课件3：11.1.5 旋转体

变式训练1 判断下列各命题是否正确． (1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线； (2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是
圆台； (3)圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形； (4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．
解：(1)错误．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴． (2)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆 柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示． (3)正确． (4)错误．应为球面．
如图所示，设南纬 60°圈的中心为 O1，地球球心为 O，则∠AO1B＝180°， ∴AB＝2AO1＝R.
∴△AOB 为等边三角形，∴∠AOB＝60°. ∴在南纬 60°圈上，A︵B的长为118800π×R2＝π2R； 在球面上，A，B 两点间的球面距离为6108π0×R＝π3R.
通法提炼 1.球面上两点间的球面距离，必须是在过此两点的球的大圆中两点所对应的 劣弧的长度，不能在过此两点的球的小圆中求. 2.球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离，它们之间构成直角三角形， 可用勾股定理求解.
6.球的结构特征 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线 旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称
球面及球的定义 为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距 离等于定长的点的集合
图示及相 关概念
球心：形成_球__面__的半圆的_圆__心___ 半径：连接球面上一点和_球__心__的线段 直径：连接球面上两点且_通__过__球__心__的线 段 大圆与小圆：球面被_经__过__球__心_的平面截 得的圆称为球的大圆，被_不__经_过__球__心__的 平面截得的圆称为球的小圆
解：将圆锥的侧面沿 SA 剪开，并展开，如图所示， 该图形为扇形，且 的长度 L 就是圆 O 的周长， 所以 L＝2πr＝2π.所以∠ASM＝2Lπl×360°＝2π2×π4×360°＝90°.
图示及
高：在轴上的边(或它的长度)
相关概
底面： 垂直于轴 的边旋转而成的圆面
念
侧面： 不垂直于轴 的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
3.圆台的结构特征
以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形 定义
旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
轴： 旋转轴 叫做圆台的轴
图示及
即 R2－49＋ R2－400＝9， R2－49＝9－ R2－400，
平方得 R2－400＝－15， 此方程无解，说明第二种情况不存在． 综上所述，所求球的半径为 25 cm.
通法提炼 在解决球的截面问题时，可作轴截面，将空间图形化为平面图形．由于球
心与截面圆心的连线垂直于截面圆，因此经过球心与截面圆心的连线作轴截面 如图．则球的半径 R，截面圆半径 r，球心到截面的距离 d 有如下关系：d2＋r2 ＝R2.
7.球的表面积 S＝ 4πR2 .
类型一 旋转体的有关概念 例1 以下对于几何体的描述，错误的是( )
A．NBA决赛中使用的篮球不是球体 B．一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面 所围成的图形叫作圆锥 C．用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫作圆台 D．以矩形的一组对边的中垂线所在直线为轴旋转180°所形成的几何体 为圆柱 [分析] 根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征进行判断．
变式训练 5 有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方 体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之 比． 解：设正方体棱长为 a，三个球的半径依次为 R1，R2，R3，则有 2R1＝a，R1＝ a2， 2a＝2R2，R2＝ 22a， 3a＝2R3，R3＝ 23a，所以 R1：R2：R3＝1： 2： 3. 所以 S1：S2：S3＝R21：R22：R23＝1：2：3. 即这三个球的表面积之比为 1：2：3.
和称为旋转体的表面积(或全面积)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
几何体
侧面展开图
表面积公式
圆柱
S 圆柱＝2πr(r＋l)，r 为 底面半径 ， l 为 侧面母线长
圆锥
S 圆锥＝πr(r＋l)，r 为 底面半径 ， l 为 侧面母线长
圆台
S 圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，r′为 上底面半径 ， r 为 下底面半径 ，l 为 侧面母线长
通法提炼 1.圆柱、圆锥、圆台的轴截面将其母线、高、上下底面半径有机地结合在 一起，充分利用轴截面可进行相关元素间的计算. 2.在研究和处理旋转体的相关问题时，通常作出几何体的轴截面，如圆 柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些 轴截面集中反映了旋转体的各主要元素.
变式训练2 有一个半径为5的半圆，将它卷成一个圆锥的侧面，求圆锥的 高．
变式训练 3 如图所示，球 O 的半径为 2，圆 O1 是一小圆，O1O＝ 2，A、B 是 圆 O1 上两点，若 A、B 两点间的球面距离为23π，求∠AO1B 的度数．
解：设∠AOB＝α，由球面距离知：α3·26π0×°2＝9α0°·π＝23π，解得 α＝60°.在△AOB 中，OA＝OB，∠AOB＝α＝60°，所以△AOB 为等边三角形，所以 AB＝OA＝OB＝ 2.在 Rt△AO1O 中，因为 OA＝2，O1O＝ 2，所以 O1A＝ OA2－O1O2＝ 22－( 2)2 ＝ 2.在等腰三角形 AO1B 中，因为 O1A＝O1B＝ 2，AB＝2， O1A2＋O1B2＝AB2，所以∠AO1B＝90°.
