第2讲最小二乘配置剖析

在第一期观测基础上，大地网又进行了扩展，得到误差方程式
V2 A2
Ac
X X
2 c
L2
问题：联合两期观测，严格解算 Xˆ1, Xˆ 2, Xˆ c ？
二、最小二乘滤波与推估 2、一般概念
配置中参数类型： L AX BY
第一类：非随机或者先验性质未知的，或已知而不考虑 其随机性质的，称为参数（倾向参数）
第二类：已知其先验统计性质，且求其估值时需要顾及 的，称之为信号。信号又分为滤波信号和推估 信号。推估又可分为两种：内插（平滑）和外
推（预报）
二、最小二乘滤波与推估
4、滤波和推估分解式
原始解：
Yˆ Y BT ( BY BT )1 L Y BT L1L
Yˆ
Sˆ Sˆ
B I 0
Y
S SS
SS
S
分解：
Sˆ Sˆ
S SS
SS S
I 0
1 L
L
SSSLL11LL
滤波解—
Sˆ
S
1 L
L
推估解—
Sˆ
SS
1 L
AT
B
T
P P
L L
0
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三、最小二乘配置
2.估值公式
极值函数
V AXˆ BYˆ L V T PV Yˆ T PY Yˆ 2K T ( AXˆ BYˆ L V )
解法2：条件平差法
V
2V T P
2KT
0V
P1K
Yˆ
2Yˆ T
PY
2K T
B
0
Yˆ
PY1BT
K
Xˆ
2K
T
A
0
如果B＝0， L AX ，经典参数平差模型 如果A＝0， L BY ，滤波与推估模型
如果A！＝0，B！＝0，最小二乘配置模型
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
二、最小二乘滤波与推估 1、数学模型
L BY
B I 0
E() 0, E(T )
观测值的权
Y
S SS
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
三、最小二乘配置 实际问题（重力测量）
地面点的重力异常既包含随机部分，也包含系统部分
（1）系统部分可看作（x，y）的函数
Ti a0 a1(xi x0 ) a2 ( yi y0 ) AX
1
A
1
1
x1 x0 x2 x0
xn x0
L
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
二、最小二乘滤波与推估 特例：纯内插或推估模型
在模型
L B Y
m1 m(m g ) (m g )1 m1
视观测值无误差： L BY S
0
其解为
Sˆ L Sˆ SS S1Sˆ
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
二、最小二乘滤波与推估 4.精度估计（自学） 5.重力异常推估
3.确定局部大地水准面(类似于重力异常) 4.GPS水准
问题：确定大地高和正常高的差值，即高程异常。 通常采用拟和法，如平面拟和，二次曲面拟和，三次 样条拟和，得到一个趋势面，没有顾及高程异常的随 机特性
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
四、应用 4.GPS水准
既考虑其系统性。又顾及高程异常的随机特性，采 用最小二乘配置方法
一般采用高斯型函数，即在一定距离上相关，超出一定 距离不相关
f (s) exp( K 2S 2 )
最新的研究成果K取0.0016
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
四、应用 6.GPS基线网平差模型
不考虑速度参数，GPS基线向量平差模型
vij dX i dX j Lij
一般形式
再扩展
V AXˆ BYˆ L
CXˆ WC
General Stochastic Model
E() 0
Q P1
L BY BT
E(Y
)
E(S) E(S)
uS uS
Y
S SS
SS
S
第一讲 概 述（Introduction）
将Y看成虚拟观测量
极值函数
VY Yˆ LY
LY E(Y )
y1 y0
y2
y0
yn
y0
a0
X
a1
a2
—系统参数，倾向参数
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
三、最小二乘配置 实际问题（重力测量）
地面点的重力异常既包含随机部分，也包含系统部分
（2）随机部分可看作S，如果有n个重力异常观测值L，于是
g L AX S
设未测点的随机部分（信号）S’，根据经验协方差函数，可求得 未测点的信号S’，以及重力异常
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
二、最小二乘滤波与推估 3、估值公式
L BY
Y
S SS
SS
S
L BY BT
方法1：参数平差法
方法1：条件平差法
方法1：参数平差法
V BYˆ L
Y
S SS
SS
S
极值函数：
V T PV Yˆ T PY Yˆ
一、概述
1、问题的提出
如
何
函数模型
求
L AX BY
解 、
X—系统性参数（非随机参数） Y—随机参数
的
估
值
随机模型
E() 0, E(T )
E(Y ) 0 Y E(YY T )
XY
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
一、概述
函数模型
L AX BY
设
Y
S S
B I 0
L AX BY
X—系统参数（对应地球物理模型参数，反映长期变化， 是趋势或倾向，可以验证模型参数）
Y—信号，包括已测点和未测点，代表现时的变化
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
四、应用 5.地壳形变应用（Crustal Deformation）
（2）如果把形变整体看成是随机量，即是滤波推估模型
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
1、Introduction（the question） 2、Filtering and Prediction 3、Least Squares Collocation 4、Some Applications
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
L BY BT
d dY
2V T P B 2Yˆ T PY
0
