东北方向移动， 所以运动轨迹所在直线AF 与坐标轴成45角,
设以点B 为圆心，15为半径的圆交AF 于点E ，F ，连接BE ，BF 过点B 作BC AF ⊥，交AF 于点C ，
在等腰Rt ABC △中，20AB =，20BC =
=，
在Rt BCE 中，BC =，15BE =，
5CE ∴=，210EF CE ∴==，
台风中心从A 地以每小时10km 的速度向东北方向移动，且当台风中心在线段EF 上时
B 城市处于危险区内，
B ∴城市处于危险区内的时间为
110
EF
=小时， 故选：B ．
【点睛】
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
4．B
解析：B 【分析】
画出图象，根据对称性可得四边形PACB 面积2PAC
S S
=，利用勾股定理可得
22PA PC AC =-，当PC 最小时，PA 最小，面积最小，根据点到直线距离公式，即可
求得答案. 【详解】
圆C ：2
2
(2)4x y ++=，圆心为（-2，0）半径2AC r ==，画出图象，如图所示：
因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ∠=∠=︒，且PAC PBC ≌ 所以四边形PACB 面积1
2222
PAC
S S AC PA PA ==⨯⨯⨯=，
又2224PA PC AC PC =
-=-
所以当PC 最小时，PA 最小，四边形PACB 面积的最小值，
由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y +-=的距离，
所以min 3PC =
=，所以min PA =
所以四边形PACB 面积的最小值2S PA == 故选：B 【点睛】
解题的关键是画出图象，根据几何关系，得到PC 最小时，面积最小，再求解，将动点问题转化为点到直线距离问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
5．D
解析：D 【分析】
首先求圆心到直线的距离d ，再根据条件，列式1d +和半径r 比较大小，求r 的取值范围. 【详解】
圆心()3,5到直线432x y +=的距离5d =
=，
若圆上有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则51r >+，即6r >. 故选：D 【点睛】
思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，与直线432x y +=距离为1的两条直线与圆有4个交点，根据点到直线的距离，建立不等式求解.
6．A
解析：A 【分析】
根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于
x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求
方程即可. 【详解】
解：根据题意，做出如图的光线路径， 则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --， 点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ， 则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程， 由两点是方程得''A D 直线方程为：43
6413
y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.
【点睛】
本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.
7．D
解析：D 【分析】
根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】
由于,PA PB 是圆()()2
2
:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，
所以2222||||2||2||||2||4PACB PAC S S PA AC PA PC AC PC ∆==⋅==-=- 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :1
1(x 1)2
y -=
-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,
,(1,0),0
x P y =-⎧-⎨
=⎩ PC 的中点为21
(0,),||2152
PC =+=
以PC 为直径的圆的方程为2215(),24
x y +-=即22
10x y y +--=，
两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=
8．C
解析：C 【分析】
根据勾股定理由切线长最小值求出||PC C 到直线l 的距离为
l 的方程，根据点到直线的距离列式可解得结果.
【详解】
圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，
因为切线长的最小值为2，所以min ||PC ==
所以圆心C 到直线l ，所以直线必有斜率，设:(3)l y k x =-，即30kx y k --=，
所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --=
=
=22320k k +-=，解得12k =或2k =-.
故选：C 【点睛】
关键点点睛：根据勾股定理由切线长的最小值求出||PC 的最小值，也就是圆心C 到直线l 的距离是解题关键.
9．D
解析：D 【分析】
根据弦长可知直线过圆心，再利用基本不等式求ab 的最大值. 【详解】
将2
2
2440x y x y ++--=化为标准形式：2
2
(1)(2)9x y ++-=， 故该圆圆心为(1,2)-，半径为3. 因为直线截圆所得弦长为6，
故直线过圆心，所以2220a b --+=，
即1a b +=，所以2
124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
（当且仅当12a b ==时取等号），
故选：D. 【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆相交，基本不等式求最值，本题的关键是根据弦长判断直线过圆心，这样问题就变得简单易求.
