高等几何试题
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6•设P1(1,1,1),P2(1,-1,1),P4(1,0,1)为共线三点，且(RF2,P3F4)=2,求P3的坐标.(12)
7.叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(10)
8.一维射影对应使直线|上三点P(-1),Q(0),R(1)顺次对应直线|上三点
P(0),Q(1),R(3),求这个对应的代数表达式.(10)
试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束
、填空题（每题 3分共15 分）
判断题（每题2分共
1、仿射变换保持平行性不变
2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变
3、线段中点与无穷远点调和分离两端点
4、如果P点的极线过Q点，则Q点的极线也过P点
5、不共线五点可以确定一条二阶曲线
2x
三、（7分）已知OX轴上的射影变换X，求坐标原点，无穷远点的对应点帕斯卡定理
九、（10分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5, 1]交点且属于二级曲线
2 2 2
4u1U22U30的直线
十、（10分）试证：双曲型对合的任何一对对应元素P P',与其两个二重元素E,F调和共
轭即（PP', EF）=-1
[参考答案]
高等几何标准答案（
9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(10)
《高等几何》试题
1.求仿射变换x 7x y1,y 4x 2y 4的不变点和不变直线.(15)
2.叙述笛沙格定理，并用代数法证之.(15)
3.求证a(1,2,-1),b(-1,1,2),c(3,0,-5)共线，并求|的值，使
Ciambi(i 1,2,3).(10)
《高等几何》试题（
一、填空题（每题3分共15分）
x7x y1
1、 仿射变换/y的不变点为
y 4x 2y4
2、两点决定一条直线的对偶命题为
3、 直线[i ,2,1-i]上的实点为
4、若交比（AB,CD）2则（AD, BC）
5、二次曲线中的配极原则
、判断题（每题 2分共10分）
1、 不变直线上的点都是不变点（）
2 2 2
（2） 二级曲线U1U217U30在直线L［1, 4,1］上的切点方程
八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）
九、（10 分）已知二阶曲线（C）：2xj 4x1x26x1x3x320
（1）求点P（1,2,1）关于曲线的极线
（2）求直线3x,X26X30关于曲线的极点
十、（10分）
《高等几何》试题
1.试确定仿射变换，使y轴，x轴的象分别为直线x y10,x y 10,且点(1, 1)
的象为原点.(15)
2.利用仿射变换求椭圆的面积.(10)
3.写出直线2x1+3x2-x3=0,x轴，y轴,无穷远直线的齐次线坐标.(10)
4.叙述笛沙格定理，并用代数法证之.(15)
5.已知A(1,2,3),B(5,-1,2),C(11,0,7),D(6,1,5),验证它们共线，并求(AB,CD)的 值.(8)
4.已知直线l1,l2,l4的方程分别为2x-ix2x30,x1x2x30,
为0,且(dU)-，求l2的方程.(15)
3
5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系.(10)
6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底
的交点自对应.(10)
一1
7.求两对对应元素，其参数为1-,02,所确定对合的参数方
2、 在一复直线上有唯个实点（）
3、 两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应（）
4、 射影群仿射群 正交群（）
5 、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数（）
、（7 分）
经过A（3,2）和B（6,1）的直线AB与直线x 3y60相交于P，求（ABP）
四、（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群
2、 射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）
3、 一个角的内外角平分线调和分离角的两边（）
4、 欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集（）
5 、共线点的极线必共点， 共点线的极点必共线（）
（7分）求一仿射变换，它使直线x 2y1 0上的每个点都不变，且使点（1,-1）
四、（8 分）求证:点A（1,2, 1）,B（ 1,1,2）,C（3,0,5）三点共线，并求t,S
标.（10）
4.叙述笛沙格定理，并用代数法证之.（15）
5.已知直线l1,l2,l4的方程分别为2x1x2x30,x1x2x30,
2
X10，且（H2,l3l4）-，求12的方程.（15）
3
6.在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合.（15）
7.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系，试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系.（20）[2005— 2006第二学期期末考试试题]
四、（8分）已知直线a,c, d的方程分别为2x-ix2x30“x2x30,为0且
（ab, cd）
3
五、（10分）已知同一直线上的三点A,B,C求一射影变换使此三点顺次变为B,C,A并判断
变换的类型，
六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