BT PV PYYˆ 0
函数模型代入 (BT P BYˆ PY )Yˆ BT P L 0
解
Yˆ (BT P B PY )1 BT P L
方法2：条件平差法
BYˆ L V 0
Y
S SS
SS
S
L BY BT
需要理解： LS配置和参数加权平差的区别
需要掌握： 公式推导和一些具体应用
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
作业： 关于大地网扩展。
第一期观测后，平差的误差方程式和平差后的结果如下
V1 A1
Ac
X X
1 c
L1
Xˆ1, Xˆ c , Xˆ1 , Xˆ c , Xˆ1Xˆ c
第一讲 概 述（Introduction）
二、在经典平差中我们学过了什么 ？
General Functional Model
f (L , X 0 x) 0
( X
0
x)
0
BV AXˆ f
CXˆ
WC
General Stochastic Model
E() 0
2 0
Q
P 2 1
0
第一讲 概 述（Introduction）
与经典LS区别：
经典LS：参数看作非随机量，或不考虑其随机性质，按 照经典或相关最小二乘原理求最佳估值
滤 波：把全部参数作为正态随机变量，按照极大验后 估计、最小方差估计、广义最小二乘原理，求 定参数最佳估值，滤波顾及了参数的先验统计 性质，精度较经典LS估计更高
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
2.估值公式
极值函数
V AXˆ BYˆ L
V T PV Yˆ T PY Yˆ
解法1：参数平差法
Xˆ
2V T P A
0
AT PV
0
Yˆ
2V T P B 2Yˆ T PY
0
BT PV
PYYˆ
0
误差方程式回代
AT BT
P P
A A
AT BT P
P B B PY
Xˆ
Yˆ
LY
Sˆ SL1L
Sˆ SSL1L
协方差函数确定：严密的应变分布协方差函数无法确定，解决的办法是确 定经验协方差函数。给出已算点的协方差分布图形，然 后选择适当的函数式，用最小二乘拟和
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
四、应用 5.地壳形变应用（Crustal Deformation）
L AX BY
X—系统参数，Y—信号，包括已测点和未测点 顾及点间高差对高程异常的影响，协方差函数为
f (d, h) b0 (ek1d2 k2 h )
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
四、应用 5.地壳形变应用（Crustal Deformation）
（1）利用已测点的形变信号，推求我们关心的未测点信号
极值函数：
V T PV YˆT PYYˆ 2K T (BYˆ L V )
d dV
2V T P
2K T
0 V
P1K
d dY
2Yˆ T PY
2K T B
0 Yˆ
PY1BT K
函数模型代入，解
YˆVPYP1 B1T((PP11BBPPYY11BBTT))11LL
方法2：条件平差法
解
V T PV VYT PYVY
解
AT BT
P P
A A
C
AT P B PY BT P B
0
CT 0
Xˆ Yˆ
PY
AT P L LY BT P
L
0
K
W0
分析包含LS配置的5种特殊情况
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
自学内容： 3－8 L S配置在坐标变换中的应用
V AX L
设其中有n1个基准点，它们可能是IGS跟踪站，也可能是网络工程 连续跟踪站，这些点由于常年连续观测其相对准确的地心坐标、速 度场以及相应的坐标精度和速度场精度先验信息是已知的。因此可 将n1个基准点坐标作为随机参数处理，剩余的n2个待估参数作为非 随机参数，按最小二乘配置原理进行参数估计。
L AX BY
g p AP X S
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
三、最小二乘配置 1.数学模型
函数模型
L AX BY
随机模型
B I 0
Y
S S
E() 0, E(T )
E(Y ) 0
Y E(YY T )
L BY BT
三、最小二乘配置
YˆVPYP1 B1T((PP11BBPPYY11BBTT))11LL
解的形式为
PY1 Y P1
Yˆ Y BT ( BY BT )1 L Y BT L1L
V
1
(
BY BT )1 L
1
1 L
L
方法3：可由全部参数加权平差直接写出滤波推估解
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
SS
S
L BY BT
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
二、最小二乘滤波与推估 2、一般概念
关于滤波：
本来含义：从接受的电磁波信号中，排除各种干扰 测量平差：利用含有误差（噪声）的观测值，求定
参数最佳估值
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
二、最小二乘滤波与推估 2、一般概念
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
四、应用 6.GPS基线网平差模型
模型
V Vn1
A1 0
A2 I
X X
n2 n1
L Ln1
极值函数
Ln1 ~ ( X n1, n1)
V T PV VnT1 Pn1Vn1 min
亦可以部分参数加权平差求解，但注意概念上的区别
解得
Xˆ ( AT PL A)1 AT PL L Yˆ PY1BT PL (L AXˆ )
V P1PL (L AXˆ )
分解得
Sˆ SL1(L AXˆ )
Sˆ SSL1(L AXˆ )
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
四、应用 1.估计系统误差 2.确定未测点的重力异常
Y
S SS
SS
S
S—已测点信号（显信号），能直接与观测值建立函数模型的信号
S’—未测点信号（隐信号），不能直接与观测值建立函数模型的信号
已知 L, ,Y ，求 X , S, S ，为最小二乘配置
第二讲 最小二乘配置（LS Collocation）
一、概述 2、分析
函数模型
L AX BY