成才之路人教B版数学必修5同步课件：1-2-2《高度、角度问题》

第一章 1.2 第2课时
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A．5(2－ 3) C．5(2－ 2)
B．5(2＋ 3) D．5(2＋ 2)
[答案] A
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[解析] 在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝30°－15°＝15°， 由正弦定理，得BC＝AsBisniCnA＝5×sinsi1n51°5°＝5. 又CD＝BC·tan∠DBC＝5×tan15°＝5×tan(45°－30°)＝5(2－ 3)．
正、余弦定理在力学中的应用 如图，在墙上有一个三角形支架OAB，吊着一 个重力为12N的灯，OA、OB都是轻杆，只受沿杆方向的力， 试求杆OA、OB所受力的大小．
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[解析] O点受三个力的作用，灯线的拉力F，方向向
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2．目标方向线(视线)与水平线的夹角中，当目标(视线)在水 平线上方时，称为________，在水平线下方时，称为________， 如图．
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我缉私巡逻艇在一小岛A南50°西的方向，距小岛A 12 n mile的B处，发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北10° 西方向行驶，测得其速度为每小时10 n mile，问我巡逻艇需用 多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私 船？(参考数据：sin38°≈0.62)
3 2 2a＝3＋2
3 a.
4
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2．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处 时，测量公路南侧远处一山顶D在东南15°的方向上，行驶5km后 到达B处，测得此山顶在东偏南30°的方向上，仰角为15°，则此 山的高度CD等于________km.
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由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°
＝122＋202－2×12×20×(－12)＝784，∴BC＝28，
∵BC＝2x，∴x＝14.
又由正弦定理得，sin∠ABC＝
ACsin∠BAC BC
＝
20×
3 2
28
≈0.62.
∴∠ABC＝38°.
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而如图所示的Rt△ADB中，∠ABD＝40°. ∴∠EBC＝90°－38°－40°＝12°. 即我巡逻艇用每小时14 n mile的速度向北12°东的方向航 行.
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[解析] 在△BCD中，∠CBD＝π－α－β， 由正弦定理，得sin∠BCBDC＝sin∠CDCBD， ∴BC＝CDsinsi∠n∠CBBDDC＝sins·sαi＋nββ， 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝ss·itnanαθ＋sinββ .
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[解析] 设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，
旗杆顶端为点C，则BC＝sinh60°＝2 3
3 h.
在△ABC中，AB＝10 6，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，
∴∠ACB＝30°，
由正弦定理，得
23 s1in0306°＝sin345h°，∴h＝30(m).
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[解析] 设缉私船用t h在D处追上走私船．在△ABC，由 余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝( 3 －1)2＋22－ 2×( 3－1)×2×cos120°＝6，
∴BC＝ 6. 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠ABC＝ABCCsin∠BAC＝ 22， ∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．
[答案] 30° 10m
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[解析]
由题意知，坡比i＝tanα＝
3 3.
∵0°<α<90°，
∴坡角α＝30°.
又∵坡高BC＝5m，
∴斜坡长AB＝sBinCα＝sin530°＝10m.
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成才之路·数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
解三角形
第一章 解三角形
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第一章
1．2 应用举例
第一章 解三角形
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3＋ 2 A. 2 a C．(3＋ 2)a
3＋ 3 B. 2 a D．(3＋ 3)a
[答案] B
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[解析] 由题意，知∠CAB＝45°，∠CBO＝60°，
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∴∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠CDCBD＝sin∠BDBCD， ∴s1in01230t°＝sin∠10Bt CD， பைடு நூலகம்sin∠BCD＝12，∴∠BCD＝30°. 故缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船．
答案： 1．正弦定理 余弦定理 2．仰角 俯角
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预习效果展示
1.如图，在平地上有一点A，测得一塔尖C的仰角为45°，向 前行进am到B处，又测得塔尖C的仰角为60°，则塔高是 ________m.
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[解析] AO＝taOn3P0°＝ 3h，
OB＝OP＝h.
在△ABO中，由余弦定理，得
AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB.
∴400＝3h2＋h2－2 3h2·cos60°，
即400＝4h2－ 3h2，
∴h＝
20 4－
≈13(m)． 3
答：旗杆的高大约为13m.
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课堂典例讲练
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正、余弦定理在高度测量上的应用 如图所示，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的 高度h，在地平面上取一基线AB，AB＝20m，在A处测得P点 的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OPB＝45°，又 测得∠AOB＝60°，求旗杆的高h.
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如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水 平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD ＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
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[解析] 如下图所示，AC所在射线即为走私船航行路 线，假设我巡逻艇在C处截获走私船，我巡逻艇的速度为每小 时x n mile，则BC＝2x，AC＝20.
依题意∠BAC＝180°－50°－10°＝120°，
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第一章
第2课时 高度、角度问题
第一章 解三角形
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课前自主预习 课堂典例讲练
易错疑难辨析 课后强化作业
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课前自主预习
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情境引入导学
北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观 礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该 列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且 第一排和最后一排的距离为10 6m，则旗杆的高度为多少米？
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[分析] 根据题意，把已知条件体现在图形中．若在△ ABC中直接求线段AB的长度，条件只有一个∠ACB＝θ，无法 解出AB的长．根据题意，△BCD中的边角条件知道的较多， 我们可以先在△BCD中根据正弦定理求出边BC的长，然后再 求AB的长，就易如反掌了．
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∴∠COB＝90°，∴∠ABC＝120°，∠ACB＝15°，AB＝a，
在△ABC中，由正弦定理，得sin∠ABACB＝sin∠BCCAB，
∴sina15°＝siBn4C5°，∴BC＝assiinn1455°°.
在△COB中，CO＝BC·sin60°
＝asins4i5n°1·5si°n60°＝
22× 6－
∴AC＝AB＝40，∠ADC＝120°，∠ACD＝30°，
在△ACD中，由正弦定理，得
CD＝ssiinn∠ ∠CADADC·AC＝ssiinn13200°°·40＝403
3 .
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4．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5m，迎水坡的坡比是 3 ，则斜坡的坡角α等于________，斜坡AB的长度是________．
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[分析] 欲求旗杆的高度h，只要注意到OB＝OP＝h，便 可在△BPO、△APO、△AOB中找出OP(h)、OA、OB的关 系，用正弦定理或余弦定理去解决．
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知能自主梳理
1.测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到 达，这类问题不能直接用解三角形的方法解决，但常用________ 和________，计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的 距离，然后转化为解直角三角形的问题．
正、余弦定理在角度测量中的应用 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处( 3 － 1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离 A处2n mile的C处的缉私船奉命以10 3n mile/h的速度追截走 私船．此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30° 方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
下，灯杆OA的拉力F1，方向与
→ OA
同向，灯杆OB的支持力F2
方向与B→O同向，三力平衡，∴F＋F1＋F2＝0.
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3．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工 人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、 B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40m，斜 坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是________m.
[答案]
40 3 3
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[解析] 如图所示，由题意，得∠ABC＝45°－30°＝15°，
∠DAC＝60°－30°＝30°. ∴∠BAC＝150°，∠ACB＝15°，
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