10．C
解析：C
在OMN 中，由正弦定理可得
22
2
23
M
y
+
=
，从而得到
()2
23sin4
M
y ONM
=±∠-，再根据角ONM
∠的取值范围，求出
M
y的取值范围，即可得解；
【详解】
解：设()
2,
M
M y，在OMN中，由正弦定理得
sin sin
OM ON
ONM OMN
=
∠∠
因为30
OMN
∠=︒，3
ON=，所以
22
23
23
2
M
y
+
==
整理得()2
23sin4
M
y ONM
=±∠-
由题意知0150
ONM
︒<∠<︒，所以(]
sin0,1
ONM
∠∈，所以sin1
ONM
∠=时，
M
y取得最值，即直线MN为圆22
:3
O x y
+=的切线时，M y取值最值，所以
22,22
M
y⎡⎤
∈-⎣⎦
故选：C
【点睛】
本题考查直线与圆的综合应用，解答的关键转化到OMN中利用正弦定理计算，考查转化思想；
11．C
解析：C
【分析】
根据题中所给的圆心坐标，设出圆的标准方程，根据题中所给的条件，求得2r 的值，得出结果. 【详解】 因为圆心为1,32C ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 所以设圆的方程为：222
1()(3)2
x y r ++-=， 将直线方程代入圆的方程，得到2
2
8552004
y y r -+
-=， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则有2
1212174,45
r y y y y +=⋅=-，
因为0OP OQ ⋅=，所以12120x x y y +=， 所以1212(32)(32)0y y y y -⋅-+=，
整理得121296()50y y y y -++=，即2
179645()045
r -⨯+⨯-=，
求得2
254
r =
， 所以圆C 的方程为：22
125()(3)2
4
x y ++-=， 故选：C. 【点睛】
该题考查的是有关圆的方程的求解，涉及到的知识点有圆的标准方程，关于垂直条件的转化，属于简单题目.
12．B
解析：B 【分析】
首先根据题中条件，可以判断出直线MN 与圆O 有公共点即可，从而可以断定圆心O 到直线MN 的距离小于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果. 【详解】
依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可， 即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，
过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，
在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=， 故02
sin 452
OA OM OM ==1≤， 所以2OM ≤，则2012x +≤，
解得011x -≤≤．
故选：B. 【点睛】
该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角形，属于简单题目.
二、填空题
13．2【分析】显然直线l 的斜率存在圆心与之间的距离半径由勾股定理得【详解】显然直线l 的斜率存在如图所示圆圆心半径当时切点当时圆心与之间的距离半径由勾股定理得故答案为：2【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆
解析：2 【分析】
显然直线l 的斜率存在，圆心C 与P 之间的距离3=CP ，半径1r =，由勾股定理得
2AP =.
【详解】
显然直线l 的斜率存在，如图所示
圆22:(1)(1)1C x
y ，圆心(1,1)C -，半径1r =，
当0k =时，切点(1,0)A -，2AP =
当0k ≠时，圆心C 与(1,0)P 之间的距离3=CP 1r =，由勾股定理得2AP = 故答案为：2 【点睛】
结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d r <⇔相交；d r =⇔相切；d r >⇔相离．
14．【分析】先画出图形求出再分四种情况讨论得解【详解】如图所示由题得
的平分线：和的平分线：的交点到三条直线的距离相等联立两直线的方程解方程组得交点为；的外角平分线：和的外角平分线：的交点到三条直线的距离
解析：(0,3
0,
(- 【分析】
先画出图形，求出(1,0),(1,0)A B C -，再分四种情况讨论得解. 【详解】 如图所示，
由题得(1,0),(1,0)A B C -,
CAB ∠的平分线AO ：0x =和ACB ∠的平分线CD
：1)y x =
+的交点到三条直线的
距离相等，联立两直线的方程解方程组01)x y x =⎧⎪⎨=
+⎪⎩
得交点为； ACB ∠的外角平分线
CE ：1)y x =+和ABC ∠的外角平分线
BF ：1)y x =-的
交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组1)
1)
y x y x ⎧=+⎪⎨=-⎪
⎩得交点为
(0,；
ACB ∠的外角平分线
CG ：1)y x =+和CAB ∠的外角平分线AG
：y =
三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组1)
y x y ⎧=+⎪⎨=⎪
⎩得交点为(-；
ABC ∠的外角平分线
BH ：1)y x =-和CAB ∠的外角平分线
AG ：y =
三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组1)
y x y ⎧=-⎪⎨=⎪
⎩得交点为.