I
x1x1x2
七、（10分）求射影变换x2x2的不变点坐标
1,1)
B(
1,1),(1, 1) ( 1,2)
设仿射变换为
1
x
1
a^x
ai2y
a13
将点的坐标代入可解得
y
a21x
a22y
a23
x 2x
2y
1
3
2y
3
7
分
yx
2
2
121
1120所以三点共线
3 05
五、（10分）已知直线 匚丄2,L3,L4的方程
分别为：2x y10,3x y 20,7 x y 0,5x 10
求证四直线共点，并求（L|L2,L3L4）
六、（10分）
利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于
-一占
八、、
七、（10分）求（1） 二阶曲线x122 x223x32x1x30过点P（2,J|,1）的切线方程
一、填空题：（每空3分共15分）
1、单比，交比 2、（ 1,-3,0） 3、x304 、2'5（'）12 0
5、12x17x226x30
二、判断题（每题 2分共10分）
1、错，2、错，3、对，4、错，5、对
三、解：在直线x 2y10上任取两点A（1,0）, B（1,1）2 分
由A(1,0)
A(1,0),B(
8. 两个重叠一维基本形A B,A B成为对合的充要条件是对应点的参数
程：a b（）d O（ad b20）（15）
《高等几何》试题
1.求仿射变换x 7x y1,y 4x2y 4的不变点和不变直线.（15）
2.求椭圆的面积.（10）
3.写出直线2x1+3x2-X3=0,x轴，y轴，无穷远直线的齐次线坐
使ctaisb ,（i1,2,3）
3x 2
五、（10分）设一直线上的点的射影变换是x/2证明变换有两个自对应点，且这两自
x4
对应点与任一对对应点的交比为常数。
六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
七、（10分）
（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线2xj3冷2x326x1x22x1x34x2X30的极线
《高等几何》试题（
一、 填空题（每题3分共15分）
1、是仿射不变量，是射影不变量
2、直线3x y0上的无穷远点坐标为
3、过点（1,i,0）的实直线方程为
4、二重元素参数为 2与3的对合方程为
5、 二次曲线6x2y211y24 0过点P（1,2）的切线方程
、判断题（每题2分共10分）
1、 两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形（）
（2）已知二阶曲线外一点P求作其极线。（写出作法，并画图）
八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理
九、（10分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5, 1]交点且属于二级曲线
2 2 2
4u1U22U30的直线
十、（10分）已知A, B,P,Q,R是共线不同点，
如果（PA,QB） 1,（QR,AB）1,求（PR, AB）
7.叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(10)
8.一维射影对应使直线|上三点P(-1),Q(0),R(1)顺次对应直线|上三点
P(0),Q(1),R(3),求这个对应的代数表达式.(10)
试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束
、填空题（每题 3分共15 分）
判断题（每题2分共
1、仿射变换保持平行性不变
2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变
3、线段中点与无穷远点调和分离两端点
4、如果P点的极线过Q点，则Q点的极线也过P点
5、不共线五点可以确定一条二阶曲线
2x
三、（7分）已知OX轴上的射影变换X，求坐标原点，无穷远点的对应点帕斯卡定理
九、（10分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5, 1]交点且属于二级曲线
2 2 2
4u1U22U30的直线
十、（10分）试证：双曲型对合的任何一对对应元素P P',与其两个二重元素E,F调和共
轭即（PP', EF）=-1
[参考答案]
高等几何标准答案（
9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(10)
《高等几何》试题
1.求仿射变换x 7x y1,y 4x 2y 4的不变点和不变直线.(15)
2.叙述笛沙格定理，并用代数法证之.(15)
3.求证a(1,2,-1),b(-1,1,2),c(3,0,-5)共线，并求|的值，使
Ciambi(i 1,2,3).(10)
《高等几何》试题（
一、填空题（每题3分共15分）
x7x y1
1、 仿射变换/y的不变点为
y 4x 2y4
2、两点决定一条直线的对偶命题为
3、 直线[i ,2,1-i]上的实点为
4、若交比（AB,CD）2则（AD, BC）
5、二次曲线中的配极原则
、判断题（每题 2分共10分）
1、 不变直线上的点都是不变点（）
2 2 2
（2） 二级曲线U1U217U30在直线L［1, 4,1］上的切点方程
八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）
九、（10 分）已知二阶曲线（C）：2xj 4x1x26x1x3x320
（1）求点P（1,2,1）关于曲线的极线
（2）求直线3x,X26X30关于曲线的极点
十、（10分）
《高等几何》试题
1.试确定仿射变换，使y轴，x轴的象分别为直线x y10,x y 10,且点(1, 1)
的象为原点.(15)
2.利用仿射变换求椭圆的面积.(10)
3.写出直线2x1+3x2-x3=0,x轴，y轴,无穷远直线的齐次线坐标.(10)
4.叙述笛沙格定理，并用代数法证之.(15)