例 5 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为( )
A．πa2
B．73πa2
C．131πa2 D．5πa2
【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均
为
a.如图，P
为三棱柱上底面的中心，O
为球心，易知
AP＝23×
23a＝
3 3
a，OP＝12a，所以球的半径
轴： 旋转轴 叫做圆柱的轴
图示及
高：在 轴 上的边(或它的长度)
相关概
底面： 垂直于轴 的边旋转而成的圆面
念
侧面：不垂直于轴 的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
2.圆锥的结构特征
以 直角三角形一直角边 所在直线为旋转轴，将直角三角 定义
形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
轴： 旋转轴 叫做圆锥的轴
方法二： 圆台的轴截面如图所示，根据题意 可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm， 延长AA′，BB′交OO′的延长线于点S(O′，O分别为上、下底面圆心)． 在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3x cm， 又SO′＝A′O′＝x cm，所以OO′＝2x cm.
又 S 轴截面＝12×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以 x＝7. 综上，圆台的高 OO′＝14 cm，母线长 AA′＝ 2OO′＝14 2 cm， 上、下底面的半径分别为 7 cm,21 cm.
若两截面位于球心的同侧，如图①，C，C1 分别是两平行截面的圆心， 设球的半径为 R，截面圆的半径分别为 r，r1，由 πr21＝49π，得 r1＝7 cm， 由 πr2＝400π，得 r＝20 cm，
在 Rt△OB1C1 中，OC1＝ R2－r21＝ R2－49， 在 Rt△OBC 中，OC＝ R2－r2＝ R2－400， 由题意知 OC1－OC＝9 cm，即 R2－49－ R2－400＝9， 解得 R＝25 cm，若球心在两截面之间，如图②， OC1＝ R2－49，OC＝ R2－400. 由题意知 OC1＋OC＝9 cm，
变式训练 4 在半径等于 13 cm 的球内有一个截面，它的面积是 25π cm2，求球 心到这个截面的距离．
解：设截面圆的半径为 r cm. 因为 πr2＝25π，所以 r＝5. 设球心到截面的距离为 d cm，则 d＝ 132－52＝12. 所以球心到截面的距离为 12 cm.
命题视角 3：球的表面积问题
【解析】根据球的定义可知A正确．由圆锥的定义知B正确． 只有当平面与圆锥的底面平行时底面与截面之间的部分为圆台， 故C错误．由圆柱的定义知D正确． 【答案】C
通法提炼 1.判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成. (2)明确旋转轴是哪条直线. 2.简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构 特征的关键量. (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形、圆锥、圆台中的计算问题 例2 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm2， 母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．
解：方法一： 圆台的轴截面如图所示， 根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm.即A′O′＝x cm，AO＝3x cm (O′，O分别为上、下底面圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D. 在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2x cm， 所以A′D＝AD＝2x cm，又S轴截面＝(A′B′＋AB)·A′D＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)， 所以x＝7. 综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面的半径 分别为7 cm和21 cm.
类型四 侧面展开图 例 6 如图所示，已知圆锥 SO 中，底面半径 r＝1，母线长 l＝4，M 为母线 SA 上的一个点，且 SM＝x，从点 M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点 A.求： (1)绳子的最短长度的平方 f(x)； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f(x)的最大值． [分析] 求几何体侧面上两点之间的距离的最小值时，往往利用其侧面展开图求 解．
解：如图，由题知，半圆的半径等于圆锥的母线长，即 SA＝5. 半圆的弧长等于圆锥底面周长，设半径为 r，则有 5π＝2πr.∴r＝52，
∴高 h＝ 52－522＝52 3. 即圆锥的高是52 3.
类型三 与球有关的计算问题 命题视角1：球面弧长问题 例3 设地球的半径为R，在南纬60°圈上有两点A，B，A在西经90°，B在东 经90°，求A，B两点间纬线圈的弧长及A，B两点间的球面距离． 解：纬度数为 60°，则纬度圈小圆的半径 r＝Rcos60°＝R2.
命题视角 2：球的截面问题 例 4 在球内有相距 9 cm 的两个平行截面，面积分别为 49π cm2 和 400π cm2， 求此球的半径． [分析] 作轴截面(过与截面圆垂直的半径作截面)，将空间图形化为平面图形．利 用截面的性质解直角三角形．
解：两截面与球心的位置关系有两种：(1)两截面位于球心的同侧； (2)球心在两截面之间．
R＝OA
满足
R2＝
33a2＋12a2＝172a2，故
S
球
＝4πR2＝73πa2.
【答案】B
通法提炼 常见几何体与球的切、接问题的解决策略
(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与 几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中 心、对角线的中点等．
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径， 关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计 算．
11.1.5 旋转体
课程目标 1.理解旋转体、圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念，初步掌握运用旋转的观 点去观察问题； 2.理解圆柱、圆锥、圆台和球的轴截面的概念和它在决定几何体时的重要作 用．
新知初探
1．圆柱的结构特征
以 矩形的一边 所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成 定义
的曲面所围成的几何体
高：在轴上的边(或它的长度)
相关概
底面： 垂直于轴 的边旋转而成的圆面
念
侧面： 不垂直于轴的边 旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
4.轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面，圆
柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、 等腰三角形 、 等腰梯形 ．
5．旋转体的侧面积与全面积 (1)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与 底面积 之