故答案为：(0,、3
0,
3
、
、(-
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是利用平面几何的知识分析找到四个点，再利用直线的知识解答即可.
15．【分析】求出到原点的距离为3的点的轨迹方程为则等价于则圆与圆有交点利用圆心距与半径关系即可求出【详解】根据题意到原点的距离为3的点的轨迹方程为若圆上总存在点到原点的距离为3则圆与圆有交点两圆的圆心距
解析：2,22⎡⎣
【分析】
求出到原点的距离为3的点的轨迹方程为2
2
9x y +=，则等价于则圆
22()()1(0)x a y a a -+-=>与圆229x y +=有交点，利用圆心距与半径关系即可求出.
【详解】
根据题意，到原点的距离为3的点的轨迹方程为2
2
9x y +=， 若圆2
2
()()1(0)x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3， 则圆2
2
()()1(0)x a y a a -+-=>与圆2
2
9x y +=有交点， ()()
22
002a a a -+-=，
31231a ∴-≤≤+222a ≤
故答案为：2,22⎡⎣.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是将题目等价于圆2
2
()()1(0)x a y a a -+-=>与圆
229x y +=有交点，利用圆心距与半径关系求解.
16．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由已知可得直线的斜率所以倾斜角为因为直线与的夹角为所以直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为
解析：1y =32310x y --=
分析可得已知直线的倾斜角为30，则直线l 的倾斜角为0或60，分类讨论并利用点斜式方程求解即可. 【详解】
由已知可得直线3y x =
3
k =
，所以倾斜角为30， 因为直线l
与y x =
30，所以直线l 的倾斜角为0或60， 当倾斜角为60时,直线l
为)12y x -=-
10y -+-=； 当倾斜角为0︒时,直线l 为1y =， 故答案为：1y =
10y -+-=. 【点睛】
本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线30x --=的倾斜角得到l 的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.
17．或【分析】根据两平行线间的距离公式得到即可求解【详解】由题意两条平行直线与间的距离为3根据两平行线间的距离公式可得解得或即的值为或故答案为：或【点睛】两平行线间的距离的求法：利用转化法将两条平行线间
解析：9-或21. 【分析】
3=，即可求解.
【详解】
由题意，两条平行直线1:3460l x y -+=与2:340l x y c -+=间的距离为3，
根据两平行线间的距离公式，可得3d =
=，
解得21c =或9c =-，即c 的值为9-或21. 故答案为：9-或21. 【点睛】
两平行线间的距离的求法：
利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 利用两平行线间的距离公式求解.
18．15【分析】根据直线3x ＋4y-12＝0可求得的坐标及利用圆心到直线的距离求出点C 到直线的距离的最小值和最大值利用面积公式可求得结果【详解】令得令得所以A （40）点B （03）∴|AB|＝5由x2＋y
解析：15
根据直线3x ＋4y -12＝0可求得,A B 的坐标及||AB ，利用圆心到直线的距离求出点C 到直线AB 的距离的最小值和最大值，利用面积公式可求得结果. 【详解】
令0y =得4x =，令0x =得3y =，所以A （4，0），点B （0，3）， ∴|AB |＝5，
由x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0得2
2
(5)(6)9x y -+-=， 所以圆的半径为3，圆心为(5,6)， 圆心(5,6)到直线AB
的距离d =
=275
， 所以点C 到直线AB 的距离的最小值为2712355-=，最大值为2742355
+=， 所以ABC
S
的最大值为
14252125⨯⨯=，最小值为112
5625
⨯⨯=， 所以△ABC 面积的最大值和最小值之差为21615-=. 故答案为：15 【点睛】
关键点点睛：利用圆心到直线的距离求出点C 到直线AB 的距离的最小值和最大值是解题关键.