5.已知A(1,2,3),B(5,-1,2),C(11,0,7),D(6,1,5),验证它们共线，并求(AB,CD)的 值.(8)
4.已知直线l1,l2,l4的方程分别为2x-ix2x30,x1x2x30,
为0,且(dU)-，求l2的方程.(15)
3
5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系.(10)
6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底
的交点自对应.(10)
一1
7.求两对对应元素，其参数为1-,02,所确定对合的参数方
2、 在一复直线上有唯个实点（）
3、 两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应（）
4、 射影群仿射群 正交群（）
5 、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数（）
、（7 分）
经过A（3,2）和B（6,1）的直线AB与直线x 3y60相交于P，求（ABP）
四、（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群
2、 射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）
3、 一个角的内外角平分线调和分离角的两边（）
4、 欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集（）
5 、共线点的极线必共点， 共点线的极点必共线（）
（7分）求一仿射变换，它使直线x 2y1 0上的每个点都不变，且使点（1,-1）
四、（8 分）求证:点A（1,2, 1）,B（ 1,1,2）,C（3,0,5）三点共线，并求t,S
标.（10）
4.叙述笛沙格定理，并用代数法证之.（15）
5.已知直线l1,l2,l4的方程分别为2x1x2x30,x1x2x30,
2
X10，且（H2,l3l4）-，求12的方程.（15）
3
6.在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合.（15）
7.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系，试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系.（20）[2005— 2006第二学期期末考试试题]
四、（8分）已知直线a,c, d的方程分别为2x-ix2x30“x2x30,为0且
（ab, cd）
3
五、（10分）已知同一直线上的三点A,B,C求一射影变换使此三点顺次变为B,C,A并判断
变换的类型，
六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
I
x1x1x2
七、（10分）求射影变换x2x2的不变点坐标
1,1)
B(
1,1),(1, 1) ( 1,2)
设仿射变换为
1
x
1
a^x
ai2y
a13
将点的坐标代入可解得
y
a21x
a22y
a23
x 2x
2y
1
3
2y
3
7
分
yx
2
2
121
1120所以三点共线
3 05
五、（10分）已知直线 匚丄2,L3,L4的方程
分别为：2x y10,3x y 20,7 x y 0,5x 10
求证四直线共点，并求（L|L2,L3L4）
六、（10分）
利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于
-一占
八、、
七、（10分）求（1） 二阶曲线x122 x223x32x1x30过点P（2,J|,1）的切线方程
一、填空题：（每空3分共15分）
1、单比，交比 2、（ 1,-3,0） 3、x304 、2'5（'）12 0
5、12x17x226x30
二、判断题（每题 2分共10分）
1、错，2、错，3、对，4、错，5、对
三、解：在直线x 2y10上任取两点A（1,0）, B（1,1）2 分
由A(1,0)
A(1,0),B(
8. 两个重叠一维基本形A B,A B成为对合的充要条件是对应点的参数
程：a b（）d O（ad b20）（15）
《高等几何》试题
1.求仿射变换x 7x y1,y 4x2y 4的不变点和不变直线.（15）
2.求椭圆的面积.（10）
3.写出直线2x1+3x2-X3=0,x轴，y轴，无穷远直线的齐次线坐
使ctaisb ,（i1,2,3）
3x 2
五、（10分）设一直线上的点的射影变换是x/2证明变换有两个自对应点，且这两自
x4
对应点与任一对对应点的交比为常数。
六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
七、（10分）
（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线2xj3冷2x326x1x22x1x34x2X30的极线
《高等几何》试题（
一、 填空题（每题3分共15分）
1、是仿射不变量，是射影不变量
2、直线3x y0上的无穷远点坐标为
3、过点（1,i,0）的实直线方程为
4、二重元素参数为 2与3的对合方程为
5、 二次曲线6x2y211y24 0过点P（1,2）的切线方程
、判断题（每题2分共10分）
1、 两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形（）
（2）已知二阶曲线外一点P求作其极线。（写出作法，并画图）
八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理
九、（10分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5, 1]交点且属于二级曲线
2 2 2
4u1U22U30的直线
十、（10分）已知A, B,P,Q,R是共线不同点，
如果（PA,QB） 1,（QR,AB）1,求（PR, AB）