19．①③【分析】给直线分别取不同的方程可得到②和④的反例同时找到符合条件①的直线；通过直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点③正确【详解】①令直线为：则其不与坐标轴平行且不经过任何整点①正确；②
解析：①③ 【分析】
给直线l 分别取不同的方程，可得到②和④的反例，同时找到符合条件①的直线；通过直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，③正确. 【详解】
①令直线l 为：1
2
y x =+，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线l
为：y =
-()2,0，②错误；
③令直线l 为：y kx b =+，过两个不同的整点()11,x y ，()22,x y ，
则112
2y kx b y kx b =+⎧⎨=+⎩，两式作差得：()1212y y k x x -=-，
即直线l 经过整点()1212(),(),n x x n y y n Z --∈，
∴直线l 经过无穷多个整点，③正确；
④令直线l 为：11
32
y x =+，则l 不过整点，④错误. 故答案为：①③. 【点睛】
本题考查对于直线方程的理解，关键是能够通过特例来否定命题和验证存在性的问题，对于学生对直线方程特点的掌握有较高的要求.
20．2【分析】根据两点间的距离公式的几何意义可知表示点到点的距离点在直线上点在曲线上通过平移法设曲线的切线方程联立切线方程和曲线方程通过求出可求出切线方程最后利用两平行线间的距离公式求出两平行直线与的距
解析：2 【分析】
(),a a 到点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离，点(),a a 在直线y x =上，点1,b b
⎛⎫- ⎪⎝
⎭在曲线1
y x
=-
上，通过平移法，设曲线1
y x
=-的切线方程y x m =+，联立切线方程和曲线方程，通过0∆=求出m ，可求出切
线方程，最后利用两平行线间的距离公式，求出两平行直线0x y -=与20x y -+=
的距. 【详解】
表示点(),a a 到点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离， 而点
(),a a 在直线y x =上，点1
,b b ⎛⎫
- ⎪
⎝
⎭
在曲线1y x
=-上， 将直线y x =平移到与曲线1
y x
=-
相切，设切线为y x m =+，
切线方程和曲线方程联立，即1y x m
y x =+⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，得210x mx ++=，
则240m ∆=-=，解得：2m =±，
当2m =时，切线方程为：2y x =+，即20x y -+=，
所以两平行直线0x y -=与20x y -+=的距离为：
d =
=
， 所以()2
2
1a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝
⎭的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】
本题考查利用两点间距离的几何意义求最值，考查两点间的距离公式以及两平行线间的距离公式的应用，还涉及两平行线的斜率关系和一元二次方程根的判别式，考查转化思想和运算能力.
三、解答题
21．（1）119
24
y x =-+；（2）280x y -+=. 【分析】
（1）设AB 边的垂直平分线为l ，求出1
2
l k =-，即得AB 边的垂直平分线所在的直线方程；
（2）设B 关于直线30x y -+=的对称点M 的坐标为(,)a b ，求出(0,4)M 即得解. 【详解】
（1）设AB 边的垂直平分线为l ， 有题可知53
221
AB k -=
=-，1
2
l
k ， 又可知AB 中点为3,42⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴l 的方程为13422y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即119
24
y x =-+，
（2）设B 关于直线30x y -+=的对称点M 的坐标为(,)a b ；
则3
11
13302
2b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得04a b =⎧⎨=⎩，所以(0,4)M ，
由题可知A ，M 两点都在直线AC 上，
所以直线AC 的斜率为
541202-=-，所以直线AC 的方程为1
4(0)2
y x -=-， 所以AC 所在直线方程为280x y -+=.
【点睛】
方法点睛：求直线方程常用的方法是：待定系数法，先定式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再定量.
22．（1）()()2
2
4220x y -+-=；（2）证明见解析；（3
）最小值：方程：0x y -=. 【分析】
（1）设圆的方程为：()()2
2
2x a y b r -+-=，利用待定系数法求解；
（2）可利用圆心到直线的距离运算求证，也可求出直线过定点(3,3)，由点在圆内求证； （3）当弦的弦长的最小时，圆心到直线的距离最大，即(3,3)为垂足时，即可求解. 【详解】
（1）设圆的方程为：()()2
2
2x a y b r -+-=，
由题意得：()()222
222
2026a b a b r a b r ⎧-=⎪⎪+=⎨⎪-+-=⎪⎩
，
解得：24220a b r =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
故圆C 的方程为：()()2
2
4220x y -+-=. （2）方法一：由（1）知圆心为()4,2
，r ==
所以圆心到直线1l 的距离，
d =
=
=
=
当10m
-=即1m =时，1d =< 直线1l 与圆C 恒相交， 当10m ->
，即1m 时，
d = 令1
11
t m m =-+
-，1
m ， 2t ≥=， 当且仅当1
11
m m -=
-，
即2m =时取等，
所以01d ≤<< 直线1l 与圆C 恒相交， 当10m -<， 即1m <时，
d ==
=
当且仅当1
11m m
-=-， 即2
m =或0m =时取等，
所以0d ≤≤
，
直线1l 与圆C 恒相交，
综上所述，m ∈R ，直线1l 与圆C 恒相交.
方法二：因为直线1l ：()130m x y m -+-=，m ∈R ，
30mx x y m -+-=，
()30m x y x -+-=，
所以直线1l 过定点()3,3， 因为()()22
3432220-+-=<， 所以()3,3在圆C 内， 所以直线1l 与圆C 恒相交.
（3）设1l 与圆C
相交于A ，B 两点，
由垂径定理得：AB ==
求AB 的最小值即求d 取得最大值时， 由（2）知
max d =
所以min AB == 此时0m =，
所以直线方程为：0x y -=. 【点睛】
关键点点睛：证明过定点的动直线与圆恒相交时，可考虑定点在圆内求解，求直线与圆相交的弦长及最值时，可利用弦心距、半径、半弦长之间的关系求解. 23．（1）()2
22
4x y ++=；（2）
【分析】
（1）设(),M x y ，利用两点间距离公式将||1||2
MA MB =化简即可求解； （2）
2
y x -表示曲线上的点(),x y 与点()2,0连线的斜率，由圆的性质可知相切时取得最值.
【详解】
（1）设动点(),M x y ，
12=，即()()2222412x y x y ⎡⎤=++-+⎣⎦， 整理得：2233120x y x ++=，即2240x y x ++=，
化简得，()2
224x y ++=，
所以动点M 的轨迹方程为()2224x y ++=． （2）
2
y x -表示曲线上的点(),x y 与点()2,0连线的斜率， 由圆的性质可知相切的时候取得最值. 设过点()2,0的圆的切线方程为()2
y k x =-，
圆心到直线的距离
2d ==，解得k
=， 所以2y x -的最小值为 【点睛】
方法点睛：过圆外一点()00,x y 圆的切线方程
（1）几何法：当斜率存在时，设切线为()00y y k x x -=-，利用圆心到直线的距离等于半径即可求出k 的值，进而写出切线方程；
（2）代数法：当斜率存在时，设切线为()00y y k x x -=-，与圆的方程联立，利用判别式等于0即可求出k 的值，进而写出切线方程；
24．（1）22
(2)3x y -+=；（2）
【分析】
（1）设动点坐标为(,)x y ，由两点间距离公式得等式，化简后可得轨迹方程；
（2）由题意知12l l ⊥，且两条直线均过定点(1,0)N ，设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线:2EP y x =-，设直线:CD y x t =-+，可得
22(,)22t t P +
-，利用圆的几何性质得12NP CD ==0t =
或3t =，确定直线:CD y x =-，可得,C D 坐标，然后求得,A B 两点坐标，得弦长AB ．
【详解】
解：（1）设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，
=，
整理得22410x y x +-+=，即22
(2)3x y -+=.
（2）由题意知12l l ⊥，且两条直线均过定点(1,0)N ，
设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线:2EP y x =-， 设直线:CD y x t =-+，由2y x y x t =-⎧⎨=-+⎩得点22(,)22t t P +-，
由圆的几何性质得12
NP CD =
=
而22222222(1)(),3,22t t NP ED EP +-=-+==， 解得0t =或3t =，又,C D 两点均在x 轴下方，所以直线:CD y x =-，
由22410x y x y x ⎧+-+=⎨=-⎩
，解得112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，
不失一般性，设(11),(11)2222
C D --+--， 由22410(1)
x y x y u x ⎧+-+=⎨=-⎩，消去y 得2222(1)2(2)10u x u x u +-+++=① 方程①的两根之积为1，所以点A
的横坐标2A x =
又因为点
C (11)22
--在直线1:10l x my --=
上，解得1m ，
直线1:1)(1)l y x =-
，所以(2A +
，同理可得(2B -，
所以线段AB
的长为
【点睛】
关键点点睛：本题考查求圆的轨迹方程，考查求圆中弦长．本题求弦长方程是求出交点坐标，再得弦长，而解题关键是由直线12l l ⊥，且交点为定点(1,0)N ，设出CD 方程，CD 中点P
，由圆的性质得12
NP CD ==求得CD 方程，得出,C D 两点坐标，再得,A B 两点坐标，得弦长．
25．（1）()()22111x y -+-=或()()22115x y +++=；（2）()()22
114x y -+-=.
【分析】
（1）由题意可知，圆心C 在线段EF 的垂直平分线y x =，可设圆心(),C a a ，由圆心C 到直线0x y +=的距离等于2可求得实数a 的值，进而可求得圆C 的标准方程； （2）推导出Rt CAM Rt CBM ≅△△，可得出四边形MACB 的面积23CAM S S CA AM ==⋅=，进一步可求出2CM =，可得出点M 的轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆，进而可求得点M 的轨迹方程.
【详解】
（1）直线EF 的斜率为01110EF k -==--，线段EF 的中点为11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以，线段EF 的垂直平分线的方程为1122y x -=-，即y x =， 因为圆C 过点()1,0E 和点()0,1F ，所以圆心C 在线段EF 的垂直平分线y x =上， 所以可设圆心为(),C a a ，
因为圆心C 到直线0x y +=的距离等于2，所以222a
=，解得1a =±，
当1a =时，圆心为()1,1，半径1r EC ==，圆C 的方程为：()()22111x y -+-=；
当1a =-时，圆心为()1,1--，半径5r EC ==，圆C 的方程为：
()()22115x y +++=.
所以圆C 的标准方程为()()22111x y -+-=或()()22115x y +++=；
（2）由题知CA MA ⊥，CB MB ⊥，
CA CB =，CM CM =，90CAM CBM ∠=∠=，
所以，Rt CAM Rt CBM ≅△△，
所以四边形MACB 的面积23CAM S S CA AM ==⋅=
因为1CA =，所以3AM =222
4CM CA AM =+=， 所以2CM =，点M 的轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆，
所以点M 的轨迹方程为：()()22114x y -+-=.
【点睛】
方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
26．（1）
142x y +=；（2）280x y -+=. 【分析】
（1）设出直线的截距式方程
1x y a b +=，代入点的坐标，求解出参数的值，从而截距式方程可求；
（2）先求解出A 关于直线y x =的对称点A '，然后根据A '在BC 上求解出C 点坐标，再根据高所在直线的斜率与AB 斜率的关系，从而可求解出AB 的高所在直线的一般式方程.
【详解】
（1）设AB 的方程为1x y a b +=，代入点()51,,4,02A B ⎛⎫- ⎪⎝
⎭， 所以1512401a b a b
-⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以AB 的截距式方程为：142x y +=； （2）设A 关于y x =的对称点为A '，所以5,12A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭
且A '在直线BC 上， 又因为()4,0B ，所以()()01:04542
A B l y x '---=--，即2833y x =-， 又因为C 在y x =上，也在2833y x =-上，所以2833y x y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩
，所以88x y =-⎧⎨=-⎩，所以()8,8C --，
又因为5012142
AB k -==---，设AB 的高所在直线的一般式方程为20x y m -+=，代入点()8,8C --，
所以1680m -++=，所以8m =，
所以AB 的高所在直线的一般式方程为280x y -+=.
【点睛】
思路点睛：点关于直线l 的对称点坐标的求解步骤（直线的斜率存在且不为零，已知点()11,A x y ，直线l 的斜率k ）：
（1）设出对称点的坐标(),A a b '；
（2）AA '的中点11,2
2x a y b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭必在l 上，由此得到第一个方程； （3）根据1AA k k '=-得到第二个方程；
（4）两个方程联立可求解出(),A a b '.。